книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

2.ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ЗАДАЧИ О

САМО ВОЗБУЖДАЮЩЕМСЯ СУБГАРМОНИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ .

Из резонансных соотношений (4.27) рассмотрим первое

Ш п

— ——— =2, соответствующее точному делению частоты внешне-

' еошо

со возбуждения в два раза. Ограничим рассмотрение слу­ чаем, 'когда характеристика R(x) представлена в виде куби­ ческого полинома, так как в дальнейшем, исходя из оценки влияния неучитываемых высших степеней R{x) на демультипликацнонный резонанс, покажем, что это влияние не ка­ чественного, а только количественного характера. Положив со= 2ш1, движение ооцнллятор-а опишем уравнением

F0—амплитуда внешней силы.

Зная характер изменения параметра из (4.21), решение (4.28) (можно сразу принять в форме

одним из приближенных методов нелинейной механики, на­

качки) определяется приближенно из линеаризованного урав­

2 2 9

іми задачи, и дальнейшие выкладки к этому и сводятся. Представляется, однако, более желательным процесс подста­ новки (4.29) в (4.28) выполнить в два этана, используя пе­ реход с помощью преобразования

ж уравнению возмущенного движения

где Y(z, X, z0, t) — нелинейная функция, учитывающая чле­ ны высших порядков. Линейная часть уравнения (4.33), пред­ ставляющая собой уравнение в вариациях типа Хилла, отра­ жает характер модуляции жесткости стационарными колеба­ ниями вынужденного режима

определяет величину приращения крутизны характеристики за период колебания X sin 2w1t—z0. Глубина модуляции парамет­ ра определяется разностью между максимальным МшІ[е0- -2гхг0+

значению. Амплитуду 2(ег—3s2z0)X первой гармоники при изме­ нении параметра будем называть коэффициентом возбуждения

в первой области неустойчивости вынужденных колебаний, так как в первом приближении именно эта гармоническая составля­

щи одна из высших гармоник, имеющих место в спектре ко­ лебаний контура, за -исключением .составляющей с частотой ші, не попадает в полосу пропускания контура, будем счи­ тать их амплитуды імнлыми.

230

где a(t), b{t) — функции, медленно меняющиеся во времени з период установления и постоянные для стационарных решений. Медленность изменения а, b, z0 означает, что

Подставим (4.36) в (4.33) и осуществим ряд стандартных операций по его укорачиванию. Прежде всего отбросим нерезонаноиые гармоники, затем, пользуясь малостью затуха­ ния ' 25, исключим из уравнений члены второго ,и более вы­

следующие два укороченных уравнения установления колеба­ ний:

231

Представляет 'Интерес случай, когда характеристика R{x) системы до смещения, т. с. R(x) соответствующей симмет­ ричной системы, выражена -кубическим полиномом R — K(x+ -f ß+). Тогда уравнения (4.43) и (4.44) удается выразить в безразмерной форме. В этом случае

§ 1. ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ «ГЛАВНОГО»

РЕШЕНИЯ

Исходя -из того, что A2 — a2jrb2— существенно положи­ тельная величина, можем заключить из (4.43), что парамет­ рический эффект возможен только в системе с несимметрич­

туда X играет в явлении резонанса двойную роль: она стиму­ лирует возникновение параметрического эффекта (множитель в выражении под корнем) и 'одновременно как бы гасит его, а, точнее, вызывает сдвиг резонансной кривой вправо, в сто­ рону больших расстроек 5 (множитель при е2). Стимули-

233

■рующее влияние Л, как легко видеть, пропорционально пер­ вой степени, а сдвигающее — квадрату X. По этой причине сдвигающий эффект при малых X выражен слабо и затем быстро возрастает три увеличении амплитуды внешнего воз­ действия. Главное решение А2> 0 возможно лишь при ус­ ловии

Для частоты возбуждения 2ш0ф é0, условие (4.49) принимает вид (при £ = £0—1)

Если условие (4.49) выполнено, то существует конечная об­ ласть расстройки S, внутри шторой 'имеет место параметри­ ческое возбуждение. Границы этой области определяются из ус­ ловия: Л2 = 0. Тогда .из (4.43) имеем

3

Решая это уравнение относительно I, получим предельные границы области существования главного решения; разность определяет относительную величину частотного ин­ тервала, внутри которого параметрический эффект возмо­

жен. В безразмерной форме эти границы имеют :вид

234

о 5х=2 ] / 3(Д

“o' / (4.54)

Величина г0, входящая в вышеприведенные формулы, долж­ на удовлетворять уравнению (4.44), если положить в пос­ леднем Л2= 0; в безразмерном виде это уравнение имеет вид

§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Для того чтобы «айденные периодические решения могли реально 'существовать, необходимо, чтобы они были устой­ чивыми. Устойчивость будем понимать в смысле Ляпунова, т. е. состояние системы будем считать устойчивым, если под действием достаточно малого возмущения ее координаты не изменяются заметным образом, .находясь в окрестности неівозмущенного состояния. В случае стремления координат системы возвратиться в исходное положение, существовавшее к моменту приложения возмущения, будем говорить об их асимптотической устойчивости. Как известно, необходимым признаком устойчивости является наличие отрицательных ве­ щественных частей всех корней характеристического урав­

нения.

Исследуем устойчивость решений, удовлетворяющих

4.42). Чтобы исследовать их устойчивость, рассмотрим пове­ дение системы при слепка возмущенных значениях амплитуд:

іПотставим (4.56) в (4.37) и (4.38) и разложим полученные функции в ряды по малым возмущениям; приняв во внима­

ние, что а0, Ь0, 20 являются решениями невозмущеиной сис­ темы, получим

(4.57)

235

Будем предполагать, что в период установления колебаний, а также в период движения системы под действием возмуще­

нения со временем возмущений стационарных амплитуд. При малых возмущениях этот закон с достаточной точностью оп­

Уравнения (4.58) будут удовлетворены, если решения их при­ нять в виде

Подстановка (4.59) в (4.58) дает характеристическое уравнение

(4.60)

/Для совместности этих уравнений необходимо, чтобы

(Решая уравнение (4.61), найдем

23S

1

а =.—

2

(4.62)

Чтобы возмущения р и у со временем затухали, необходимо, чтобы оба значения а были отрицательными или имели отри­ цательную вещественную часть. Из (4.62) видно, что для ■этого должны быть выполнены два условия

(4.63)

237