книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЗБУЖДАЕМОЙ МАССЫ, ЗАКРЕПЛЕННОЙ

/

МЕЖДУ ПРУЖИНАМИ С РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Практика эксплуатации

вибрационных машин, измери­

тельных 'приборов и аналогичных

механических систем по­

казывает, что значительный интерес представляет исследова­

ние динамической

устойчивости

пружин с

закрепленной

массой. Главные рабочие колебания системы происходят под

действием силы, приложенной к

массе, т.

е. упругую сис­

тему можно рассматривать как сжато-изогнутый эквивален­

тный стержень с силой в пролете. Кроме того, в реальных

условиях отдельные пружины имеют различные геометричес­

кие и жесткостные характеристики, которые подробно рас­

смотрены ів

главе

2.

Прежде чем перейти к рассмотрению динамической ус­

тойчивости

системы рис.

58, определим

ее приведенную'

жесткость с учетом деформации сдвига, влияния продольной

сжимающей силы и силы в

пролете.

Предположим, что про­

дольная

жесткость

второй

пружины равна Спр, тогда,

если отношение продольных

жесткостей

обозначить че­

рез ух,

первая

пружина

будет

иметь

жесткость

СлрУ!. Аналогично,

если

/

пружина имеет

сдвиговую

Всд и изгибную Виз

жест­

кости, то II

пружина будет

иметь соответственно жесткости, равные Всду' и В,13у".

При растяжении или сжатии системы на величину X, пружины

работают как последовательно включенные жесткости; при этом

точка О (рис. 58) перемещается в направлении

поджатая и де­

формации I

пружины равна

(3.39)

Деформация II пружины

X,

X

Х10 —

*Гі

(3.40)

1+Гі

N2HXH2 (sinkxHxcos /г2Я2

L sin /г2Я2 cos ^ Я ^ ^

^

“ “ s„7~ I

+

V

J

'

где

+ 2(1 — cos kxHx cos k2H2),

kl=. N

Я

щ - Ы

х + J L

1

Яиз

\ 5 СД

Виз Y

+ Вед Y/

У=Ум+Уо+Уз = Уг+Уз’

(3-49)

где

ум,

yQ

и

ys

— соответственно прогибы

от .момента,

поперечной составляющей силы N и ирюпиб от сдвига, выз­

ванный силой

5.

іРаосматриваемая система состоит из пружин с разны­

ми длинами и жесткостями, концы которых

не поворачива­

ются,

поэтому

упругую

ось

системы

представим в

виде

двух

полуволн

квадратной синусоиды и

двух

прямолиней­

ных участков, учитывающих влияние изгиба

и сдвига.

Для

I участка

имеем

Ум= 9ism

к

X

Уч=Я\

Яг

sm4

тс

X

(3.50)

—

— .

2

77"> Js~y2

я ,

2

Нх

■/'£

' “

Всд

Нх

Для

II

участка

имеем

y M=qxA sin2

ТС Н —х

N,

sin2

тс

Н —х

2

Я,

’

Уч^'-ЧiA BaCf'

Т

я .

Н —х

Us = <7а

(3 .51 )

~нГ

где

А — величина,

определяемая из условий сопряже­

ния I л II участков, т.

е. при ху — Нг н хг— Нг, у1=у1,

Ум =Ум и

д _

__ 1 + А У В с д

(3.52)

SH3

1+у" ËJL

Л2 +

2л4 5 ИЗ

Всл)

I 16

Я„

4“ 1 би2ВслВцз

1

т

Ях

Л2

l + —

tLL

і

Л

16л:2 Впз

Ni

Я,

r'

т

н 2

1

JJ 2 J

N\H\

1

n 2

н х

NxN2H\

1

№

Л2

+

8л2 ВспВ,

Nx

H.z J

JV?

(y')2_

.

16л;2 BcaBll3H2 L

сд ^ н з

2лг15„,

(3.53)

+ HiBcAl+Y'HjHJ

Упростим

выражение

(3.53);

воспользовавшись формулами

(3.44) и

(3.47),

получим

X -

SH-

/з>

(3.54)

где

2-'ВJ.QH3

(go —0,615 m10)2

f% =

_|_ A

(3.55)

^ i m io (?0

^ ю ) a 3

a 2

a 4

®6

Здесь

Л1=0,0897(Я0/7>)2,

Л2=0,0345(Яо/Я;2;

Л3=5,283Д /Я 0)2,

с0—0,615 т1 0

I —

— 0,615(то—т 10)

mn—т10

а0 = .

1

( Ч - л ѵ г д

тл

16;

а4 =

1

/ ,

2а ,

сф42\

4?о

ГіТ

----11 -)------

Ті

У

Ч о \

гіг'

а.

а^І-аМ *)-

а б = 1 і + ] / 4 £ о Г і -

В таблице 22 даются числовые значения функции

f's

НЛ

Для

наиоолее часто встречаемых на

практи-

/л, 50, Уі> —-

іке

случаев.

.Когда сила приложена в середине, а жесткости пружин

одинаковы, т. е.

(71

у1= 7, = у',= 1) Щ0 = — > Т0ГДа а1 = а3= й4 =

2

= а 8=1, а3 = -і-,

а5 = 0

и получаем

известную формулу для

идеального случая [15].

В таблице 23 сопоставляются точные и приближенные

значения функции

/|,

полученные по формулам

(3.48) и

(3.55) при поджатии т 0 = 0,4. Для

меньших значений поджа­

тая совпадение результатов улучшается.

Как видно из таблицы, наибольшее расхождение наблю­

1,0

0,4

1,432

1,988

2,193

0,935

1,338

1,403

0,852

1,332

1,279

0.2

1,614

2,141

2,441

1,072

1.483

1.608

0,944

1,358

1,416

0.0

1,765

2,321

2,648

1,178

1,587

1.7о8 0,973

1,330

1,460

—0,2

1,909

2,488

2.863

1,253

1,654

1,880

0,968

1,284

1.452

—0,4

2,039

2,638

3,058

1,301

1,694

1,951

0,948

1,235

1,423

1/0,9

0,4

1,540

2,062

2,308

0,985

1,409

1,477

0,896

1.403

1,349

0,2

1,691

2,254

2,561

1,119

1.561

1,707

0,982

1,429

1,509

0,0

1,843

2,443

2,811

1,226

1,670

1,884

1,009

1,400

1,559

—0.2

1,989

2,618

3,045

1,302

1,741

2,005

1,005

1,352

1,550

—0,4

2,122

2,775

3,255

1,352

1,783

2,081

0,986

1,300

1,517

0,9

0,4

1,385

1,855

2,078

0,886

1,268

1,329

0.809

1,084

1,209

0,2

1,536

2,029

2,283

1,024

1,405

1,511

0,906

1,286

1,325

0,0

1,686

2,198

2,489

1.113

1,503

1,655

0,936

1,260

1.363

—0,2

1,827

2,356

2,685

1,203

1,567

1,757

0,930

1,216

1,357

—0,4

1,952

2,498

2,864

1,248

1,605

1,825

0.910

1,170

1.331

Т а б л и ц а

23

H0ID

2

3

4

Уі

£о

С

*0

0,4

0,5

0,6

0,4

0,5

0,6

0,4

0,5

0,6

Точное

0,932

значение

1,444

1,752

1,911

1,207

1,341

0,841

1.199

1.207

) , 8

Приближ.

1,742

1,952

0,832

1,191

значение

1,300

1,248

0,761

1,183

1,132

Точное

2,299

1,020

1,323

значение

1,534

1,938

1,308

1,524

0,940

1,412

1

Приближ,

1,462

2,193

0,935

1,403

значение

1,958

1,338

0,852

1,332

1,279

Точное

1,595

2,199

2,714

1,120

1,505

1,752

1,061

1,480

1,575

значение

,25

Приближ.

1,627

2,178

2,437

1.040

1,489

1.561

0,943

1,479

1,427

значение

■Выражение (3.54)

определяет

статический троги б сис­

темы, а

'коэффициент,

стоящий

перед

f%,

соответствует

прогибу

обычной

балки.

массе; поэтому т10

можно представить как сумму предвари­

тельного

от10 и амплитудного т1 поджатий:

mio= wio+mi cos

(3.56)

Подставив

(3.56)

в

(3.54) получим

<р(0=

2тс4В0из

cos (ö^-Ь • • ■+а5т\ cos5 соt\

(3.57)

cos co7-f- • • • -\-bbm\ cos5 шt>

где a0,

ax,

..., b0,

blt.. — величины, не зависящие

от вре­

My-\-<?{t)y = 0.

(3.58)

Упростим функцию,

стоящую в квадратных скобках выра­

жения

(3.57). Если за

-независимую

переменную

принять

тг cos u>t, то делением

числителя на

знаменатель

функция

ср(7)

раскладывается в

бесконечный степенной ряд

Макло-

рена:

9—4Р

(3.59)

ф(/) = .2ІЕГ°?і (Z o + Z ^ c o s u t+ Z jn \cos2cof+ • • •)>

Щ

где коэффициенты

Z

определяются из

следующих рекуррен­

тных

соотношений:

_ «о .

20

аі

Z0 Ьх ш

(3.60)

2і

Zn==an - Z°bn Zlb

...Zn-гК

(/г==о, 1,2, —; an>a= bn>a— 0).

К

Пользуясь функциями

кратных

углов из

выражения

(3.59)

получаем следующий

ряд:

00

00

9(0 = - ^ - ^ —

(

К

У,

У,

K t COS п a t ] ,

(3.61)

Hl

го

+ 2

2

■•»/

п=1 /'=О

где

K r='Z0+ - 2п -

+ —

-^4т і + •••+

Z2jtnl' + ...;

8

22/

Q

1Г)

pi

/li=Z1m1+ — Z8m®+ — Zbm\ + ... +

Д-1-2, Z2/+1mz/+1-f

9 2 /

^ + 2 /

7 ,

П+21

(3.62)

/і„= 2 2 - 2П+2/-1'

n+2>m

n= 2 /=0

Двойной ряд (3.62) сходится

абсолютно, так как m ^ l . По

той же причине сходится ряд

(3.59). Вопрос о том,

на какой

p+Q2 (l - f2

V

V s n/ cosnc^ У= о.

(3.63)

V

п = 1

/ = О

Здесь Q2= - ^ ° - ü i-

h0

— собственная поперечная частота

МЩ

силы, а

Т а б л и ц а 24

H JD

2

4

т0

£о

0,4

0,5

0,6

0,4

0,5

0,6

0

0

0,5664

0,4309

0,3776

1,0276

0,7517

0,6851

1

0,3106

0,0068

—0,2071

0,7248

0,0042

—0,4832

2

0,8826

0,6787

0,5883

1,5672

0,5684

1,0439

3

0,1877

0,0034

—0,1243

3,6944

0,0042

—2,4552

4

0,0.81

0,4645

0,0657

7,4047

3,3017

4,9287

п

—1,2936

0,0001

0,8622

9,7282

0,0172

—6,4539

0,4

0

0,6840

0,5106

0,4560

1,1730

0,7504

0,7818

1

0,5146

0,00005 —0,3430

2,3647

0,0013

— 1,5738

2

1,3108

1,2697

0,8736

7,4384

3.2782

4,9466

3

—1.08о2

0,0014

0,7265

15,1898

0.0404

—10,0332

4

—2,6249

—0,5253

—1,7530

26,9017

17,5884

17,6380

п

—4,5041

0,0068

3,0336

2,6693

0.4161

— 0,1339

областей

уравнение

(3.63)

имеет периодическое

решение с

периодом

7с или

2л.

Поэтому решение будем искать в виде

y(t)iЯ= 2

fßnsin -шг- + b „ cos

.

/

(3.65)

я=і,3...

'

1

' y(t)я =

V

(aÄsin

+ bncos

+b0.

(3.66)

/і= 2 ,4 ...

^

г

’

ditpj —2Q j^/~ l-i-

(£i ± £а>2

8+ 9 ѵ£1+ б3/9)

икри

^ 4 1 + £а—2éJ,

ш,

Q | / 1

(ег-=а)2

(3.67)

Г 3 - 4 . , + е,

со ,„4 Ѵ

1 -4-1

9 (ег ±

е212

8-+- 9ех± Sg

Q

/

г~

I

I 1б£і£2(еі + £з)~ 4(e1+ s4|2—2е'а(3+4e2+ s4)

__1

1

иІф IV 2

V

+Е4+

3-8sJ+482+ e4

12. М. В. Хвингия и др.

177

Q

4(£1 E3^2 _

^кр... —

з — 4s2-)-s,j

IV

~9~

Ш|(р п.

(3.68)

п