книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

уравнение Матье, в остальных случаях — уравнение Хилла. Анализ уравнения (3.88) показывает, что при п = О,

ЧІЦрИТ== 2CÜg.

В основной зоне параметрического резонанса 'имеет мес­

Однако возмущающая частота ш=сі)крнт практически совпадает с частотой второй формы собственных колебаний пружины, имеющей одну узловую (неподвижную) точку. По­ этому экспериментальное обнаружение параметрического ре­ зонанса сопряжено с известными трудностями. При малых

амплитудах возмущения свободного конца точка £; = — —

2

неподвижна; однако с увеличением т1 зарождаются парамет­ рические колебания с частотой шКрит; это движение захва­ тывает узловую точку и, наконец, шея пружина колеблется сю форме sin v£, V= к. Наряду с параметрическими имеют место чисто 'вынужденные колебания с частотой

(о = 2ыо.

Таким образом второй резонанс как бы .переходит в пер­ вый с помощью параметрического механизма, а суммарное движение имеет периодические составляющие с частотами со/2 и со.

■Экспериментальная проверка подтверждает правильность

жен. Согласно формуле (3.88) эта частота критическая, так что если увеличивать возмущение, то при критическом зна-

189

іченпи последнего (в данном случае gKp = 3,65g) зарождаются параметрические колебания, амплитуда которых плавно растет до установления стационарных продольных нараметрннеских колебании. При этом (рис. 65) пружина находится в сложном движении, доминирующей составляющей которого является возмущенное параметрическое колебание с частотой 27 гц, имеющая первую форму. На это колебание наложено заданное вынужденное движение с частотой 54,2 гц и име­

ющая 'вторую фор'му (двойные амплитуды а соответству­ ющие вынужденному движению, на среднем витке отсутст­ вуют, рис. 65).

Экспериментально, при .большом возмущении, удается 'возбудить продольные параметрические колебания в четвер­ той зоне. На рис. 66 изображена пружина, вынужденные (колебания которой с частотой 13,4 гц происходят по форме, (соответствующей четверти волны синусоиды, т. е. наиболь­ шую амплитуду имеет лежащий на вибрирующем основа­ нии виток. При частоте .13,5 гц рис. 67 на это вынужденное движение накладывается дополнительное параметрическое

190

колебание с частотой 27 гц, происходящее по основной фор­ ме колебаний, т. е. по полуволне синусоиды. Максимальный размах с частотой 27 гц имеет средний виток. Как п пред­ сказывает теория, четвертая зона очень узкая, уже при

Рис. 65 Рис. 65 Рис. 67

13,7 гц параметрическая составляющая исчезает, остаются

іраметрических колебаний амплитуда вынужденного движе­ ния уменьшается. Здесь имеет место явление 'перераспреде­ ления энергии между формами колебаний.

191

На всех фотографиях с продольными (Колебаниями от­ клонения траектории витка от вертикальной прямой вызва­ ны крутиль'НО'й составляющей, которая ів пружинах всегда со­ путствует продольным деформациям.

На рис. 69 показана пружина в основном тоне крутиль­ ных колебаний с частотой 32,8 ігц. При крутильных колеба­

ду того, что при рассматриваемом способе возмущения обя­ зательно присутствует продольная составляющая, траекто­ рии витков имеют формы эллипсов, горизонтальная ось кото­ рых равна двойной амплитуде крутильных колебаний Форма траекторий, .изображенная на рис. 70, является типичной для

ного параметрического резонанса. Во всех областях неустой-

чивостн крутильные параметрические колебания происходят по основной форме, т. е. наибольшая крутильная составля­

ющая наблюдается в точке £ = — .

2

9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА

Эксперименты проводились на ѳлектродинамичеоком ви­ бростенде ВЭДС 100Б. Колебания пружины фиксировались специальным прибором при помощи индуктивных датчиков, которые устанавливались по трем координатным осям 2, 3 и 4 (рис. 61). Этот метод записи подробно описан и проанали­ зирован в работе [32]. Датчик 1 регистрирует перемещения

1 9 2

стола вибратора. Если в направлении какой-либо из осей пружина неподвижна, на осциллограмме получается ограни­ ченная прямыми линиями область, соответствующая питаю­ щему напряжению моста 25в, 400 гц. При наличии же 'Коле­ баний область ограничивается двумя кривыми зеркального отображения, описывающими колебательный процесс в нап­

Ѳто значит, что в данном случае выполняется соотношение

(3.14), т. ж. 1,083> 1,0048.

При малых коэффициентах возмущения ти ß (приближенно можно принять равным

ß« Y а= 2Q

Ч)()2ПОп

Поэтому согласно формуле (3.26) пружина дополнительна должна терять устойчивость около частоты

Ш = Wgg np 52 ГЦ.

'5. По формуле (3.30) «ли из графика (рис. 57), опреде­

ляем

ѵ1 = 0,79.

Согласно формуле (3.36) мы можем ожидать потерю устой­ чивости так же около частоты

ш=аз03пр = 61,2 гц.

■Перейдем :к описанию эксперимента.

Датчики 2 и 3, регистрирующие поперечные колебания, крепятся в направлении главных осей жесткости-.

Первый этап испытаний состоит в определении факти­ ческих собственных частот. Для этого дружина выводится из состояния равновесия горизонтальным отклонением сначала

S і

Рис. 72

по оси гг потом по оси уу. Возникающие свободные, затуха­ ющие колебания записываются на осциллограмме (72 а, б). ■Многократно повторяя эту операцию, можно довольно точно определить собственные поперечные частоты по экстремаль­ ным осям К поп)га=23,7 гц., (ш0 ПШІ)гг=24,1 гц.

Для определения собственных продольных колебаний, пружи­ ну возбуждаем от стенда. По оси I (осц. 72 в) видна очень маленькая амплитуда возмущения, которая при частоте 30,7 гц вызывает интенсивный продольный резонанс (ось 4).

194

Второй этап состоит в испытании пружин на динамичес­ кую устойчивость.

На осц. 73 записана потеря устойчивости пружиной в

е

I области. Интенсивные поперечные колебания с частотой (23,7 гц возникают по оси уу (осц. 73 б) при частоте возму­ щения 47,2 гц. При со=47,8 гц происходит потеря устойчи­ вости аз перпендикулярной плоскости (осц. 73 д), т. е. мы имеем 2 главные области неустойчивости, 'Соответствующие двум экстремальным осям. Осциллограмма записана при 2Хі = 5 мм, т. е. т 1=0,014. С увеличением амплитуды возму-

195

CJ *242 non *

Рис. 75

ч

щѳния эти области сближаются, это видно из оси. 74 снятой при 2%\ = 1 мм, т. е. т 1 =0,02. При достаточно большом т х области сливаются. Запись производится с интервалом 0,1; (0,2 гц, который отсчитывается по лимбу вибратора. После уста­ новления процесса, при фиксированной частоте, записыва­ ется достаточно длинная осциллограмма и берется среднее

Рис. 76 Рис. 77

значение частоты. Такой способ дает результаты наиболее близкие к истинным.

Согласно іпрлкидочнаму расчету мы ожидаем потерю ус­ тойчивости выше главной зоны, т. е. в «основной» зоне. Для

исследования этого факта переставим датчик 4 в точку £ = ■— . 4

Датчик 2 в случае II формы поперечных колебаний

оказывается в узле. На осц. 75 б, снятой при такам распо­ ложении датчиков, видно, что при малой .амплитуде возму­ щения и частоте 55 гц наблюдаются вынужденные попереч­ ные колебания по II форме. Это видно и на фото (рис. 76), с траекториями витков в виде эллипсов.

197

Рис. 78

/\У\< Пѵ

- 'Ла ДЯ

c j = 2 S ,i

Ч«“25/

Рис. 79