книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

Бели при неизменной частоте увеличить амплитуду возімущения, то, как видно (из оси. 75 в), поперечные колеба- іниія переходят в параметрические о частотой 24,2 гд. Ооцил-

<рии витков представляют собой сложные фигуры.

На осц. 78 показано нарастание параметрических 'коле­ баний вблизи II продольного резонанса. При со=69 щ также

параметров, неизменно показывают параметрические эффек­ ты при п—1, .2, 4.

Ооц. 81 представляет собой типичную осциллограмму /параметрических колебаний массы, которая при /возмущении

199

см

Выводы

Пружина 'является особым видом стержня, где парамет­ рические колебания проявляются четко н имеют целый ряд особенностей, которые выделяют их в особый класс дефор­ мируемых систем.

Экстремальный характер іизгибноіі жесткости пружин вызывает потерю устойчивости в двух взаимно перпендику­ лярных направлениях. Ширина зоны неустойчивости в обоих направлениях шире обычной на величину отклонения попе­ речной жесткости от среднего значения.

Поперечная сила, всегда присутствующая в продольно (напруженных -пружинах, существенно влияет на их парамет­ рические колебания. В некоторых случаях, она просто усили­ вает параметрический эффект, но в основном эта сила обус­ ловливает качественно новое явление — наличие, наряду с главной, также и «основной» зоны неустойчивости. Потеря устойчивости в «основной» зоне тесно связана со II формой поперечных колебаний. Для широкого класса пружин, резо-

200

Г Л А В А 4

НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ «ПРУЖИНА - МАССА»

■К 'нелинейным резонансам обычно относят резонансы де­ ления (субгармонические) и умножения (супергармонические) частоты внешнего воздействия в целое или дробное чис­ ло раз. Таковы, например, субгарімоническне колебания меха­ нической системы, состоящей из твердого тела, подвешен­ ного на упругих нелинейных пружинах. Динамическая мо­ дель такой системы представлена на рис. 82. Существенной особенностью этого устройства можно считать то его свой­ ство, что источник возбуждения эксцентрикового типа входит в качестве главной составной части механической системы, так что при реализации режима субгармонических колебаний всей системы в целом сам источник возбуждения участвует в движениях, по крайней мере, двух форм — с частотой субгармоники и частотой возбуждения. Хотя большая часть

экспериментов [55] проводилась на моде­ лях, принципиально подобных устройству, изображенному на рис. 82, теоретическое рассмотрение задачи о субгармонических колебаниях ограничивают иногда изучением одного дифференциального уравнения типа

Дуффинга, что соответствует лишь одной степени свободы си­ стемы и, следовательно, не отвечает условиям постановки экс­ перимента, требующего учета взаимодействия вибратора с коле­ блющейся системой.

Из рассмотрения модели (рис. 82) очевидно, что источ­ ник возбуждения в ней (вибратор) принципиально іне мо­ жет быть неограниченной .мощности, так как сам он входит в состав всего устройства и потому должен подвешиватыся на упругих элементах. Известно [56, 80], что для возбуж-

202

Учитывая отмеченные особенности рассматриваемой сис­ темы и самого явления деления частоты, можно предполо­ жить, что еубтармоніичесміге виды движения ів общем случае не являются резонансами как таковыми, а представляют .со­ бой одно из многочисленных проявлений синхронизации ди­ намических систем [57], ікопда ограниченная мощность ис­ точника возбуждения имеет принципиальное значение [58]. так как только в таком случае возможна взаимная синхрони­ зация источника и системы на обертоне собственной частоты системы.

Можно показать, что один из резонансов деления внеш­ ней частоты, так называемый основной демультипликационный резонанс деления в два раза, может иметь природу, от­ личную от субгармонических движений обычного нерезонансного вида, если системн имеет плавную нелинейную харак­ теристику упругой восстанавливающей силы. Для возбужде­ ния этого резонанса не требуется никаких дополнительных синхронизирующих импульсов, для него достаточной оказыва­ ется так называемая неустойчивость в .«малом» стационар­ ных режимов вынужденных колебаний, когда .создаются

.необходимые условия для самовозбуждения второй субгармоники. Под неустойчивостью в «малом» подразумевается способность некоторых систем выделить (и затем усилить) из бесконечно большого хаотического многообразия малых возмущений или движений, всегда имеющих место в р е а л ь ­ н ых системах, те движения, фазовые соотношения которых іс внешним возбуждением благоприятны для перекачки энер­ гии источника в нарастающие колебания типично резонанс­ ного характера. Как известно, такими 'Свойствами усиления слабых .сигналов обладают параметрические системы, или системы с перводичеоки изменяющимися во времени парамет­ рами, .вызвавшие интерес, особенно за последние два-три де­ сятилетия, в связи іс изобретением достаточно сильно нели-

203

кую модуляцию параметров 'колебательных систем сравни­ тельно небольшими амплитудами внешнего воздействия.

Явление а-втопараметрической генерации колебаний в ме­ ханической системе :в целом описывается нелинейными диф­ ференциальными уравнениями второю порядка с п о с т о я н ­ н ы м и коэффициентами. іРабота п е р в о й гармоники при изменении консервативного параметра системы с несиммет­ ричной 'характеристикой упругой восстанавливающей силы соответствует резонансу деления внешней частоты вдвое. При этом работа второй гармоники нам 'известна, й именно она ответственна за явление «скачка» с низшего энергетического уровня системы к состоянию с большей амплитудой устой­ чивых периодических колебаний. Частота параметрической генерации в этом случае совпадает с -частотой вынужденных колебаний и близка ік собственной частоте системы в целом. Не нарушая общности подхода, работу второй гармоники при

.изменении параметра системы можно проследить, исследуя устойчивость вынужденных колебаний симметричной систе­ мы, как это достаточно убедительно показ-ад Дж. Стокер ([59]. Остальные автопаіраметричеоюие резонансы в системе с о д н о й степенью свободы соответствует супергармониіческой области существования или резонансам умножения частоты внешнего возбуждения. Теория этих резонансов, имеющая дело с величинами более (высокого порядка малос­ ти по сравнению с теорией основного демультиплика штанно­ го резонанса, оказывается, естественно, более громоздкой в отношении математических выкладок, хотя « ие менее понят­ ной оо стороны физики -явления.

Чтобы -максимально приблизить условия проведения экс­ периментальной проверки основных положений теории к ис­ ходным предпосылкам соответствующей математической пос­ тановки-задачи, позволяющей хотя бы в первом, но доста­ точно строгом, приближении описывать движение системы ■одним дифференциальным уравнением, соответствующим од­ ной степени -свободы системы, возбуждение колебаний от внешнего источника будем предполагать осуществляющимся по одной из двух ниже прилагаемых схем (рис. вЗ, а и 83, б).

204

В первом случае {ргас. 83, а) возбуждение к системе, состоя­

ірпстшкой, наприиімер линейной, находящейся между внешним

твляется переменным ,инерционным силовым полем (вибрируіющее основание). Под внешним источником следует пони­ мать электродинамический Или механический вибратор, даю­ щий, по предположению, чистый гармонический тон. Нетруд­

Рис. 83, а, б

чей « ой .мощности источника внешнего воздействия на сис­ тему, так как сам источник в перво,м приближении можно рассматривать независимым от колебательного контура. Имея в виду механизм возбуждения колебаний в рассмат­ риваемой нелинейной системе с одной степенью свободы, сам колебательный контур мы условно будем 'называть парамет­ рическим генераторе,м, хотя более правильно следовало бы его назвать в общем случае преобразователем частот. Явле­ ние параметрической генерации в рассматриваемой системе в общем случае сопровождается взаимодействием вынужден­ ных колебаний с параметрическими, возникающими на гра­ ницах устойчивости вынужденных. Такой случай, требующий учёта 2-х степеней свободы, в данном исследовании не рас­ сматривается.

Изучаемый вопрос, кроме теоретического интереса, мо­ жет иметь и практическое значение, например для внбраци-

205

іонной техники, пде уже сейчас имеется потребность в ус­ тройствах, преобразующих частоту возбуждения в субгар­ моническом или супергармоническом режимах [60]. Очевид­ но, не менее интересными оказываются параметрические яв­ ления для теории виброамсфтизац'ии.

Введением понятий об энергоемком и диссипативном па­ раметрах колебательной системы в целом вся задача рас­ сматривается с энергетической точки зрения; особое значе­

щей силы.

Исследование динамики системы с несимметричной ха­ рактеристикой а также свободных и гармонических колеба­ ний молено провести, исходя чіз оценки общего характера изменения во времени энергоемкого параметра.

Анализ амплитудно-частотных характеристик субгар­ моники показывает, что в а в т о п а р а м етр и чес кл х сис­ темах имеется не только «порог» возбуждения, но и «пото­ лок» по амплитуде внешнего воздействия.

I. ОСОБЕННОСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

НЕЛИНЕЙНЫМ МОДУЛИРОВАНИЕМ ПАРАМЕТРА

§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Твердое тело, удерживаемое в /положении равновесия упругими .'элементами, выполненными в виде винтовых или листовых консольных пружин, представляет собой удобную для теоретического и экспериментального исследования ди­ намическую модель, которая позволяет решать разнообраз­ ные задачи в различных областях приложения теории колеба­ ний, например теории виброамортизация. Решению задач виброизоляции в линейной постановке посвящены многочис­ ленные работы, в которых рассмотрены различные случаи расположения амортизируемого объекта по отношению к упругим связям, приводящие в общем случае к связанным движениям в направлении различных координат. Такое по­ ложение находит свое отражение в том, что переменнее в

206

дифференциальных уравнениях движения не разделяются. Основной вклад ів линейную теорию виброамортизации сде­ лал, вероятно, П. :Ф. іПалікович, который впервые указал на те практически важные частные случаи, тогда переменные ів дифференциальных уравнениях движения твердого тела пол­ ностью можно разделить. Это, например, имеет место когда центр жесткости упругой системы совпадает с центром тя­ жести амортизируемого тела, причем главные оси жесткости совпадают с главными центральными осями инерции системы. Необходимое условие симметрии оказывается недостаточ­ ным в случае учета нелинейности упругих восстанавливаю­ щих сил амортизаторов [61]. Основным недостатком линей­ ной постановки задачи можно считать то, что іона не может объяснить ряд эффектов, имеющих специфическую нелиней­

различных форм, имеющая место при соблюдении некоторых условий, определяющих соотношения между параметрами системы как при свободных колебаниях, так и при действии внешних периодических сил. ‘Именно благоприятным сочета­ нием некоторых параметров системы со многими степенями свободы можно объяснитъ явление трансформации или пере­ качки энергии из одной формы колебаний в другую. Одним из первых такой случай рассмотрел В. О. Кононенко [63].

Особенности нелинейно-параметрической связанности в задаче колебаний роторов изучены М. Я. Кушулем и Г. П. Аникеевым [62]. В последующих работах В. О. Кононенко и его учеников показано, что 'геометрическая нелинейность уп­ ругих связей твердого тела, колеблющегося около центра масс под действием внешней периодической силы, действую­ щей в направлении одной из главных координат, может явиться причиной интенсивных колебаний большой амплиту­ ды по другим координатам, по которым не действуют внеш­ ние аилы, т. е. имеет место квазиортогональное возбуждение в области основного демультйшш'кационного резонанса.

Аналогичную задачу в несколько иной постановке рас­ смотрели >Р. Ф. Генри и С. А. Тобайас [64], которые нашли другую ветвь параметрических резонансов, соответствующую ісуіпергармоничесікой областей. Некоторые частные случаи так

207

.называемого внутреннего резшаиоа в нелинейных .системах также можно отнести к рассматриваемой задаче. Однавдо не все кратные соотношения между собственными «ли парци­ альными частотами 'различных форм (координат) .необходимо приводят к нелинейно-параметрической связанности или к так

заться, что эти .соотношения — дробные, .например, вида 3/2, 5/2 и т. д. Основная особенность этих соотношений .состоит в том, что они должны удовлетворять уравнению Матье — Хилла [53] или другому уравне­ нию с периодическими коэффици­ ентами. Рассмотрим простой при­ мер. Пусть имеется колебатель­ ная система, состоящая из балки, покоящейся на двух одинаковых нелинейных пружинах (рис. 84)

с характеристикой R=K(e0x +

» ..О I _

-р SjX--i-e2;r;, где е1т е3 —малые параметры, или константы пру­ жин. Вертикально-поворотные колебания балки опишутся двумя уравнениями, соответствующими координатам х и Ѳ:

х+ш*.ѵфа.ѵ2+рѲ2+7рѵ'3+£*:Ѳ2 = 0,

0+м|Ѳ+&сѲ+ѵѲ3+ рх‘-Ѳ = 0.

где

М'

Здесь М и / — масса и .момент инерции балки соответствен­ но. -Переменные х и Ѳ в уравнениях (4.1) оказываются свя­ занным« посредством нелинейных членов, малых в общем случае; тем не менее эта колебательная система глубоко

208