книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов
..pdf
|
П |
|
|
M |
n Y i t g |
k H |
(1.248) |
|
° |
|
|
|
- |
Л2 |
|
|
|
5изТ .і+ |
’ |
||||
|
|
|
СпрТг-^- |
tg W f |
|||
где |
l 4 |
- |
( i + |
s |
„ ) ш |
|
(1.249) |
|
|
|
V |
|
|
||
Метод расчета крутильных деформаций исследуемой уп ругой системы не имеет принципиальных отличий от подоб
ного расчета |
упругой |
системы, |
приведенной в гл. |
1. п. 1. |
|||
§3; |
поэтому |
здесь |
мы |
приводим |
результаты этих |
расчетов |
|
в их окончательном виде: |
плоскости уог будет |
|
|||||
|
Угол поворота |
груза ів |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
<L250> |
и, |
следовательно, |
|
« |
7 |
' |
|
|
|
м л |
h2P |
|
||||
|
|
|
|
(1.251) |
|||
|
|
|
|
= ^ |
= — |
- +Скр. |
|
|
|
|
|
<Р |
4Яу2 |
|
|
При отсутствии осевой силы (которая в консольных системах обусловлена в основном только составляющей от собственного веса и поэтому в некоторых случаях может не учитываться) все формулы упрощаются и принимают вид:
а) поперечный прогиб и угол поворота
„ - Ü Ü L f .+ a |
|
|
|
|
Н1 |
(1-Тв). |
|
н--в„ |
|
|
|
-Ь Л4из |
|||
3В„ ' |
|
|
|
2Ваз |
|
||
где |
y5=- |
h2HCnp |
|
|
|||
1 _l_ |
h2HCnp |
|
|||||
|
|
2ß„3 |
|
||||
|
|
|
|
|
2ß„3 |
|
|
|
Ѳ= |
SH2 |
|
|
, |
МИЗЯ |
|
|
2ß„3 |
(1 |
Y ä ) |
~Г |
ß„a (!—T5)- |
|
|
б) |
поворот при |
отсутствии прогиба |
|
||||
|
|
9_ М„зЯ ______ Уб_ |
|
||||
|
|
.Виз |
1 |
й2ЯСПрХs |
|
||
|
|
|
|
|
|
2ß„3 |
|
(1.252)
(1.253)
(1.254)
(1 .25 5)
109
где |
Я 2 |
(1.256) |
Те- 1+ |
||
|
4ß,i3 ( l/ß M—Я г/ЗВ„з) |
’ |
в) у г ол с к р у ч иів а оі и я
Мя
с р = . (1.257)
3h2B„
Я3(1 + 12Д13/Я 2Всд)
+ Скр
На основании (1.252), (1.254) и (1.5) можно написать
|
|
d ;= |
Я:! |
|
^1+3 |
Вт |
3 т5 ; |
(1.258) |
|
|
|
|
ЗВнз |
|
|
Я 3ВС |
|
|
|
|
|
D\ = D l— - н |
( |
|
|
(1.259) |
|||
|
|
|
|
|
2В„з |
|
|
|
|
|
|
D\ = J L 0 |
- г й)- |
|
|
|
(1.260) |
||
|
|
|
в,„ |
|
|
|
|
|
|
.И кроме |
того, |
из выражения (1.257) |
имеем |
|
|||||
|
|
|
_ м0_ |
|
3/г2В„3 |
|
(1.261) |
||
|
|
Я,кр |
|
Ф |
Я3(1 + 12Внз/Я2Ясд) ~hQtкр- |
||||
|
|
|
|
||||||
Во |
всех |
вышеупомянутых расчетах можно положить |
|||||||
h = 0 |
и получить |
серию |
формул для определения |
дефор |
|||||
маций В |
ПЛОСКОСТИ |
XOZ. |
|
|
|
|
|||
|
|
б) Оі пытиая |
п р о в е р к а |
ф о р м у л |
|
||||
Полученные -формулы проверялись экспериментально на физической модели, представляющей собой жесткое тело, закрепленное на конце двух консольных пружин. Система ус танавливалась на столе электровпбрационного стенда ВЭДС100Б, которому сообщалась переменна« частота.
При этом, искомые частоты определялись по резонанс ным колебаниям, возбуждающимся при совпадении вынуж денной частоты с одной из собственных.
-Перемещение записывалось на осциллографе.
Чтобы проверить экспериментально зависимость жест кости 'системы от расстояния между пружинами, последнее в процессе эксперимента менялось путем перемещения• креп ления пружин в пазах стола и груза.
Данные системы.
110
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
15 |
|
|
h y |
/ а |
IXX |
“ пр |
И ) |
шкр (гч) |
“поп (гЧ) В |
“ н о в |
( г ч ) в |
“поп Оч) в |
“ поп (гц) в |
||||
h см |
направлен. |
П Л О С К О С Т И |
направлен. |
плоскости |
|||||||||||
кг см сек2кг см сек2кг см сек2 |
|
|
|
|
УУ |
|
хоу |
zz |
|
X O Z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
расч. |
|
расч.1О П Ы Т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О П Ы Т . |
расч. |
опыт. |
расч. |
О П Ы Т . |
расч. |
опыт. |
расч. |
О П Ы Т . |
|||
11,3 |
6,957 |
31,78 |
33,46 |
27 |
26 |
28,7 |
28,5 |
21,7 |
19,9 |
35.4 |
40 |
12,35 |
и |
40,3 |
43 |
|
8 |
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,79 |
)) |
28.3 |
29,95 |
27 |
26 |
27 |
26,4 |
20,6 |
19 |
34 |
37 |
12,35 |
п |
40,3 |
43 |
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,79 |
?> |
24,98 |
26,067 |
27 |
23 |
25 |
23 |
18,9 |
18 |
33,1 |
35,5 |
12,35 |
п |
40,3 |
43 |
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,09 |
» |
21,123 |
22,21 |
27 |
26 |
19 |
18 |
15,5 |
14,5 |
32,4 |
34.5 |
12,35 |
п |
40,3 |
43 |
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вес закрепленного тела S =1,17 кг, моменты инерции от носительно осей ох, оу, ог зависят от расстояния /г и приво дятся в таблице 14.
Параметры пружин: вес двух пружин 5пруяі= 0,11 кг; сре дний диаметр D = 3,3 см; диаметр проволоки d =0.415 см; число витков t = 4,6; высота пружин Я1 = Я2 = 5,22 см.
Опытные и расчетные значения собственных частот сис темы, полученные по формулам, приведены в таблице 15.
§2. РАСЧЕТ ВИБРАТОРА С КОНСОЛЬНЫМИ ПРУЖИНАМИ,
СУЧЕТОМ ПАРАЗИТНЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ
а) Р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы ч а с т о т к о л е б а н и й
Перейдем к расчету вибраторов, активная и реактивная масса которых крепятся на концах пружин, согласно рис. 43. Примером может служить впбропитатель С 914-2, выпуска емый цхинвальским заводом «Вибромашина» ((рис. 42) раз
меры в см).
Рабочие (продольные) колебания возбуждаются возму щающей силой, закон изменения которой приближенно опи шем функцией F cos соі.
Уравнения поперечных н продольных колебаний актив ной и реактивной масс могут быть записаны в том же виде, что и (1.169) (1.171), в которых поперечная жесткость оп ределяется по формулам (1.242) или (1.258), полученным для консольных систем с двумя пружинами.
Для определения частоты крутильных и поворотных ко лебаний пользуемся уравнениями (1.173) (1.174), в которых жесткость при крутильных или поворотных .колебаниях, вы
числяется по формулам |
(1.261) |
и |
(1.254) или |
(1.255). |
||
Отношение частот паразитных колебаний к рабочей час |
||||||
тоте будут: |
частот колебаний |
|
||||
для |
крутильных |
|
||||
|
|
^ _ |
tOjp _Мпр/Скр . |
(1.262) |
||
|
|
|
о |
I С ' |
' |
|
|
|
|
^пр |
*0^ПР |
|
|
для |
поперечных |
частот |
|
|
|
|
|
|
|
Шпон |
|
|
|
.112
00
.др и Хвиигия .
Рис. 42
со
2 \ jVTdoh
Спр//Ипр
или
__ 1 |
./ ^ г М Пр |
d i M пр \ |
|
2 |
ІСпр/^оп |
"Сор/, j |
|
|
Л4пр |
\ 2 I |
d2d3M^p _ |
|
C np/S |
/ |
Cfip / , /Ипоп |
для поворотных |
частот колебаний |
|
|||
_ ^пов |
1 |
/ c/^/Wnp |
|
A4пр |
\ . |
|
= ^ |
ІСпрМпоп |
СпрУ, |
J |
|
|
|
£^44 Пр |
\ J _j_ |
|
|
|
|
Спр У, |
/ |
С^р/5УИпоп |
|
(1.263)
(1.264)
(1.265)
б) О п р е д е л е н и е п р и в е д е н н ы х м а с с ы и
моме нтов |
и н е р ц и и |
в и б р а т о р а |
|
||
Упругая |
система, |
рассматриваемого |
вибратора, |
имеет |
|
следующие |
параметры: |
|
|
|
|
пружины: £>=6,25 см; |
Нй = 6,9 см; г = 3; сечение пружины пря |
||||
моугольное (рис. 42); а=1,2 см; 5=1,0 |
см; |
расстояние |
между |
||
пружинами h= 20 см; £/0/ZD =1,105 см; |
h/D=3,2. |
|
|||
114
Суммарный вес пружин 5Пруж = 2,49 кг. Параметры присоединенных масс:
вес активной части Sa= 13,36 кг; вес реактивной части Sr=
= 6,16 кг.
При данных параметрах упругой системы продольная
жесткость одной пружины с учетом |
геометрии |
сечения [82 |
|||||
р |
_ |
4тjaGb3 |
_ 4.0,149-1,2-7,7-105-1 |
_ 04П кг |
|||
|
пр ~ |
к Dl і |
3,14 - 6,253 -~3 |
|
" |
см" |
|
Изгнбная |
и сдвиговая жесткости |
при |
а > |
b |
|||
|
В,„ = - |
2В„Н |
2НВп |
(1.266) |
|||
|
Вгп в — |
|
|||||
|
|
|
%iD(l4-BnjC) |
k D4 |
|
||
и |
ЬЗа |
с |
bas |
C=r)bsaG, |
|
||
где Б„ = — |
|
£; |
Bb= —— E\ |
|
|||
аотношение
Bn3 |
|
D*b* |
|
|
0,9072-1 |
|
• = 0,058. |
|||||||
БСд |
4а2 (1 -j- 0,217/7;) |
|
|
|
|
|
||||||||
4- l,22(l+ 0 ,217/0,149) |
|
|
|
|||||||||||
|
Масса упругих элементов, которую следует отнести для |
|||||||||||||
расчета |
продольных |
'колебаний к |
массе .активной части, бу- |
|||||||||||
дет |
согласно |
отношению |
(1.195) |
|
|
0 785 |
кг сек2 |
|||||||
раівпта —---- ----------- , а пѳ- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 |
|
туч |
|
0,262 |
кг сек2 |
||
правка к активной массе по формуле (1.197)— |
-------------------- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
см |
|
Таким образом, |
суммарное |
значение |
активной |
массы |
будет |
|||||||||
13,622/g=—-Г Сек2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масса пружин, |
относящаяся |
к |
реактивной |
массе, — |
|||||||||
1,684 кг сек2 |
поправка |
|
|
0,568 кг сек2 |
а |
полная |
||||||||
------ |
--------- ; |
от нее—------------------- , |
||||||||||||
§ |
|
см |
6,728 |
кг сек2 „ |
S |
|
|
см |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
образом, |
приведенная |
||||||||
реактивная масса—------ ------------. Таким |
||||||||||||||
|
|
|
g |
|
|
см |
|
|
|
|
|
|
|
|
масса при продольных колебаниях |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/м |
\ _ |
13,622-6,728 |
|
4,5 |
кг сек2 |
|
|
|||||
|
|
(Мприв)пр----- |
|
|
---------------------• |
|
|
|||||||
|
|
|
g(13,622-)-6,728) |
|
g |
см |
|
|
|
|||||
|
Используя для расчета узловых сечений тот же метод |
|||||||||||||
расчета, |
что и для упругой системы, |
рассмотренной в |
гл. I. |
|||||||||||
‘ |
115 |
и. |
3, получаем |
соответственно |
три |
поперечных, поворотных |
|||||||||
'и |
крутильных |
колебаниях |
|
|
|
|
|
|
|||||
1,5 |
( А -0,5 |
( ^“У + 3 |
f A U |
А |
|
Мг/Ма . |
|
||||||
|
|
U |
|
I Я і |
А дЯ 2 і Я _ |
(1.267) |
|||||||
|
|
|
1+3 Виз |
|
|
|
|
і - л у м в ’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
B j p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 0,166 U A |
А + 0,25 А А ' |
(Аа |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Виз |
) |
Я |
|
|
5 ИЗ |
ІЯ |
|
|
|
|
|
|
|
1 +0,0833 |
ЯсдЯ2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ваз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ш (Л)а |
■ |
|
|
(1.268) |
|||
|
|
|
|
|
1 -(Ш (Л )а |
’ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
-2 (A U + 3 (— У + 12 — - А |
|
(/0),/(/„)« |
|
||||||||
|
|
н Г |
I я |
/ |
|
а д 2 я _ |
(1.269) |
||||||
|
|
|
1 + 12 Виз |
|
|
|
1 -(/„ У (А.)« |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b Z h ~ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Коэффициенты приведения масс и моментов инерции бу |
|||||||||||
дут |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,0357 |
( А Ѵ - |
0,25 ( А У + |
0,45 - |
0,575 . Диз W |
|||||||
^ппп — |
|
U |
/ |
|
U |
i |
|
|
I |
|
ЯСДЯ2І |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1,5 А |
- 0 ,5 |
І А У + З |
ß "3 |
|
||||
|
|
X (— У + |
2,25 |
( A U |
А |
+ з ( А 3 |
42 |
|
|||||
|
|
|
U i |
|
|
\ bcrh 4 |
Я |
|
ВеяН* |
(1.270) |
|||
|
|
|
1,5 А |
|
|
|
|
|
Ви |
|
|
||
|
|
|
- 0 ,5 |
( £ ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ВгпН2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&ПОВ~ |
|
|
|
|
|
(1.271) |
|
0,333(4 |
Ви |
-0,666 У + 0 ,б А (4 |
|
Вю |
|
|
я ; |
|||||
|
|
|
-0,666] + 0,2 ( - “У |
||||||||||
|
|
|
ВсМ2 |
|
|
|
Я V ВсдЯ2 |
|
|
я |
|||
|
|
|
|
|
|
Виз - 0,666+ Я, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ЯодЯ2 |
|
|
я |
|
|
|
||
116
h |
4,57 l ^ 4—16 | ^ j 3+ |
1 14,42-152 ^J M |
|
(Ha + |
||||||||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
5сдЯ*і |
\ H |
||
«KP — |
|
- 4 |
[ О*) “+ 6 —a- +24 |
B"3 ■ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
H / |
H |
|
|
BoKH2 |
|
|
|
|
|
|
Виз |
Я„ |
384 |
|
|
Bn |
|
|
|
|
|
|
+ 150 _z=L |
Hf + |
\ВсдЯ2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
ВСДЯ2 |
Я |
|
|
|
(1.272) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 4 |
I — У + 6 — +24 |
|
Диз. |
|
|
|
||||
|
|
|
Я J |
Я |
|
ВсдЯ2 |
|
|
|
|||
Таким образом, узловую точку при поперечных колеба |
||||||||||||
ниях |
определяем |
по |
формуле |
(1.267) |
|
|
|
|||||
|
Я |
' 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11а |
|
|
|
|
|
\ |
|
/Я . |
|
|
|
1,5 ( + ^ Г —0,5ГЯаХЗ+ 3 ( № |
J |
6,16/13,36 |
||||||||||
|
6^9 |
|
V 6,9 У |
\ |
6,9a |
|
V6,9 |
|||||
|
|
|
1+3 |
0,058 |
|
|
|
|
1-6,16/13,36' |
|||
|
|
|
|
“б>~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда Яа= 3 см |
и, |
следовательно, |
|
Я, = Я —Яа= 6,9—3,01 = |
||||||||
= 3,9 |
см. |
Учитывая, |
|
|
|
|
|
|
2 49 |
и |
ЛГп^ РУжа |
|
что МпрУж + Д1Ііруж = _ ’ |
М^пРужг |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н а |
д г |
|
1,084 кг сек2 |
.. |
1,406 кг сек2 |
|||||||
= -+, получаем Млруж = ----------------; |
Мпруж — ------------------ |
|||||||||||
Hr |
|
|
|
|
g |
см |
|
|
|
g |
см |
|
Поправку к |
массам определяем |
по формулам |
(1-67) и |
|||||||||
(1.270) |
0,322 кг сек2 |
|
|
|
|
0,256 |
кг сек2 |
|||||
|
|
(Д Ма)поп— |
||||||||||
(ДЛ4г)поп — |
|
см |
g |
|
см |
|||||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(Мг)п |
6,49 |
кг сек2 |
|
|
|
13,616 |
кг сек2 |
||||
|
g |
|
см |
|
(Д^а)поп = |
g |
|
см |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Приведенная масса для расчета поперечных |
колебаний |
|||||||||||
|
. . |
|
6,49-13,616 |
|
|
4,34 |
кг сек2 |
|||||
|
(УѴІпрНв )пОП----------------------- —------ |
— -■ • |
||||||||||
|
|
. |
g(6,49+ 13,616) |
|
g |
см |
|
|||||
■Моменты инерции определялись экспериментально по мето дике, изложенной в гл. I. п. 3. § 5. Расположение осей под веса при эксперименте и необходимые размеры в см приведе ны на рис. 44 и 45. Величины моментов инерции, определен ные по формулам (1.225^-1.227), и экспериментальные зна-
117
Рис. 44