книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов
..pdf§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ С УЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССЫ ПРУЖИНЫ
а) Т о ч н о е ' решение д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в и еи и я ко л е б а н и й
При рассмотрении задач, связанных с учетом распреде ленных параметров, за исходное уравнение и его решение принимаем уравнение (1.54) и выражения (1.56) и (1.58).
Граничные условия в данной системе имеют вид:
1. Ш ^ = о = 0; 2 . |
Г . |
] |
_ п. |
3. В„з |
_ |
||
|
|
дх |
J £=0 |
|
|
dl* |
|
_ _ j |
д3ум (1) . |
4. в„, |
^ " |
(l) - |
h x |
&УміУ) |
_ |
* |
dt, dt* ' |
|
д? |
|
g |
öS dt2 |
|
|
|
— |
dt2 |
|
|
|
(1.157) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (1.58) в выражения (1.157), получаем четыре однородных уравнения; приравнивая определитель по лученной системы уравнений нулю, получаем характеристи ческое уравнение,
|
|
ß4l ^ ßxß! + ^ |
ß! ß3) cos ß2 ch ßt -(ß?ß2- |
|
—LßxßolsinßaShßj^+ p | — |
ßashßx cos ß2— |
— ßx ch ßx sin ß2— |
||
|
|
\Пх |
|
П2, |
|
— ß2 ch ßx sin ß2-f ßx sh ßx cos ß3 j — |
— |
||
— — ß|T sh ßx cos ß2-f- — |
p sh ßx sin ß3— |
— ß2 ch ßLsin ß2 — |
||
|
n 2 |
n 2 |
|
Пх |
|
— — |
p sh ßx sin ß3—ßx sh ßx cos ß2—2p cos ß2 ch ßx— |
||
|
|
—Z-ßijch ßx sin ß2j =0, |
(1.158) |
|
где |
L- |
(П2^ 2)~ (Я2/б Yn a/g H3g-ßl)ü)2 |
|
|
|
|
(Пх/ßx) + (Я2/öY UjB,l3g ß) > 2 |
|
|
Пх,2—определяется из выражения (1.62).
•Корни этого уравнения вычислены на ЭВЦМ при раз личных значениях параметров упругой системы и предотав-
59
лены в виде таблиц, составленных по образцу таблицы 10. Rvp/R — отношение радиуса инерции груза к радиусу витка. Собственные поперечные .и поворотные частоты системы мо гут быть определены но формулам (1.64) совместно с (1.63).
б) П р и б л и ж е н н о е о п р е д е л е н и е ' Пр и в е д е н н о й ім ас с ы п р у ж и и ы
Для определения приведенной массы рассматриваемой системы считаем, что упругая ось пружины при достаточно малых деформациях может быть описана функцией
SH а |
S |
|
S |
(1.159) |
|
а= ------ х2 |
------ |
г '4- — л. |
|||
2Вт |
6ß„3 |
|
Яд |
14- ЗЯ |
|
|
|
|
SHI |
||
Прогиб в точке ікрепления |
тела— уң — |
Я*ЯМ |
|||
3Я, |
|||||
|
|
|
|
||
Выражая деформацию любого сечения пружины через поперечное перемещение закрепленного тела, получим
1
У=Ун |
1,5 ( £ ) ’- |
0,5 |
н ) |
+ 3 |
- |
н |
|
1+3 |
я, |
|
|
|
ІЯдЯѴ |
||
|
Я Л 2 |
|
|
|
|
|
(1.160) |
■Кинетическая энергия |
бруса |
равна |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
Н |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д і р у ж — |
I |
г — lj“dx — |
|
|
|
|
„ |
В„3 |
|
1,65 |
|
|
|
|
0,2357+ 3 (..Д!13- Г + |
|
|
|
||||
®Я •- |
I Я Д 2/ |
ІЯ -Л 8/ |
(1.161) |
||||
-------Ун |
я . л 21 |
|
ВгаН*1 |
||||
2о |
1+ 3 |
ß":‘ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Яд Я 2
Исходя из полученного соотношения (1.161) заключаем, что добавка к основной массе выражается коэффициентам
0,2357+ 3 |
Ѵ + |
1,65 |
|
Лсд Я2) |
|
(1.162) |
|
(1 + З Я з/Я д Я 2/2 |
|
||
а полная масса |
|
м пруж |
|
Мпоп —м ( 1 + |
k |
(1.163) |
|
|
|
М;Й~ |
|
60
При поворотных .колебаниях поправку к .массе определя ем© предположении, что форма .колебаний описывается урав нением
і/ііз — 0 |
|
|
1 |
|
|
|
ВЫН‘ |
|
н + |
|
|
|
|
|
|
1 - 0 , 1 6 6 5 |
вт |
|
|
||||
+ 0,0833 Ba H*IBna |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ |
0,25 вСІн* |
|
|
|
|
(1.164) |
||
|
|
|
|
|
в„ |
|
|
|
|
|
|
где 0= МН |
|
1 +0,0833 ВслНа/Вт |
амплитудное значение, |
со- |
|||||||
Виз |
|
1+0,334 5 сдЯ2/Д,з |
|
|
|
|
|
|
|||
ответствующее повороту в точке крепления массы |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
10 |
||
Rr?/ R —2; |
М/Мпруж'—5 |
|
|
Rrp/R —2; |
М/Мпруж —Ю |
||||||
т |
|
|
2,0 |
|
3, 0 |
|
2,0 |
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß2 |
|
ß11 |
ß2 |
ß2 |
ß2 |
R11 |
|
ß2 |
R11 |
|
|
|
ß2 |
ß2 |
|
ß2 |
|||||
0.4 |
|
2,140 |
5,376 |
|
6,047 |
2,107 |
4,883 |
|
5.358 |
||
0,3 |
|
1,983 |
5.494 |
— |
6,032 |
1.921 |
4,901 |
— |
5,335 |
||
0,2 |
|
1.794 |
5,598 |
2,392 |
6,112 |
1,678 |
4,911 |
2,383 |
5,296 |
||
0,1 |
|
1.594 |
5.688 |
l,92i> |
6,138 |
1.375 4,914 1.811 5,252 |
|||||
0.0 |
|
1.420 |
5,737 |
1,523 |
6,164 |
1,053 |
4,913 |
1,099 |
5,207 |
||
—0,1 |
|
1,303 |
5,835 |
1,395 |
6,188 |
0,818 |
4,908 |
0,731 |
5,164 |
||
—0,2 |
|
1,250 |
5,896 |
1.470 |
6.212 |
0,688 |
4,901 |
0,619 |
5,125 |
||
—0,3 |
|
1,249 |
5,949 |
1.710 |
6,236 |
0,617 |
4,892 |
0,575 |
5,094 |
||
—0,4 |
|
1.296 |
5,997 |
2.042 |
6,259 |
0,576 |
4.882 |
0,560 |
5,072 |
||
Rrp/R —2; |
/И/Мцруж—100 |
|
Rrp'R —5; |
М/УИпруж—5 |
|||||||
т |
|
|
2,0 |
|
3.0 |
2 ,0 |
|
3,0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
ß2 |
|
я11 |
ß2 |
nH |
ß2 |
R11 |
|
+2 |
R11 |
|
|
ß2 |
ß2 |
|
|
ß2 |
|||||
0,4 |
|
2,071 |
4,574 |
|
4.928 |
2,143 |
4,687 |
2,802 |
5,049 |
||
0,3 |
|
1,832 |
4,530 |
— |
4,831 |
1,955 |
4,674 |
4,985 |
|||
0,2 |
|
1,586 |
4,540 |
— |
4,733 |
1,739 |
4,655 2,402 4,912 |
||||
0.1 |
|
1,180 |
4,513 |
1,737 |
4,699 |
1,437 |
4,630 |
1,859 |
4,832 |
||
0,0 |
|
0.554 |
4,481 |
0,574 |
4,610 |
1,183 |
4,601 |
1,219 |
4,748 |
||
—0,1 |
|
0,260 |
4,445 |
0,203 |
4,520 |
0,95b |
1,568 |
0,843 |
4,662 |
||
—0,2 |
|
0,194 |
4,407 |
0,158 |
4,429 |
0,809 |
4,532 |
0,697 |
4.577 |
||
—0,3 |
|
0,165 |
4,356 |
0,139 |
4,343 |
0,719 |
4,494 |
0,627 |
4,494 |
||
—0.4 |
|
0,149 |
4,323 |
0.128 |
4,230 |
0,659 |
4,454 |
0,587 |
4,416 |
||
61
|
|
|
|
продолжение |
|
Krp/Л —5 |
|
yVJ/yV/n рузк' = |
10 |
/72 |
2,0 |
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
Л |
ft11 |
ß2 |
nil |
|
h |
Р2 |
h |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
2,108 |
4,616 |
|
4,969 |
0,3 |
1,918 |
4,601 |
— |
4,902 |
0,2 |
1,667 |
4,580 |
2.384 |
4,825 |
0,1 |
1.346 |
4.553 |
1,800 |
4,742 |
0,0 |
0,989 |
4,522 |
1,020 |
4.654 |
—0,1 |
0,726 |
4,487 |
0,612 |
4,565 |
—0,2 |
0,588 |
4,448 |
0,491 |
4.476 |
—0,3 |
0,511 |
4,408 |
0,436 |
4,390 |
—0,4 |
0,464 |
4,336 |
0,465 |
4,309 |
|
/?гр 7?— 5; |
|
yV//yV/npy>K—100 |
|
m |
2, 0 |
|
3.0 |
|
|
|
|
|
|
|
ß2 |
fl11 |
ß2 |
R11 |
|
ß2 |
ß2 |
||
0.4 |
2,071 |
4,554 |
|
4,901 |
0,3 |
1,831 |
4,539 |
— |
4,832 |
0.2 |
1,583 |
4,517 |
— |
4,754 |
0,1 |
1.179 |
4,489 |
1,737 |
4,668 |
0,0 |
0,551 |
4,457 |
0,570 |
4,578 |
—0.1 |
0,257 |
4.420 |
0,200 |
4.487 |
—0,2 |
0.192 |
4,381 |
0.155 |
4.397 |
—0,3 |
0.163 |
4,339 |
0,136 |
4.370 |
—0.4 |
0,141 |
4,296 |
0,125 |
4,228 |
Кинетіичеокая |
энергия пружины |
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
7пруж = |
I (l/m^dx — |
|
|
|
|
О |
|
|
33+0,014 |
+ 0,000945 (—— ) |
|||
_______________ Д„з___________________ \ Диз |
1 |
|||
(\ 4- 0.0834 £ C^L2V
и, следовательно, поправка к моменту инерции от инерции пружины будет :ра.виа
|
|
А/s—^пруж ^ПОВі |
|
|
(1.166) |
||
|
|
0,333+0,014 |
R H 2 |
|
/ R |
R2\ 2 |
|
|
|
w |
+0,000945 1 |
Сд |
' |
||
где |
^nOR--- |
ві |
|
Дя |
(1.167) |
||
|
|
(1 + |
0,08345« Я2/5 1ІЗ)2 |
|
|
||
Полный |
момент инерции |
|
|
|
|
||
|
|
I —Т |
I 1 4- k |
|
пруж |
|
(1.168) |
|
|
1S — 1 s |
I 1 “Г «пов |
==^ |
|
||
|
|
§ 5. ПРИМЕР РАСЧЕТА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ |
|||||
|
|
|
ПРОВЕРКА |
|
|
|
|
|
Применение полученных формул, предназначенных для |
||||||
расчета |
поперечных и поворотных |
колебаний, |
рассмотрим |
||||
на примере упругой системы со следующими параметрами:
вес и диаметр прикрепленного тела |
5 = 0,109 кг; |
Д-р=5 см: |
||||||||||
толщина диска 5= 0,5 |
см; |
вес |
пружины 5пруж = 0,034 |
кг; сред |
||||||||
ний диаметр пружины D = 2,3 см; |
диаметр проволоки Я = 0,43 см; |
|||||||||||
число витков |
і = 3,9; высота пружины |
Я = 3,4 |
см; |
н |
=1,48; |
|||||||
~ |
||||||||||||
S |
—= 3,2; |
R |
=2,174. Определим момент инерции тела от- |
|||||||||
|
-+L |
|||||||||||
5 п р у ж |
Г0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
носительно оси, проходящей через точку его крепления |
||||||||||||
|
/ |
м (Dh |
, |
SM |
= |
0,18 |
|
. |
|
|
|
|
|
IS=M I ——+ |
— |
----- - кг см сек2. |
|
|
|||||||
|
|
|
16 |
|
ЗУ |
|
g |
|
|
|
|
|
|
h —h |
(1 + |
h |
1пруж |
0,183 |
кг см сек2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Изгибнал и |
сдвиговая жесткости |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ви. = |
10*-&-Н |
106-0,434-3,4 |
= 352 |
кг см2; |
|||||||
|
|
|
36,8-i-D |
36,8-3,9-2,3 |
|
|
|
|
||||
|
Вcm- |
10е-d4-Я |
106-0,434-3,4 = 203 |
кг. |
|
|
||||||
|
|
|
4Ш3 |
|
4-3,9-2,33 |
|
|
|
|
|||
Приведенную массу вычисляем с учетам поправки от рас пределенной массы пружины по формулам (1.162) и (1.163)-і
63
44ппп-- 0,109 , , 0,034
§+ 0,109 X
0,2357-f 3(352/203 • 3,42)2-f 1,65 352/203 • 3,4* |
0,117 кгсек2 |
|||||||
X |
(1+3-352/203-3,42)2 |
|
J |
g |
CM |
|||
|
|
|||||||
Согласно (1.141 )-^-(l.149) |
при S = l , |
Mll3= l, определяем |
||||||
D1=0,0427 — ; |
D8=0,0213 — ; |
D3 = 0,0164 |
1 |
|||||
|
кг |
|
|
кг |
|
|
кг |
|
|
D, = 0,0096 |
1 |
|
|
|
|
||
|
к г CM |
|
|
|
||||
Далее по формулам (1.7): |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
Ф1 = 161 — ; |
|
d: = 353 |
кг; |
|
d; = 274 кг; |
|
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф4=711 |
кг cm; |
da=313,5 кг. |
|
|
|||
Частоты вычисляем по формуле (1.18) |
|
|
||||||
|
Ипоп = 52,7 гц; |
Ыпоо —346 гд. |
|
|
||||
Сравним |
полученные |
значения с |
частотами, |
вычисленными |
||||
по точным формулам |
(1.64). По данным таблицы |
10 нахо |
||||||
дим значение корня ß3, |
соответствующее поперечным и пово |
|||||||
ротным |
колебаниям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
[Д = 0,77; |
ß" = 2,303. |
|
|
||||
Тогда значения функции /2 |
по (1.63), соответствующие кор |
|||||||
ням ß.( и ßlC будут—ЩЦ) = 0,08; |
/2(ß.{/)= 4,1. |
а собственные |
||||||
частоты вычисленные по формулам (1.64), равны: |
|
|||||||
|
ч>поп = 50,8 гц; |
Шпов = 352 гц. |
|
|
||||
Сопоставление со значениями частот, полученными по формулам (1.18), указывает на их удовлетворительное совпадение.
Для проверки полученных расчетных соотношений, был праведен ряд экспериментов «а нескольких консольных уп ругих системах. Испытания проводились на вибрационном стенде ВЭДС-100А. Пространственные .колебания тела ре гистрировались с помощью индуктивных иля пьезоіквар-це- вых датчиков Д-13.
В первом случае продольные и поперечные колебания тела фиксируются в трех направлениях при помощи коор-
64
динатных осей, вдоль которых расположены индуктивные датчики перемещения, а начало координат находится в цент ре колеблющегося тела. Для записи крутильных и поворот ных колебаний использован четвертый датчик, который рас положен параллельно одной из координатных осей и фикси рует повороты колеблющегося тела вокруг перпендикуляр ной ему оси. Расположение описанных выше координатных
осей с датчиками, методика |
записи сигналов |
от датчиков |
|||||||||
перемещения, |
тарировочные |
|
графики и |
расшифровку |
за |
||||||
писываемых |
сигналов можно |
найти в |
работе |
[32]. |
' |
|
|||||
|
Ниже приводятся результаты испытаний на колебания |
||||||||||
консольных упругих систем |
(табл. 11), |
На |
рис. |
16 представ |
|||||||
лена |
резонансная |
кривая |
продольных |
колебаний системы |
|||||||
при продольном возмущении |
последней и две типичные |
ос |
|||||||||
циллограммы |
(рис. |
17), на которых по оси |
у'у1 фиксируются |
||||||||
крутильные, по уу, |
хх |
— поперечные, по |
яг — продольные |
||||||||
колебания. |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
11 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ |
Н0 см |
ö cp см |
d см |
|
і |
|
5 гр кг |
*^ігружКГ |
|||
1 |
5,2 |
3,75 |
|
0,35 |
|
4,1 |
|
0,282 |
|
0,04 |
|
2 |
5,0 |
2,27 |
|
0,43 |
|
7,0 |
|
0,109 |
|
0,048 |
|
3 |
3,4 |
2,30 |
|
0,43 |
|
3,9 |
|
0,109 |
|
0,034 |
|
4 |
5,3 |
4.50 |
|
0,70 |
|
4,0 |
|
0.725 |
|
0,170 |
|
№ |
шпр (ГЦ) |
|
"пои (т) |
|
шпов (ГД) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расч. |
опыт. |
|
расч. |
|
ОПЫТ. |
|
расч. |
|
ОПЫТ. |
|
1 |
25,8 |
25,4 |
|
28,2 |
|
26,0 |
|
64 |
|
61 |
|
2 |
89,3 |
69,5 |
|
31,4 |
|
28,0 |
|
212 |
|
_ |
|
3 |
120,5 |
120,0 |
|
52,7 |
, |
58,0 |
|
368 |
|
330 |
|
4 |
47,7 |
48,0 |
|
22,5 |
* |
20,0 |
|
76 |
|
72,5 |
|
На рис. 18, 19 и 20 представлены амплитудно-частотные характеристики крутильных, поперечных и поворотных коле баний. Из рис. 19 видно, что при поперечных колебаниях пружина меняет направление движения в плоскости колеба ний, поэтому имеется два резонансных пика отдельно по осям хх и уу.
5. М. Б. Хвингия и др. |
65 |
|
Я ш
èогнищг.?і/е Ш=25іі, W M / W V M M / W
Рис. 17
бгі
f[pag]
Я[нн]
U)[ru]
67
Ѳ[раз7
68