книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

ібания устойчивы всюду вне піределов ширины основания па­ раметрической резонавсиой кривой. Проведенное исследование ■устойчивости равновесных состояний справедливо в «малом». Под действием конечных возмущений состояние Л = а=Ь = О может оказаться неустойчивым н вне пределов области воз­ буждения, т. е. будет иметь место генерация жесткого типа, обусловленная частичным перекрытием областей равновесия (системы и колебаний в «затянутом» режиме. Такое положе­ ние будет видно из построения амплитудно-частотной юривой.

Исследование устойчивости отличных от нуля решений в общем виде громоздко, однако из самого вида этих решений можно ожидать, что устойчивой окажется ветвь, соответству­ ющая положительному значению корня в (4.43) и (4.46). Применение критерия (4.63), как и прежде, дает 6>0. (Пред­ положим далее, что затухание в контуре настолько мало, что им можно пренебречь. Первое решение консервативной 'задачи, как видно из (4.43), будет

Уosо

^ = - 1 (чХ - Зе2Хго),

дЬ) о 2

тогда из второго критерия устойчивости (4.64) имеем

3 е2а„ (ехА — 3e2Xz0) > 0,

8

что всегда имеет место при соблюдении условий положитель­ ности (коэффициента возбуждения

2 (ехХ — 3s2Xz0) > 0 .

Исследование второго решения

239

является нелинейной расстройкой, ответственной за ограни­ чение амплитуды субгармоники. В безразмерном виде £н можно представить как

нулевое состояние неустойчиво и в системе возбуждаются субгармонические колебания, т. е. устойчивым оказывается главное решение, а неустойчивым — вынужденное.

240

при малых X показывает, что слагаемые, входящие в 5„0, час­ тично компенсируют друг друга, выключая расстроенный ме­

чений, расширяет область возбуждения за счет увеличения

ной расстройки —■£Д3 от накачки, приводящее к тому, что при

заданной фиксированной расстройке £ даже небольшое увеличе­ ние X вызывает заметное уменьшение А. Пунктиром на рис. 90 обозначены неустойчивые ветви кривых.

Сравнение условия возбуждения (4. 75) с аналогичным неравенством для параметрических .систем с непосредствен­ ной модуляцией параметра |[69]

Тогда половина коэффициента возбуждения системы в пер­

242

устойчивости .вынужденных колебаний (граница самовозбуж­ дения субгармоники) для автопараметріической системы име­ ет наклон при больших X в сторону положительных расстроек. Это объясняется тем, что в выражение (4.78), в отличие от (4.76), вместо линейной расстройки £ входит ве­ личина £—£но, вызывающая смещение границы (4.79) впра­ во.

вая, построенная по полученным выше формулам. Кривую іоубгаірмоніики удобно строить следующим путем. Из уравне­ ний связи (4.44) или (4.47) стационарной амплитуды А и смещения z0 при заданной амплитуде накачки X определяем величину А, задаваясь .величиной z0 (.которая должна выби­ раться меньшей А)- Подставляя затем величину А в (4.43.)

дование устойчивости ненулевых решений, проведенное вы­

действие начинает проявляться лишь после достижения сис­ темой состояния, соответствующего «скелетной» кривой, ко­ торая занимает некоторое среднее полож.ение между ветвя­

243

кривой субгармовики видно, что слева и оправа имеются об­ ласти SO и LNE, которые одноарамеино соответствуют как /устойчивым состояниям равновесия по отношению к малым возмущениям, так и состояниям с устойчивой амплитудой па­ раметрических колебаний конечной величины, т. е. имеет место взаимное перекрытие областей. Такое положение, как (известно, обусловливает возможность появления (режимов /жесткою возбуждения. Колебания, соответствующие участ­ ку LNE верхней ветви кривой, являются «затянутыми» коле­ баниями в область больших расстроек. Нижняя, нереализу­ емая ветвь кривой, играет существенную роль в установлении ггого или иного режима колебаний в системе под действием

О

Рис. 91

возмущений 'конечной величины (устойчивость в «большом»). Эта ветвь является «водоразделом», отделяющим область притяжения нулевого решения от области притяжения реше­ ния LNE. Пока внешнее возмущение меньше КМ, система будет возвращаться .к первоначальному состоянию равнове­ сия (режим вынужденных колебаний, который существует ©сеида). Лишь в том случае, когда возмущение превышает величину КМ, возникнут установившиеся колебания большой [амплитуды и двойного периода — субгармонические колеба­ ния. Предельная глубина затягивания определяется также устойчивостью в «большом».

244

Установившиеся колебания большой амплитуды устой­ чивы до тех пар, пака система «е будет переброшена через неустойчивую .ветвь DI(E под действием случайных возмуще­ ний типа толчков, имеющих место в реальной системе. Наи­ большая величина возмущения, при которой еще возможен режим установившихся субгармонических колебаний, как видно из рис. 91, убывает по мере удаления от резонансной области CD, что ясно из простого анализа формулы (4.46). При соблюдении условия возбуждения (4.49) значение рас­ стройки, при которой происходит срыв колебаний (точка Е, ірис. 91), определится из условия равенства нулю под­ коренного выражения в (4.65), т. е.

4 —

<ül

Из сравнения фіармул для определения амплитуд субіармоники с аналогичными формулами для свободных коле­ баний можно видеть общие в них элементы, в частности величины нелинейных расстроек £н. Это и позволяет при ре­ шении уравнений (4.28) или (4.33) под переменной z в главном решении х = Asin2cu1^ -f- z подразумевать свобод­ ные колебания

поддержанные параметрическим эффектом, выражающимся математически в том, что разность под корнем в (4.43) ста­ новится положительной, т. е. естественное -затухание систе­ мы подавляется коэффициентом возбуждения

2(e-l 3£22q)X.

Остановимся вкратце на механизмах ограничения ампли­ туды колебаний.

Системы с периодически изменяющимися параметрами не ■имеют насыщения в резонансном режиме, если в ник отсут­ ствует нелинейность, регулирующая величину амплитуды.

В рассматриваемом нами случае автоп-араметричеокой системы -всегда имеет место равновесие между величиной

245

стационарной амплитуды субгармоники и нелинейными рас­ строенными явлениями, что ясно из формулы (4.43).

Возрастание собственной частоты за счет субгармоники при X= const уводит систему от точной для данного мо­ мента настройки, соответствующей частоте возбуждения 2шь при этом ухудшаются условия передачи энергии от внешнего источника к возбужденным колебаниям субгармовшш. Рас­ строенные явления ограничения амплитуды А играют реша­ ющую роль в процессе ее установления, хотя механизм ди­ намического смещения тоже вносит вклад в ограничение осо­ бенно больших величин А. Появление неосциллирующей сос­

ограничению амплитуды А, а затем к ее срыву при дальней­

пределе, при А-*-со. Механизм динамического смещения сво­ дится к действию обратной связи, когда рост субгармоники автоматически уменьшает коэффициент возбуждения 2 (£х —

Зв2г0)Х.

§ 5. ВЛИЯНИЕ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НА ОСНОВНОЙ Д ЕМУЛ ЬТИПЛ ИКАЦИОННЫИ РЕЗОНАНС

Упрощенное представление характеристики

R(x) = К(е0х-1- е ^ + е ^ х 3)

дает возможность в 'наглядной форме изложить сущность не- лиінейно-пара'метричеокой генерации и оценить роль каждого нелинейного члена в этом процессе. Возникает, однако, воп­ рос о влиянии отброшенных при рассмотрении высших степе­

246

шим коэффициентам изменения параметра и, следовательно, и 'Некоторому расширению области параметрического возбуж­

таточной для подавления затухания в системе при имеющей­ ся амплитуде возбуждения. Пятая степень полинома /Ce.jX'T по аналогии с третьей, не создает комбинационных воздей­ ствий, поддерживающих субгармонику, а лишь дополни­ тельно увеличивает величину нелинейной расстройки.

ным образом количественный эффект. Поэтому в практичес­ ких расчетах можно -ограничиться кубическим полиномом, что значительно облегчает расчет. Для задач вибро-аморти­ зации, рассматривающих применение нелинейных элементов типа винтовых пружин или плоских консольных рессор, существенный интерес представляет критерий устойчивости (4.68) вынужденных колебаний Xsin 2&xt — г0, так как нормальный режим правильно рассчитанной системы виброизоляции — нерезонансный, устойчивый, характеризуемый малыми ■колебаниями. Так как ввбршгзоляциоиные системы обычно работают ів основном зарезонансном режиме, они могут длительно или кратковременно находиться в области частотных соотношений, где возможно возбуждение субгармоничеокого -резонанса.

Интерес проектировщика вибрационной -машины, рабо­ тающей -в режиме параметрического деления частоты, сосре­ доточивается -на условиях (4.49), (4.75) возбуждения субгарімоники, обеспечивающих заданный резонансный режим.

247.