книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

саны ів [76, 77]. Ценным качеством такого нелинейного эле­ мента является также возможность получения низкого за­ тухания в системе,

■Вкачестве рабочей схемы для теоретического последова­ ния мы будем рассматривать модель осциллятора (рис. 86),

упругий подвес которой представляет собой две обычные ли­ нейные пружины постоянной продольной жесткости с.

Будем предполагать, что в исходном положении равнове­ сия пружины растянуты и закреплены шарнирно.

Тогда упругая восста­ навливающая сила системы

1

- 1 с sin Ср,

>.COS IР

где Р0 — с (I — 10) — предварительное натяжение пружины жесткости с и свободной длины /0;

ср — ѵгол между отклоненной осью пружин и ее проек­ цией на ось у,

X — -величина поперечной деформации подвеса. Разложив тригонометрические функции sin ср и cos ср в

ряды но степеням х, получим выражение для восстанавлива­ ющей силы

219

R = I\x + ал'3-f-ѵлг>+ .

Таким образ«ам, учет «геометрической нелинейности подве­ са приводит к симметричной нелинейной характеристике уп­ ругой восстанавливающей силы, раскладывающейся в ряд Тейлора по «нечетным степеням «перемещения л.

В более общем случае характеристика «может быть пред­ ставлена в «виде полинома «по четным н нечетным степеням перемещения.

Такую несимметричную характеристику практически по­ лучают «из симметричной «путем «приложения к упругому элементу некоторого усилия, предварительно деформирующе­ го симметричную систему (рис. 86), например, путем введения в нее пружины с линейной характеристикой жесткости сг. Если поджать (или ра'стянуть) эту пружину на величину s,. в системе установится новое положение статического равнове­

А — величина «предварительного смещения снмметр'ичнон системы.

Приняв за положительное направление л вниз, получим следующее выражение для івосстанаівліивающей силы:

P=«2[P0sin ср+c/(tg ф-sin ф^ + ^ х - ^ Р о З т To + c^g T0sin Фо)].-

Раскладывая в ряды по степеням перемещения тригоно­ метрические функции sin cp, sin ф 0, tg ф , tg ф 0, будем иметь, следующее выражение для Р = Р(х):

220

Таким образом, в функции R(x) появился .квадратичный член, учитывающийімеру асимметрии системы, деформиро­ ванной на величину предварительного постоянного смеще­

S2 = ß-|“ 107)A3>

Из выражений (4.11), (4.13) видно, что влияние силы, зави­ сящей от перемещения и постоянной силы, сказывается на характеристике одинаковым образом, вызывая появление чет­ ных степеней, учитывающих неодинаковую величину восста­ навливающей силы в зависимости от направления перемеще­ ния из положения нового статического равновесия. Влияние ѳтнх сил противоположным образом отражается на собствен­ ной частоте системы. В первом случае собственная частота увеличивается за счет введения дополнительного упругого элемента. Во втором случае при введении дополнительных постоянных сил веса для увеличения предварительной де­ формации собственная частота системы будет уменьшаться.

Положительным качествам искусственно созданной асим­ метрии характеристики является то ее свойство, что вели­ чина коэффициентов полинома может изменяться произволь­ ным образом за счет изменения предварительного смещения А, т. е. характеристика системы приобретает в значительной степени .свойства управляемости. Для некоторых резонанс­ ных режимов это может иметь большое значение. Введение

221

предварительного смещения в симметричную систему соот­ ветствует сдвигу рабочей точки на характеристике (рис. 87) в положение нового статического равновесияОѵ относительно

систем является то их свойство, что в процессе колебаний — ■свободных, вынужденных или параметрических — появляет- но&ое статическое ся постоянная (неосциллирующая)

\равновесие составляющая, сдвигающая по­

ложение статического равновесия Ои в новое положение, соответ­ ствующее динамическому равно­ весию. Появление неосцнллирующего члена диктуется требова­ нием постоянства величины по­ тенциальной энергии в обоих крайних положениях системы от-

носительно точки статического равновесия Оѵ Смещение сере­ дины размаха колебаний происходит, как известно, в сторону с меньшей жесткостью, т. е. направлено к положению равновесия несмещенной симметричной системы (точка О на рис. 85).

§ 4. ХАРАКТЕР МОДУЛЯЦИИ ЭНЕРГОЕМКОГО ПАРАМЕТРА

ОСНОВНОЙ ГАРМОНИКОЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

■В отличие от режима гарімонического резонанса, когда ü)«]/s0ü)0, рассмотрим поведение колебательного контура в более общем, так называемом нерезонансном случае, для кото­ рого частота внешнего воздействия ш отличается от собственной

частоты ]/е0ш0.

Движение осциллятора (рис. '85 или 86) будем описы­ вать уравнением, .в котором учтены более 'высокие степени полинома в разложении R(x), т. е.

(4,15)

Динамические модели колебательных систем, изображенные на рис. 85 и 86, отличаются друг от друга только величиной

•коэффициентов при нелинейных членах в уравнении (4.15).

222

Каждая из моделей обладает определенными достоинстваши. Бели у второй модели нелинейность упругого элемента может быть довольно большой при сравнительно малом за­ тухании, что важно для анализа количественных результатов (особенно в эксперименте), то преимущество первой схемы

— в большей наглядности, что удобно для качественного

анализа.

Итак, при приложении к осциллятору внешнего гармо­ нического воздействия F0 sin wt нерезонаноной частоты в общем случае в 'системе возникнут вынужденные .колебания

собой монотонную кривую, имеющую по крайней мере пер­ вые производные во всех точках рабочего диапазона. Кри­ вая, изображенная на рис. 88, удовлетворяет этому условию. Непосредственно из рисунка видно, что крутизна карактерис-

223

оказывается достаточным приближением к точному. Главное ■решение х состоит из в ын уж дети но г о — Xsin wt и дру­

R

Рис. 88

гого, пока неизвестного решения z, которое может включать в оебя в общем случае постоянные и осциллирующие слагае­ мые. Под z мы .можем подразумевать, например, свободные колебания, существующие в р е а л ь н ы х системах всегда (несмотря на то, чта они могут быть весьма малы), исходя хотя бы из простых флуктуациоииых соображений.

Подставив (4.19) в (4.15), получим следующее уравне­ ние для переменной z:

где

ф(г, X, t)= K(z1-\-3z'X sin <d/-|-6e3X2 sin2 ü>/-|-10e4X3 sin3 w/) z2-i-

- ) - /< \s 2-1 -4 s 3?v sin cü/-|-10e4X2 sin2 cü/)z3+/C(e3+5£4Xsin lü^+ZCe^5.

(4.22)

Выражение в скобках перед z в левой части уравнения (4.21) 'можно переписать ів виде

метра основной гармоникой вынужденного режима таков, что

ной — со второй. В частном случае симметричной системы с

•кубической характеристикой (рис. 89) имеем гармоническое изменение параметра с удвоенной частотой по отношению к частоте силы F0sin со/. Если под г в уравнении (4.21)

226

подразумевать 'Свободные колебания системы малой ампли­ туды 'Или -малое 'возмущение типа вариации од:, то ид осно­ вании простых комбинационных соображений лето видеть, что первоначально слабые 'колебания z могут быть поддер­ жаны параметрическим воздействием, т. е. при некоторых благоприятных частотных сочетаниях системы и внешней силы может наступить параметрический резонанс. Действи­

колебательную систему будут действовать внутренние силы с комбинационными -частотами і[73]:

Первая сила — с частотой со/2 — может поддерживать коле­

Этот случай параметрического резонанса по частоте совпада­ ет с гармоническим, — вызывая известное явление «скачка»

т. е., если частота внешней силы со будет составлять 2/3 от собственной — (случай субультр-аrap-моничеокого ре­ зонанса).

Аналогичную картину будем иметь и при -рассмотрении последующих гармоник при модуляции dR/dx, каждая из

227

которых сама по себе .может явиться причиной параметричес­ кого резонанса. Эти резонансы будут иметь .место в областях (неустойчивости колебаний Xsin сot вынужденного режима, где устойчивым оказывается другое состояние системы, оп­ ределяемое главным решением (4.20), при соотношениях частот

ны и осциллирующие составляющие высших тонов. Постоян­ ные члены соответствуют сдвигу динамического равновесия системы, а высшие гармоники являются 'обычными обертона­ ми нелинейной системы.

Таким образом, нелинейность системы проявляется двоя­ ким образом. С одной стороны, она является причиной гене­ рации обертонов (хорошо изученное свойство нелинейности), с другой — .вызывает периодическое изменение энергоемкого параметра системы. Традиционная роль нелинейности по ог­ раничению амплитуды остается и здесь и заложена в нели­ нейной функции ф(2, X, t) уравнения (4.21).

Из уравнения (4.21) можно видеть, что при некоторых

(частотных соотношениях Y £0и>0/ш возможно взаимодействие параметрически возбужденных колебаний с обертонами, что может принимать форму своеобразной нелинейно-параметри­ ческой синхронизации.

Всистеме с симметричной характеристикой такое

.(взаимодействие может иметь место в нечетных областях

ц-гай системы имеем более сложную картину из-за наличия четных гармоник в правой части уравнения (4.21).

Вводя основную гармонику Xsin ш/, называемую накач­ кой, в уравнение движения (4.15), мы учитываем тем самым модуляцию параметра только основной частью полного вы­ нужденного решения, т. е. не учитываем влияние обертонов на dR(x)/dx.

228