книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

да: диапазон регулирования частоты 04-5000 гц, амплитуда колебаний стола 0 4-10 мм, точность показаний частотомера

0,5 гц.

Пружины с расположенииьш между ними грузам крепи­

при различных степенях сжатия и растяжения пружин, ко­

перпендикулярно столу, опары перемещались в направляю­ щих вертикальной раімы.

Отсчет частоты при резонансе осуществлялся по часто­ томеру стенда с точностью до 0,5 гц.

L)

Рис. 11

50

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ТЕЛА, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА КОНЦЕ КОНСОЛЬНОЙ ПРУЖИНЫ

§ 1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ

Упругая система состоит из консольной пружины и зак­ репленного на ее конце тела. При вертикальном креплении пружины система оказывается дополнительно .напруженной осевой сжимающей силой Р, равной 'весу закрепленного тела. Через основание пружины системе передается продольное возмущение Q0P(t)- Как и в рассмотренных ранее случаях, погрешности монтажа и особенности конструкции вызывают, помимо продольных, другие виды колебаний. Так, несиммет­ ричное крепление тела относительно оси пружины обусловли­ вает возникновение момента, непѳрпендикуляріиюість оси пру­ жины основанию — появление поперечной составляющей в нагрузке и т. д.

Расчет связанных между собой продольно-крутильных' колебаний не отличается принципиально от подобного расче­ та, рассмотренного в п. І.І и поэтому может быть осущест­ влен по формулам (1.14) и (1.16).

Что же касается поперечно-поворотных колебаний, то для пользования формулой (1.18) необходимо рассмотреть опредление коэффициентов Dx, D2, D3, £>4 применительно к рассматриваемой упругой системе.

В системе с консольным креплением твердого тела к пружине поперечные перемещения всегда связаны с его по­ воротом, в то время как р схеме крепления тела между пру­ жинами эта связь имеет место лишь в случае несимметрич­ ного расположения массы либо при различных жесткостных характеристиках пружин; к тому же, даже в сильно несим-

51

метричиых системах, коэффициенты взаимного влияния не­ существшны.

В рассматриваемой же системе эти коэффициенты зна­ чительны и пренебрежение ими приводит к существенным неточностям.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ ПРИ СОВМЕСТНОМ РАССМОТРЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИИ

Уравнения изгибающего момента іи поперечной силы име­ ют вид:

Совместное решение этих ураівпаний дает следующие выра­

Постоянные А1 -і-Аі определяются из граничных условий, которые запишутся следующим образом:

52

Не приводя здесь ірешение системы, окончательно получим:

Для определения угла поворота в точіке крепления тела ис­

Для вычисления коэффициентов D3 и Di определим теперь угловую и поперечную деформации при нагружении упру­ гой системы в точке крепления груза моментом Мт. Вдоль ■оси пружины приложена продольная сила Р (рис. 14).-

Дифференциальные уравнения момента и поперечной аи­ лы будут:

53

Когда продольная сила равна нулю,

При расчете коэффициентов Dx, D2, D3, Di приближен- ■ны.м методом Ритца-Тимошенко упругую ось поперечно де­ формированной пружины аппроксимируем функцией

Полный прогиб, учитывающий изгиб и сдвиг от поперечной силы определяется по формуле (1.38). Сдвиг, обусловленный силой S, выражаем уравнением

Далее составляем выражения потенциальных энергий изгиба, сдвига, работы сил S и Р на соответствующих перемещени­

ях, приравниваем изменение суммарной потенциальной энер­ гии приращению работы внешних сил и окончательно полу­ чаем:

где

54

Перейдем .к рассмотрению деформаций систеімы, связан­ ных с действием момента, приложенного к грузу. Упругую ■ось опишем функцией

После определения потенциальной энергии и работы внеш­ него момента получаем

55

5 а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗДЕЛЬНОМ РАССМОТРЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИИ

Вышеприведенные аппроксимации и формулы, получен­ ные на их основе, пригодны для совместного рассмотрения поперечно-поворотных колебаний. Если же с целью опре­ деления парциальных частот рассматривать каждое из ко-

56

леба.ний изолированно, предполагая, что система .имеет только одну степень свободы, то форму пружины в процес­ се .колебаний следует аппроксимировать функциями, близки­ ми соответственно первой п второй формам колебаний.

Первая форма колебаний может быть описана функцией,

исходить из полученных уже соотношений (1.141, 1.142) либо

(1.44).

Что же касается поворотных колебаний (рис. 15), то для получения статическими методами реальной формы упру­

гой оси пружины, соответствующей второй форме колеба­ ний, вводим в упругую систему, напруженную моментом Л4НЗ, дополнительную опору на свободном конце и заменяем ее действие неизвестной силой S0 и дополнительным к (1.130) и (1.135) граничным условием: 5 - ( у ) х = ң = 0 .

Тодда дифференциальные уравнения, выражающие изги­ бающий момент и поперечную силу в сечении упругого эле­ мента, запишутся в виде

Угол поворота в точке х= Н равняется

57

При расчете угловых перемещений приближенными ме­ тодами изгибную ось, соответствующую второй форме коле­ баний, аппроксимируем функцией

Исходя из этих соотношений, с учетом сдвига от про­ дольной силы методом Рптца получаем следующее выраже­ ние угла поворота в точке крепления тела

(1.155)

58