Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

8.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

проходила через пересечения данной кривой (рис. 55, а).

Определяют число точек пересечения		кривой с этой линией
(2	точки). Ту же операцию (линия в,	в)	повторяют для оси
у	(4 точки). Отношение найденных таким		путем двух чисел
равно искомому отношению частот ( — = 2			.Число пересече

ний линии параллельной оси х пропорционально колебаниям по оси у и наоборот. Таким образом, форма траектории изо браженная на рис. 54, а и 55 является характерной для главного параметрического резонанса, когда

—=2, (ß='l).

w0 п о п

На рис. 54, б изображена пружина в основном поперечном резонансе, который совпадает со II областью неустойчивости,

когда —^ — = 1;(н=2). Частота возбуждения стенда ш = 22гц.

№ 0 ПОП

2Хх= 3 мм.	Траектории движения точек витков в данном слу
чае «меют	форму эллипса. Бели аналогично предыдущему

координаты	к и у выразим через общий параметр t, x=sin£,
у — sin (і+ф), то уравнение движения точки			в данном слу
чае будет	уравнением эллипса:
	- J ( ! — +	- - £ - = 1.	(3.8)
	1 -j-COS ф	1 — COS Ф

Таким образом, эллипс является результатом ортогональной ' комбинации двух синусоидальных колебаний с равными час тотами. Амплитуда параметрических колебаний в случае изображенном на рис. 54, б, сильно усиливается наличием поперечной вынуждающей силы, которая появляется вслед

ствие эксцентриситета установки				и цепной силы.
'Как следует из анализа траектории,						изображенной на
рис. 54, в,		здесь соотношение частот равно				1/2. Насамом де-
		-	стенда	, *	гц и		ш		1
ле, частота возсуждения				ш=І1			------=		— ,
							Ш 0 ПОП		2
(п=4).	Чтобы возбудить		эти колебания		необходимо				давать
очень большую амплитуду возмущения					2Хх =44 мм. Таким
образом, параметрические колебания в					пружинах			проявля
ются	весьма четко и величина			установившихся				амплитуд
(рис.	54)	еще раз показывает опасность пренебрежения этим
эффектом,		при решении конкретных задач.

159

2. ВЛИЯНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ХАРАКТЕРА ПОПЕРЕЧНЫХ ЖЕСТКОСТЕЙ

Наблюдая за развитием неустойчивых колебаний, можно заметить, что потеря устойчивости пружины происходит в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Это объяс няется тем, что в отличие от обычного круглого стержня, пружина по главным осям инерции уу и гг имеет неоди наковые жесткости. Существование неодинаковых жесткое-

.тей обусловлено наличием дробного числа витков в реальных пружинах и угла между плоскостью изгиба и одной из экст ремальных осей.

Если Вт соответствует среднему значению изгибной

жесткости,	то максимальное и минимальное значения жест
кости, для	нулевого вышеупомянутого угла будут	[15]
	В шах	(3.9)
	ИЗmin 1 +

~ (2+Р) И )2

Соответствующие поперечные собственные частоты

где -До- — относительное экстремальное отклонение жестко-

ß „3
стн, й)0поп	— частота, соответствующая		среднему значе
нию Ва3.
Итак, при изменении возмущающей			частоты пружина
проходит два	резонанса, соответствующие		ш = (ш„ шш)тах и
Ш= (И0 поп)шіп с амплитудами у = со		Н 2 = о о ..
Задача об определении областей неустойчивости приво
дит к двум дифференциальным		уравнениям с переменными

коэффициентами относительно двух главных осей инерции. Однако, при малых значениях амплитуды продольной силы, колебания в обеих главных плоскостях происходят независи мо друг от друга, іи области неустойчивости лежат ©близи частот

Шкр1~ 2 ( ш 0 non)max j/" 1 НН е, шкр„— 2(ü)n non)min 'V 1-+- £.

( 3 .1 1 )

На рис. 56 изображено распределение главных областей не-

160

устойчивости на	to	т1\ дляпру-
устойчивости на	плоскости параметров	т1\ дляпру-
	2ш0
жины с — —4;	/п0=0,1; -^І- = 0,01 и s= 0,2 тѵ
D	Виз
Без учета экстремальных значений жесткости		получается

область ограниченная пунктирными линиями, лежащая вбли зи частоты

0)Кр/2с0д= 1.

Фактически имеем две зоны неустойчивости вблизи частот

mitpi.a	« 1 ± —	(3.12)		и
2со0	2 Виз
Разнос зон тем больше,		чем боль
ше величина	. При больших		ко-
	Вцз	тг >
эффициентах	возмущения	тг >	т*
(рис. 56), пружина теряет		устойчи		Рис. 56
вость на всем интервале между ниж

ней границей области, соответствующей toKp , и верхней гра ницей, соответствующей шКр2. В зон-е іс двойной штриховкой наблюдаются пространственные параметрические колебания, сопровождающиеся биениями. Формула (3.12) подтвержда ется результатами экспериментов, приведенными в гл. 3 п. 8.

3. ВЛИЯНИЕ ВТОРОЙ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Установлено, что равнодействующая осевой силы про ходит не по центру пружины, а смещена на величину эксцен триситета. Кроме того, в реальных условиях, в частности в вибромашинах, всегда имеется небольшой эксцентриситет ус тановки, а также некоторый угол между направлением про дольной силы и осью пружины. Это приводит к появлению поперечной нагрузки. Влияние этой нагрузки учитывается следующим образом:

JO'Т*

—— + Q3 (1 — 2s cos tot)T=F cos tot, (3.13)

где F cos <at — приведенная поперечная составляющая про дольной силы.

11. М. В. Хвингия и др.

161

Обычно при рассмотрении динамической устойчивости, влиянием этой силы пренебрегают, считая, что она играет роль «малого возмущения» в начальных условиях задачи. Когда же частота этой оилы совпадает с частотой одной из собственных форм поперечных колебаний, возникает резо нансное колебание, вызывающее значительную деформацию,

и в этом случае	поперечная	сила существенно		влияет на
параметрические	колебания.
'Рассмотрим два случая,		когда	необходимо	учитывать
силу F:
1. Если и = ш0 поп = шкр,		система	находится	во второй
области неустойчивости. Правая часть уравнения				(3.13) вы

зывает резонансные поперечные колебания по первой форме, которые усиливают параметрические колебания, обусловлен ные однородной частью уравнения (3.13). Зона неустойчи вости при этом оказывается намного шире зоны, определяе мой по обычной теории.

Теоретическое обоснование вышесказанного дано в рабо те [49] для случая -стержневых систем, но результаты в известной мере можно распространить и на пружины, заме

няя стержень эквивалентным брусом.
2.	Поперечная сила	возникает-		также при	іо= ш03ПОп>
где	ы02поп — частота второй формы собственных попереч
ных колебаний. Не всегда			со02 поп	является целым крат-
					ПОП
Н Ы М ОТ Ш 0 п о п , поэтому в завіиснмости от отношения ——---------
система при ш = ш02 поп может находиться:					2ш0 поп
система при ш = ш02 поп может находиться:
а)	выше верхней праницы главной области				неустойчи
вости;
б)	в главной области		неустойчивости;
в) ниже границы .неустойчивости.
Рассмотрим эти случаи		подробнее:
1. Когда
					(3.14)
	^ ( і > 0	п о п

точка, определяемая параметрами однородной части уравнения (ЗЛЗ), лежит в области устойчивости, вблизи верхней границы главной области. Однако, как будет показано ниже,

162

при наличии правой части решение уравнения (3.13) все-таки аказьгвается неустойчивым.

Соотношению (3.14) удовлетворяют пружины с часто встре

чаемыми на практике				параметрами. Например, пружины с
т = О удовлетворяют				неравенству (3.14) при			H0/D = 4-ьб.
Для этих HJD и т1 = 0,05 имеем
М°-2л°п	/		1,05-^1,16 > ^£- = 1,01-4-1,017.
2со0 „он					2Q
.Поэтому представляет				практический		интерес	рассмотрение
уравнения типа	(3.13). Преобразуем уравнение						(3.13) с по
мощью подстановки			2т=ші к виду
	d2T		-f- (a—2q cos 2т) T =ф(т),				(3.15)
где	№

4Q2		0		8Q2	4f (—		(3.16)
а = _ _ ;		2q= —- г;			ф(т)=	ы2

Представим функцию F(t) в комплексной						форме
тогда		F cos <x>t=Re (Fe~i№‘),

			ФМ= ^		е ' /2т-		(3-17)
Пусть 7 \ ( т ) и Т2(т)		решения однородного				уравнения, когда па
раметрическая точка		(a,		q) на диаграмме		Айнса—Стретта нахо

дится между кривыми а2п и Ь2п+1. Эти решения имеют вид [53]:

Тг(х)=е№	2	c2re/art;	а д = е " 'р*	2	(ЗЛ8)
	/■ = — со		г = —		со
В этих решениях		ß — действительное и		0 < ß < l.
Эти решения	устойчивы и		период равен		тс.

Общее решение уравнения (3.15) найдется с помощью ме

тода вариации, и при	нулевых	начальных	условиях
Т = 0;	іШ «0;	(т= 0)	(3.19)
имеет вид	dx
имеет вид

163

■ где	=7\(0)		dT2(0)			dT.jO)	определитель Вронского.
			dx			dx
Подставляя			(3.18) ів	(3.20)		и учитывая			(3.17), получаем
			4^о	та(х)		У с . А е ^ Ч х - Т ^ Х
	Т (х ) =			та(х)		У с . А е ^ Ч х - Т ^ Х
			со2 4
				~		р	Ч			(3.21)
			X	2	c s r eiöxd r			,		(3.21)
			Г = -т о
где	г = 2(г— 1) -4-р,			5= —[2(г+1)+Р].						(3.22)
После интегрирования					получаем
	AFо					e / Y t _ l				е / б т _ 1 И
	AFо		Т 2( г )
Т(х) =			Т 2( г )			/г
	ш24					/г
										(3.23)
С учетом введенных обозначений,							последнее выражение пе
репишется		в виде
	7(т) = 4^о					___ ]___			jg/(2r+ß)t __	g - / 2 t j __
		ш24				2 ( г + - 1 ) + р
			— ------- : --------			Ге-У(2г+Р)т_		g-/at\| .		(3.24)
			2 ( r - l ) + ß

’.Выражение (3.24) представляет собой амплитуду колебаний в комплексной форме. После выделения действительной и мнимой частей імож іно найти огибающую колебательного процесса

\T\ = V(ReT)*+ (Im T f.

(3.25)

Члены с е~2ІТ представляют собой вынужденные колебания,

вызванные силой	F cos u>t,	члены с е,(2г+Р)Т играют роль
(собственных колебаний, а		\|2 r-j-ß \| = Q2r ипрает роль собст
венной частоты в	безразмерных единицах.

164

Таким образом, даже если параметры а, q определяют точку, находящуюся в области динамической устойчивости, система все-таки теряет устойчивость, когда частота вынуж

дающей силы ф(т) совпадает с ß^.

Потеря устойчивости

с периодом тс происходит вблизи час

тоты

± г= 0,1,21...

т. е.

(3.26)

Ö2r=

= |2г+р I,

2r+ ß

Когда

со02 1

< VI -

É,

(3.27)

2(0п

параметрическая

точка

(а,

лежит

между

кривыми а2п+1,

Ь2п4.а, а период функций 7\(T)e_/ßT и T2(x)e;ßt

равен 2я. В этом

случае решение

может быть

получено путем

замены во всех

предыдущих формулах 2г па 2гҢ-1. Потеря

устойчивости прои

сходит вблизи частоты

(О=

± r= 0 , 1, 2,...

(3.28)

|2 r+ l+ ß |

Соотношению

(3.27) удовлетворяют,

например,

пружины с

т —0 и H0/D= 1-^2. Для этих пружин

Цогпоп

д р 77^.0 87 <

;

Если

2со0 „оа

(й02 1

V I + е >

(3.29)

2со,

Опоп

то точка (а, q)

находится

первой

области неустойчивости

н .поперечная сила,

ікаік в случае I усиливает параметрические

колебания.

Условие (3.29)

выполняется,

например,

для

пружины с

т = 0 и H0/D=3,l. Таким образом,

при расчете пружин на ди

намическую устойчивость

необходимо учитывать соотношение

~ °2поп

и при выполнении

условий (3.14),

(3.27)

обнаружи-

2ü)g поп

вается новое свойство системы, а именно еще одна зона не устойчивости вблизи частот (-3.26) или (3.28). По этим формулам, собственной форме колебаний Q соответствует

1 6 5

'бесконечный спектр резонамедых частот. Из всего (множест ва резонансов в исследуемом случае может быть реализован только один, при г=0, т. ік. поперечная сила F проявляется только при ш= со02 „on, а в других случаях сила F пренебре жимо мала. ■

Резонанс, возникающий при одновременном действии па раметрической и вынужденной поперечной нагрузок, у Е. Е. Голоскокова и А. П. Филиппова [54] назван «основным» ре зонансом в отличие от главного параметрического резонан са, возникающего при действии только продольной аилы. Эксперименты на реальных пружинах подтверждают нали чие наряду с главной, так же и «основной» зоны неустой чивости.

4.ВЛИЯНИЕ ВТОРОЙ ФОРМЫ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Вбольшинстве задач по динамической устойчивости вы нужденное продольное движение системы заменяется состоя нием равновесия. Эта замена вполне оправдана, когда вы нужденные продольные колебания системы происходят вдале

ке іот резонанса, т. е. когда 115]

ѵ = ——— > 1,25 или < 0 ,8 .

ш0 пр

(Когда резонанс вынужденных колебаний расположен вбли зи параметрического резонанса, необходимо совместное рас смотрение обоих видов движения. Для стержней это выпол нено в работах [49, 67], а для пружин — в работах [15, 52].

В пружинах резонансы п-то порядка вызывают доста точно большие деформации. Учитывая, что вторая собствен ная продольная частота щ02Пр=2аз0 Пр, то

	ух= —Ш-.. = 0,2386 /,		(3.30)
	Ш02ПР
где f(m, HJD)—частотная функция.
Из	(3.30) следует, что если 3,35 ^ /^ 5 .2 5 , то значение ѵх
находится в пределах 0,8		1,25.
Как видно из графика (рис.		57), а также из таблиц функции
/ [15], .интервалу значений		/ =3,35—5,25	соответствуют до
вольно	распространенные на практике		пружины с # 0/£?да
«2-ь4	и с различными предварительными поджатиими.

16S

Значит, для широкого клаюса пружин, резонанс вынуж

денных продольных				колебаний по				II	форме	лежит вблизи
параметрического			и	необходимо				совместное		рассмотрение
обоих видов		движения.
Один	из	способов			[49]	составления
уравнений динамической устойчивости осно
ван на раздельном рассмотрении вынужден
ных и параметрически возбуждаемых коле
баний. Невозмущенное движение отожде
ствляется с недеформированным							состояни
ем, и учитывается			реакция			„продольной“
системы на перемещениях и.
Решая уравнение вынужденных								коле		Рис.	57
баний пружины			g		Gd1	д^и		д2и _

			7 “ №4*1?
находим эффективную осевую продольную силу
		АЬэф = P0+ P ikCO~							cos at.		(3.31)
							sin	k
При со = ш02пр,		k = 2тѵ получаем Дг2Эф = '».
(Поведение	пружины с				учетом		N&ф		может	быть	подробно
исследовано методом,					приведенным в работе					[15].

Для приближенного определения границы главной облас ти неустойчивости сделаем замену динамического коэффици

ента более простым выражением, т. е.
k cos kE	1	(3.32)
sin k	J _ M

^02nP

Введем в формулу (3.3) вместо действующего е '«эффектив ное» возмущение

	£эф —	(3.33)
		СО
получаем		со,02ПР
получаем
со2		(3.34)
ІО2	1-ѵ;/г2	(3.34)
ІО2	1-ѵ;/г2	8(1-ѵ2/г2)3±9е (1—v\|n2)’

167

где	п= ■со
	2Q~			со
				со
Пренебрегая членом с é2 и решая относительно [----] , полу-
чаем
	/ со \ “	1 —(—v“	1 — Vj)2± 4ev2	(3.35)
	\ 2 ß j	~	2v\	(3.35)
	\ 2 ß j	~	2v\

іИз выражения (3.35) получаются две главіные области .не

устойчивостію Одна лежит в б л и з и = І> вторая — вбли

зи резонанса II формы продольных колебаний, т. е.

	4Q2	= — .			(3.36)
	4Q2	Vi
.'Возникновению неустойчивости :при			со=(о02Пр	можно	дать
следующее объяснение. С приближением ѵх				к единице	глу
бина модуляции параметра зЭф оказывается настолько					боль
шой, что область	неустойчивости		весьма	расширяется и
становится возможной потеря устойчивости при частоте					ш =
= co02np, удаленной от	частоты	параметрического возбуждения

cDgp = 2Q.

Если учитывать продольное затухание, то .неустойчивость становится возможной лишь при глубине модуляции, пре вышающей некоторое предельное значение. С учетом зату хания

где			еэф = V	0	-ѵіі—2+ ѵі (52„р/ к		) ’	(3.37)
где	^2ПР	декремент затухания второй формы продольных
колебаний.
и т,	.Как видно из графика (рис. 57), при определенных HJD
и т,	ѵа = 1,	т. е.	ш,0 2 ПР = 2Q.		Для этих пружин			происходит
(слияние областей			неустойчивости.				в бином получаем
	Раскладывая радикал формулы (3.35)						в бином получаем
			1	±	--------------.			(3.38)
		4Q2“			1 -	1
					1 -

То есть при ѵ2 = 1 ширина области с учетом II продольного

резонанса будет в два раза шире по сравнению с обычным случаем.

168

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2917 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202315.28 Mб14Козырев, А. П. Теория тепловых и гидродинамических процессов в атомных энергетических установках учеб. пособие.pdf
#
23.10.20234.71 Mб22Кок У.Е. Видимый звук.pdf
#
29.10.20235.38 Mб8Кокин Л.М. В поиске истины.pdf
#
23.10.202326.71 Mб52Колачев, Б. А. Механические свойства титана и его сплавов.pdf
#
30.10.202313.57 Mб8Колдомасов Ю.И. Комплексное развитие транспорта СССР, 1961. - 179 c.pdf
#
24.10.20238.97 Mб6Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов..pdf
#
30.10.202313.58 Mб19Колесник Н.В. Устранение вибрации машин.pdf
#
23.10.20233.9 Mб7Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций.pdf
#
23.10.20237.68 Mб21Колесников К.С. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.pdf
#
21.10.202310.16 Mб6Колесников, П. М. Энергоперенос в неоднородных средах (математическая теория).pdf
#
22.10.202315.08 Mб8Колесов, Л. Н. Введение в инженерную микроэлектронику.pdf