книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

отлична от линейной колебательной системы -с двумя степе­ нями свободы. Отличие заключается в том, что при сколь угодно малых колебаниях поведение системы существенно оп­ ределяется нелинейными членами, входящими ів ее диффе­ ренциальные уравнения и выражающими связь между обеи­ ми степенями свободы. Ввиду того, что нелинейные члрны представляют собой величины высшего порядка при малых колебаниях, они мало оказываются на колебаниях парциаль­ ных систем или, точнее, парциальные системы 'мало влияют одна на другую. Но можно убедиться, что при некоторых со­ отношениях парциальных частот должно наступать сильное взаимодействие между -парциальными колебаниями и следу­ ет ожидать резонансных явлений.

Действительно, если отклонить балку -в вертикальном направлении на величину А и отпустить ее при нулевой на­

учитывая только первую гармонику в законе движения и пренебрегая для простоты динамическим смещением. (Вслед­ ствие этого колебания параметры системы, и в частности па­ раметры, определяющие парциальную частоту координаты Ѳ начнут периодически меняться с частотой шх и кратной, ей. Подставив (4.3) во второе уравнение системы (4.1), -получим

Из полученного уравнения (4.4) видно, что параметры, опре­ деляющие значение собственной частоты системы по коорди­ нате Ö оказываются периодически изменяющимися во вре­ мени, -что и обусловливает возможность параметрического возбуждения поворотных колебаний при приближенных со­

отношениях частот — ä j2, 2/2, 3/2,... п/2. В зависимости от шѳ

относительных величин коэффициентов при нелинейных сос­ тавляющих -перемещений в характеристике упругой восста­ навливающей силы R = R(x) -одно из этих резонансных соот­ ношений может преобладать, т. е. с большей легкостью мо­ жет возбуждаться парциальное колебание, определяемое

этим соотношением. Таким образом, в рассматриваемой сис­ теме могут возбуждаться суб- и супергармоіничеекие коле­ бания координаты Ѳ, равновесие которой оказывается дина­ мически неустойчивым. Аналогичную картину можно полу­ чить и по другой координате х. Дадим угловое смещение ко­ ординате Ü и, отпустив балку, вызовем ее колебания по форме

бательной энергии из одной формы в другую, пока последняя не израсходуется в реальной системе на затухание. При этом оказывается характерным для таких самовозбуждающпхся колебаний, что максимальной амплитуде одной из форм (своеобразная пучность) соответствует минимальная ам­ плитуда другой — впадина или узел, что является следст­ вием закона (сохранения энергии. В автономных системах, т. е. в системах без внешней подкачки колебательной энер­ гии, возбуждаемые параметрическим воздействием колеба­

внешнего источника, то следует ожидать, что между ампли­ туда ми парциальных колебаний при соблюдении условий воз­ буждения установится равновесие, и таким образом можно добиться устойчивых субили супергармюничеоких колебаний. В таком (Случае рассмотренная система (рис. 84) может работать в качестве преобразователя частот с ортогональ­ ным возбуждением. Поступательное движение при этом может трансформироваться в поворотное или наоборот, что практически может представлять непосредственный интерес

210

для вибрационной техники. Таким образом, если в задачах вибро-амортизации -параметрические явления, как правило, не желательны, они могут быть использованы в вибротехни­ ке. -Рассмотренные выше связанные колебания балки позво­ ляют отметить характерные особенности нелннейно-парамет- рпчеокого возбуждения оистем, заключающиеся в том, что свободные или -вынужденные колебания одной или нескольких форм вызывают периодическое изменение жесткости относи­ тельно других координат и (всей системы в цело-м путем ра­ боты механизма нелинейных связей между (различными коор­ динатами. Результатом такого изменения параметров системы может явиться самовозбуждение колебаний невозмущенных форм, находящихся в состоянии относительного покоя.

Задачи о нелинейно-параметрическом возбуждении в той или ивой мере можно -свести к колебаниям пружинного ма­ ятника, -где особенно наглядно и математически не очень громоздко -можно изучать явления самовозбуждения колеба­ ний, перекачку энергии, например, метода-ми теории возму­ щений, как это -сделано -в исследовании [65].

Нелинейно-связанные -колебания могут иметь место ?з различных объектах техники, начиная от движения искусст­ венного спутника и морского -судна [66] на -волне до разно­ образных электрических устройств. Предложения тракто­ вать их с общи-х параметрических -позиций делались неодно­ кратно многими авторами і[67, 68].

Принято считать, что минимальное число степеней -сво­ боды, позволяющее обнаружить нелинейную связанность раз­ личных форм колебаний, равно двум. Двумерным система-м по этой причине и посвящено подавляющее число работ. Такая точка зрения стала общепринятой, вследствие чего, возможно, и не делалось попыток последования -механичес­ ких систем -с одной степенью свободы -с целью обнаружить и в них аналогичные параметрические эффекты, которые -бы имели ярко выраженный резонансный характер. Можно наде­ яться, что исследование параметрической генерации в самом іпростом -случае системы с -одной -степенью -свободы будет иметь прикладное значение для теории виброизоляции, виб­ рационной техники и теории устойчивости движения.

211

Мы рисомоприм только такие нелинейные резонансы, которые но ;ряду признаков могут быть квалифицированы как автопара.метрические, т. е. резонансы, самовозбуждение которых является результатом неустойчивости вынужденных ■колебаний системы, причем имеется периодически меняю­ щийся параметр, обусловливающий эту неустойчивость. Диа­ пазон самовозбуждения автопараметрнчесікого резонанса полностью определяется решением уравнения по первому приближению (уравнения в вариациях), амплитуды же гене­ рации находятся нз полного уравнения возмущенного движе­ ния с учетом нелинейных членов. В общем случае период воз­ бужденных колебаний отличается от периода, с которым из­ меняются параметры системы и от периода внешнего гармо­ нического воздействия. Известно, что трансформация энергии особенно эффективна при удвоенной частоте изменения па­ раметра системы по отношению к собственной частоте коле­ бательного контура.

Согласно формулировке Л. И. Мандельштама [69] под параметрическим возбуждением будем понимать «явление возбуждения колебании при помощи периодического измене­ ния параметров системы», и варьируемыми параметрами мо­ гут быть как э и е р г о ё м к и е, та к и д и с с и и а т и в и ы е. В общем случае энерго&мкими параметрами называют пара­ метры, определяющие запас энергии в системе. Например, в электрических цепях [70] энергоемкими оказываются реак­ тивные параметры — емкости и индуктивности, от величины которых зависит запасенная в цепи электрическая или магшитная энергия; в механических системах — параметры, оп­ ределяющие потенциальную и кинетическую энергию сис­ темы, — .жесткость упругих элементов, масса или соответст­ вующие «вазиупругие параметры (длина маятника). В колеба­ тельных системах энергоемкие параметры определяют зна­ чение собственной частоты. Изменяя энергоемкие параметры, мы изменяем энергию системы -и производим над ней рабо­ ту, как бы «накачивая» в систему энергию. При этом ока­

212

параметріичеокое возбуждетие).

К гетеролараіметричеокому возбуждению можно отнести исключіителыно разнообразный класс задач с модуляцией энергоемкого параметра, начиная от электрического генера­ тора Мандельштама—Папа лемси и кончая механическими системами, в той или иной мере сводящимися к классичес­ кому опыту Мельде или маятнику с колеблющейся точкой подвеса. Следует сразу же подчеркнуть, что системы с те­ теронараметричеоким возбуждением могут быть принципи­ ально линейными, так как нелинейность в них ответственна лишь за ограничение амплитуды параметрической генера­

непосредственного участия. Эту мысль применительно к ме­ ханическим системам ©первые, по-видимому, высказал И. И. Гольденблат. Хотя количество работ, посвященных системам с непосредственной модуляцией параметра, продолжает рас­

вопроса хорошо изучена (эти системы описываются обычно однородными уравнениями типа Матье—Хилла), с другой

— были изобретены нелинейные элементы типа полупровод­ никовых диодов, параметры которых — индуктивность, ём­ кость, проводимость ■— могут сильно изменяться под дейст­ вием переменного электрического тока. На основе этих эле­ ментов и были .созданы высокоэффективные параметрические генераторы — параметрюны, нашедшие исключительно широ­ кое применение в электронике, радиотехнике, вычислитель­ ной технике и т. д. [70, 71]. В основе работы этих устройств лежит классическая теория Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалеиси [72] о явлениях резонанса второго рода, которую можно было бы назвать также теорией нелинейно-параметри­ ческою, или автопараіметричеоиого резонанса. Здесь имеет место второй способ 'модуляции параметра— (б), особен­ ности которого мы рассмотрим ниже.

213

Таким образам, было показано, что «з всех ‘резонансов де­ ления внешней частоты лишь 'субгармонический резонанс вто­ рого порядка связан с неустойчивостью стационарного вы­ нуждеиного режима.

Подчеркивая общность процессов в інел.ииеш-ю-параімет- рнческнх системах, не зависящую от характера модулируе­ мого параметра, можно подытожить следующие характерные черты параметрических вообще и, следовательно, автопараметрпческиX явлений:

1. Возбуждение колебаний в зонах Матье с возраста­ нием амплитуд по экспоненциальному закону.

2.Отсутствие пропарциональности между амплитудой возникающих 'колебаний и глубиной модуляции или амплиту­ дой внешнего воздействия.

3.Резонансіюсть этих явлений, разыгрывающихся в ог­ раниченных частотных интервалах так, что кривая резонанса подходит к оси абсцисс под конечным углом (не асимптоти­ чески, что характерно для обычного резонанса).

Так .как «порог» возбуждения, кроме всего прочего, за­ висит и от р а с с т р о й к и , под которой мы понимаем укло­ нение от точного выполнения одного из частотных соотноше­ ний, удовлетворяющих уравнению Матье, то параметрическая генерация начинается (и заканчивается) при каком-то значе­ нии расстройки. На всех частотах, лежащих за пределами допустимой расстройки, (колебания отсутствуют.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых особенностей автопараметрического возбуждения в нелинейной колебатель­

ной системе с модулируемым э н е р г о е м к и м параметром. Для понимания сущности происходящих в таких системах па­ раметрических явлений значение имеет такое понятие, как ■«крутизна характеристики». Здесь и в дальнейшем крутизну будем определять как первую производную от характеристики системы. Если характеристика упругой восстанавливающей

ііх

215

Отсюда и возникает требование монотонности характеристики, чтобы -во всех точках рабочего диапазона имелись по край­ ней мере первые производные.

Существенной особенностью нелинейных систем, пожалуй, впервые отмеченной в упомянутой выше работе о резонансе второго рода, является то их свойство, что и в условиях не­

описывается совместно вынужденной и параметрической сос­ тавляющими. 'Процесс самовозбуждения 'Генерации не строго

x(t) = x1-fx2 = X cos cü^+a cos ш2t,

причем амплитуда одного из составляющих значительноменьше другого: а < X. Рассматривая колебание хг в ка­ честве вынужденного, а х2— как малое отклонение от пос­ леднего (вариацию), можно характеристику ^(Xj.+H) пред­ ставить в виде ряда Тейлора по степеням х2.

Тогда інел-инейіная система по отношению к с л а б о м у коле­ банию х2 оказывается линейной — поскольку R(x) пропор­ циональна х%и параметрической — поскольку параметр сис-

dR(x1)

т е м ы --------зависит от времени по закону, определяемому dxx

большим колебанием xx{t), и не зависит от х2{і). При -на­ хождении системы в критических областях неустойчивости

216

----- -x 2 = U, становится возможным нарастание первоначаль- dxt

но слабого колебания х2 — автопараметрическое возбужде­

ние.

Приведенная линейная модель самовозбуждения колеба­ ний справедлива лишь для малых величин х2. Когда хг ста­ нет одного порядка с хг, система должна рассматриваться как нелинейно-параметрическая, что позволит определить ве­ личину установившихся амплитуд колебания х2. Таким об­ разом, действие механизма сводится к реализации неустой­ чивых решений уравнений в вариациях, определяющих вели­ чину диапазона автапараметрическоіго возбуждения.

Если подразумевать под хг колебания вынужденного режима

которых условиях, соответствующих достаточной глубине из-

ющими и даже начнут возрастать, благодаря перекачке энер­ гии от внешнего источника воздействия посредством Xcos2co£ к составляющей х0.

217

Таким образом, 'нелинейная система, описываемая диф­ ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, обладает 'параметрическими свойствами не по отношению к в ьш у ж д ей н ым колебаниям, а по отно­ шению к колебаниям, возникающим на границах устойчи­ вости вынужденных. Характер установления амплитуды коле­ баний при этом определяется нелинейными членами хг в (4.10) и величиной неосциллирующей составляющей динами­ ческого смещения середины размаха х0, которое мы пока не (ввели в выражение характеристики. Принятый закон движе­ ния системы в виде

x = x1(t) -f- x2{t) = X cos 2ü)/f+/l cos cot

соответствует реализации в параметрическом .генераторе ос­ новного демультиплпкацнониого резонанса деления внешней частоты вдвое, что отвечает первой зоне Матье; остальные самовозбуждающиеся резонансы будут супергармонпчеекими.

В общем случае параметрический генератор с нелиней­ ной жесткостью будем характеризовать одним видом нелиней­ ной функции — зависимостью восстанавливающей силы R от перемещения х (R—x — характеристическая кривая), вы­ раженной в виде полиномиального ряда Тейлора.

§3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЖЕСТКОСТЬ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА

ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Одним из основных элементов 'механической колеба­ тельной системы является упругая характеристика, опреде­ ляющая восстанавливающие свойства упругих связей. Ме­ ханические системы могут представить нам большое (много­ образие характеристик, имеющих либо истинно упругую [природу, либо квазпупругую, например в системе с маятни­ кам. Для целей экспериментальных исследований и количес­ твенной проверки теоретических выкладок может представ­ лять интерес конструкция нелинейного элемента в виде жест­ кого (криволинейного лекала и плоской консольной пружины

(рис. 85).

Вопросы реализации заданной в виде полинома нелиней­ ной характеристики в реальном устройстве и подбор про­ филя лекала для обеспечения кубической составляющей оші-

218