книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

Как известно [30], частицы с нулевым или целым (в единицах Іі) спином подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна; число таких частиц (бозе-частнц или бозонов) в данном состоянии не ограни­ чено. Функция распределения бозе-частиц по энергиям в случае «идеального газа» (когда взаимодействием частиц между собой мож­ но пренебречь) и непостоянного числа частиц в системе имеет вид [36]

(8-4.22)

е— і

Здесь п — среднее число частиц в каждом состоянии с энергией е, а X — постоянная Больцмана.

Поскольку магнонам, как отмечалось выше, может быть при­ писан (во всяком случае — приближенно) спин 1, их можно счи­ тать бозе-частицами. Для магнонов (так же как и для фотонов и

фононов) число частиц не фиксировано и п определяется форму­ лой (8.4.22).

Тепловые магноны и термодинамика ферромагнетика. До сих пор мы рассматривали когерентные магнитные колебания и волны, возбуждаемые, например, переменным электромагнитным полем. Им соответствуют магноны, которые также можно назвать коге­ рентными. Число типов таких магнонов, одновременно суще­ ствующих в реальных условиях, как правило, невелико. Очень часто это магноны одного какого-либо типа: например, магноны однородной прецессии с к = 0 в опытах по однородному ферро­ магнитному или антиферромагнптному резонансу или магноны с определенным значением к в опытах по возбуждению стоячих спиновых волн (§ 8.3). Энергия таких магнонов (если ограничи­ ваться рассмотрением линейных процессов) всегда соответствует частоте возбуждающего поля. Числа же их могут быть весьма велики (выше была установлена связь этих чисел с амплитудами составляющих намагниченности). Таким образом, распределение когерентных магнонов в к-пространстве характеризуется несколь­ кими (чаще всего — одной) дискретными «линиями». Ясно, что та­ кое распределение является неравновесным и поддерживается только за счет непрерывного рождения магнонов электромагнит­ ным полем. После прекращения действия возбуждающего поля это неравновесное распределение релаксирует с характерным вре­ менем, равным времени жизни данных магнонов.

В отличие от таких неравновесных, когерентных магнонов в

имеются некогерентные магноны, находящиеся в статистическом равновесии с другими квазичастицами, существующими в кристал­ ле, в первую очередь с фононами. Распределение равновесных маг­ нонов по энергиям и в к-пространстве определяется статистикой

Это распределение зависит от температуры и внешних парамет­ ров, в первую очередь — постоянного магнитного поля. В отли­ чие от распределения неравновесных магнонов, оно является до­ статочно широким (особенно при высоких температурах) — зани­ мает, строго говоря, всю область допустимых, исходя из закона дисперсии, значений е и к.

Равновесные или, как их иногда называют, тепловые (терми­ ческие) магноны существенно влияют на термодинамические характеристики магнитоупорядоченных веществ. К числу таких характеристик относятся температурные зависимости статической намагниченности М 0 (Т) и магнитного вклада в теплоемкость сѵт (Т). Найдем, следуя Кеффѳру [244], эти зависимости для случая ферромагнетика.

Для вычисления намагниченности воспользуемся формулой (8.4.12), в которой теперь М 0 == М (0) — намагниченность при отсутствии магнонов, т. е. при 0 °К, M z = М (Т) — искомая на­ магниченность при температуре Т, а п — полное число всех рав­ новесных магнонов в единице объема при этой температуре. Вели­ чина п может быть определена следующим образом:

где V — объем (в координатном пространстве), / — плотность со­

стояний магнонов в k-пространстве, п — среднее число магнонов в каждом состоянии, а интегрирование производится по всему к-пространству.

Для определения плотности состояний / примем периодические граничные условия на параллелепипеде с ребрами Z1? 12и 13 (объем его = V). Тогда из (8.4.7) следует, что точки в к-простран- стве, соответствующие разрешенным состояниям, образуют пря­ моугольную решетку, ячейки которой имеют ребра 2я/Іх, 2л/Іг и 2лЯ3, т. е. объем (2л)3ІѴ. Отсюда плотность состояний

Величина п определяется формулой (8.4.22), в которой е есть функ­ ция к, определяемая законом дисперсии магнонов. Таким образом,

пренебрегая для простоты влиянием постоянного магнитного поля, кристаллографической анизотропии, магнитного взаимодей­

колебаний и волн в области температур Т > 0 обычно считают, что длина вектора намагниченности М 0 определяется всеми осталь­ ными — равновесными спиновыми волнами и зависит, таким обра­

ше, чем среднее значение к в равновесном распределении магнонов. Для исследуемых в настоя­

щее время сравнительно длинноволновых когерентных спиновых волн последнее условие выполняется кроме, может быть, области очень низких температур (где отличие М 0 (Т) от М 0 (0) вообще мало).

Расчет магнонного вклада в теплоемкость может быть произ­

(/ИГ'

Для того чтобы отделить магнонную теплоемкость свт от реше­

оценках.

Представление о магнонах как о частицах с энергией Йсо и импульсом Як не только используется в термодинамических рас­ четах, подобных приведенным выше, но и оказывается очень полезным при трактовке процессов релаксации в магнитоупорядо­ ченных кристаллах (глава 9). Оно используется также при анали­ зе различных процессов взаимодействия фотонов, нейтронов и др. частиц с магнитной системой магнитоупорядоченных кристаллов (см., например, [10]). Такие процессы можно трактовать как столкновения фотонов или нейтронов с магнонами.

§8.5. Микроскопическая теория магнонов

Впредыдущем параграфе было показано, что квантование ко­ лебаний намагниченности в непрерывной магнитоупорядоченной среде (в качестве примера был рассмотрен ферромагнетик) при­

водит к представлению о квазичастицах — магнонах. Однако в действительности магнитоупорядоченное вещество — не непре­ рывная среда, а система, построенная из дискретных микроско­ пических объектов — атомов, ионов, электронов проводимости. Нашей задачей является теперь выяснение влияния дискретности структуры магнитоупорядоченных веществ на свойства магнонов.

Как отмечалось в § 1.1, микроскопическое рассмотрение маг­ нитоупорядоченных веществ приходится проводить на некото­ рых — достаточно простых моделях. Для неметаллических кри­ сталлов наиболее подходящей является гейзенберговская модель, которая представляет собой систему локализованных спинов, рас­ положенных в узлах магнитной решетки и связанных обменным взаимодействием. Гейзенберговская модель рассматривалась в § 1.1, но затем была оставлена в связи с переходом к континуаль­ ной модели и классическому описанию. Теперь вернемся к ней и посмотрим, как в этой модели «получаются» магноны. При этом мы

а) дадим более строгое обоснование результатов, найденных выше на континуальной модели;

б) найдем условия, ограничивающие область применимости континуальной модели;

в) обсудим пути построения теории в той области, где кон­ тинуальная модель неприменима; можно полагать, забегая вперед, что это будет область коротковолновых возбуждений, для которых к сравнимо с 1/а, где а — расстояние между магнитными ионами или расстояние между спинами в гейзенберговской модели.

Гамильтониан гейзенберговского ферромагнетика. В квантово­ механической теории, которой необходимо пользоваться, рас­ сматривая микроскопическую гейзенберговскую модель, исходным является выражение для оператора энергии — гамильтониана системы. В этом параграфе основное внимание будет уделено ферромагнетику. Выражения для операторов энергии обменного,

Тогда, как можно убедиться, операторы âf и а/ должны быть свя­ заны с поперечными проекциями спинов соотношениями

Выражения (8.5.7) и (8.5.8) представляют собой первое преобра­ зование Холыптейна — Примакова.

Как известно из квантовой механики (см., например, [30]),

операторы й - и а), удовлетворяющие перестановочным соотноше­ ниям (8.5.6'), являются операторами, соответственно, уничтоже­ ния и рождения некоторых квазичастиц, подчиняющихся статис­ тике Бозе — Эйнштейна. Действуя на волновые функции системы в

представлении вторичного квантования (в котором волновые функции представляют собой совокупности чисел частиц в различ

ных состояниях), оператор âf увеличивает на 1 число частиц в состоянии /, а оператор âf — уменьшает это число на 1. Оператор

(8.5.9)

есть оператор числа частиц в состоянии /. Его собственные значе­ ния П[ — 0,1,2, ... представляют собой числа частиц в данном со­ стоянии. Для бозе-частиц числа ns не ограничены.

Из выражения (8.5.7) видно, что квазичастицами, операторами

рождения и уничтожения которых служат операторы а] и â}, являются спиновые отклонения на /-м узле, т. е. увеличения z- проекции спина в этом узле на 1. В представлении, к которому

мы перешли, введя операторы 5/ и âf, состояние ферромагнетика характеризуется числами отклонений nf на всех узлах. Посколь­ ку собственные значения z-проекций спинов не могут превышать ве­ личины S, числа спиновых отклонений

Условие (8.5.10) отличает спиновые отклонения от обычных бозечастиц. Оно выделяет из всего пространства чисел отклонений разрешенную или, как говорят, «физическую» область. Заметим, что выполнение условия (8.5.10) автоматически обеспечивается выражениями (8.5.8), так как эти выражения имеют смысл только при выполнении (8.5.10).

Однако операторные соотношения (8.5.8) весьма сложны. По­ этому разложим входящие в них радикалы в ряды по степеням âfâf / (2S) и ограничимся первыми членами этих рядов, т.е. вме­ сто (8.5.8) примем