Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

.pdf

Скачиваний:

138

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

31.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6045 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

440

С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы

[ Г Л . 8

Основное предположение теории Холыптѳйна — Примакова со стоит в том, что указанная замена допустима при достаточно низ ких температурах, когда средние значения чисел спиновых откло нений

п, <^ 1.

(8.5.12)

Оправдание этого предположения содержится лишь в более стро гих теориях, например в теории Дайсона [233].

Пользуясь формулами (8.5.4), (8.5.11) и (8.5.7), введем новые операторы âj' и âf в гамильтониан (8.5.1). Учитывая соотноше ния коммутации (8.5.6), получим

				+	$4,	(8.5.13)
где энергия основного состояния
	и 0=	-	S 22	2	1,r - YÜS N H O,	(8.5.14)
			t	г
			(	W	)
(ІѴ — число спинов в единице				объема), квадратичные члены
	= - 2S 2	2	Tir (âf âr - âl âf) + ГЙ#„ 2 âfâf,			(8.5.15)
	t	r			f
а члены четвертого порядка
	#4 =		- ^ l f t ' â t â f â p â , .			(8.5.16)
			f	Г
			(/?*/')
При низких температурах, когда выполняется условие (8.5.12),
членами	можно пренебречь с не меньшим основанием, чем выс

шими членами в разложениях (8.5.8). Однако гамильтониан (8.5.15) не имеет диагонального вида (8.5.3) (этому мешают «смешанные» члены âf âf), т. е. состояния с локализованными на узлах спино выми отклонениями не являются (как уже отмечалось выше) соб ственными состояниями гейзенберговского гамильтониана.

Переход к операторам1 рождения и уничтожения магнонов. Для того чтобы привести гамильтониан (8.5.15) к диагональному виду (8.5.3), т. е. найти собственные возбужденные состояния гей зенберговского ферромагнетика, необходимо перейти от локали зованных на узлах операторов к коллективизированным — «раз мазанным» по всему кристаллу. Этот переход можно осуществить

при помощи фурье-преобразования операторов			â f ш âf	— второго
преобразования Холыптейна — Примакова:
1	ікті	1	~ікг/я+	(Я г; -І7\
	е 'і

§ 8.5] М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Р И О Н О В 441

Обратное преобразование имеет вид

	- ік г		ik r / л+		(8.5.18)
	'âf,		е	а/•
Здесь г/ — радиусы-векторы узлов		решетки	ферромагнетика, а
к — волновые векторы, т. е. радиусы-векторы			в к-пространстве.
Как известно, решетке с узлами іч соответствует в					к-простран-
ствѳ обратная решетка *) с узлами к„, так что
	еікпгі =	1.			(8.5.19)
Вследствие соотношений	(8.5.19) волновые векторы				к в (8.5.17)
и (8.5.18) определяются	лишь с точностью до прибавления векто

ров обратной решетки kn. Для того чтобы избавиться от этой неод нозначности, следует при суммировании в (8.5.17) ограничиться одной элементарной ячейкой обратной решетки. В качестве ее обычно выбирают первую зону Бриллюэна [30].

Как и при рассмотрении магнонов в континуальной модели, примем периодические граничные условия на поверхностях па раллелепипеда с объемом V = Іх1212■Тогда допустимые значения к будут по-прежнему определяться условиями (8.4.7), т. е. обра зовывать в к-пространстве решетку с периодами 2п!1г, 2п/12 и 2Jt/Zg (рис. 8.5.1). Однако теперь, в отличие от^континуальной мо дели, при суммировании по узлам этой решетки мы должны ограни читься объемом первой зоны Бриллюэна. Число узлов решетки допустимых значений к в элементарной ячейке обратной решет ки, в частности, в первой зоне Бриллюэна равно числу узлов пря мой решетки в объеме периодичности V [30]. И если выбрать па раллелепипед периодичности так, чтобы его объем был равен объ ему рассматриваемого кристалла, то число членов в (8.5.17) будет равно числу N узлов в кристалле. В частности, если прямая ре

шетка — простая кубическая с постоянной а, то
N	(8.5.20)

В дальнейшем (как и раньше) мы будем считать Ж оператором плотности энергии, так что объем периодичности будет кубом с ребром 1 см, а N — числом спинов в 1 с м 3 ( N = 1/а3).

Легко проверить, что выражения (8.5.17) и (8.5.18) являются следствием друг друга с учетом соотношения «ортогональности»

-fir 2	е*(k~k,) Г/ =	Д (к — к'),		(8.5.21)
t
_ і _ 2	* (ГГ ГГ ) =	д ^	^	( 8 . 5 . 2 2 )

*) Свойства обратной решетки хорошо изложены, например, в [32] (см. также [34]).

442 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ [ГЛ. 8

которые вытекают из -периодических граничных условий 134]. Здесь, аналогично (6.3.14),

		[ 1	при	X =	О,	(8.5.23)
		(0	при	X ф 0.		(8.5.23)
		(0	при	X ф 0.
Операторы	âk и âk удовлетворяют перестановочным соотно
шениям
Ій, fi'J =	Д (k - k'),	ffi*. dk.] =		0,	[fij, âU = 0, (8.5.24)

если âj и â f удовлетворяют соотношениям (8.5.6). В этом можно убедиться непосредственно, используя (8.5.18) и (8.5.21). Таким

Рис 8 5 1. Решетка допустимых значений к (исходя из периодических граничных ус ловий на параллелепипеде с ребрами 1,, 12 и ls) в первой зоне Бриллюэна для простой ку бической решетки.

образом, преобразования (8.5.17) и (8.5.18) сохраняют неизмен ными перестановочные соотношения; такие преобразования на

зываются унитарными.

Операторы âk и поскольку они удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (8.5.24), можно считать операто рами рождения и уничтожения некоторых квазичастиц, подчи няющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Оператор

Щ — âkâk

(8.5.25)

§ 8.5] МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАРИОНОВ 443

является оператором числа этих частиц в состоянии, характери зующемся волновым вектором к. Его собственные значения п * = = 0, 1, 2, ... Очевидно, что квазичастицы, о которых здесь идет речь, и являются магнонамй. В отличие от спиновых отклонений (операторами рождения и уничтожения которых являлись â f и âf ), они не локализованы на определенных узлах, а «размазаны» по всему кристаллу.

Вследствие дискретности решетки ферромагнетика в приня той гейзенберговской модели волновой вектор к, как уже отмеча лось, определен неоднозначно — с точностью до векторов обратной решетки kn. Поэтому импульс, или, как его называют, квазиимпульс магнонов в дискретной модели также определяется неод нозначно, Следует заметить, однако, что векторы обратной ре шетки — это большие величины, наименьший из них кг ~ 2п/а ~ —10®. При низких температурах, когда справедлива рассматривае мая теория,, возбуждаются, в основном, спиновые волны с гораздо меньшими к. Такие же спиновые волны представляют интерес и при когерентном возбуждении. Процессы, при которых сказывается неоднозначность квазиимпульса магнонов, становятся тогда мало вероятными, и магноны можно рассматривать просто как частицы с определенным импульсом р = Нк.

Подставляя (8.5.17) в (8.5.8) или в (8.5.11) и в (8.5.7), можно выразить проекции спинов непосредственно через операторы рож

дения и уничтожения	магнонов.	В частности,
S fz = -	S + -JT 2	2 Ѳ(k'"k) r/â£âr .	(8.5.26)
	k	k'

Если выражения (8.5.26) просуммировать по всем узлам и учесть (8.5.21), то получится

2 S } = - S N +	2 гс*.	(8.5.27)
t	к

Нетрудно видеть, что из этого соотношения следует формула (8.4.14). Заметим, что формула (8.4.15) также может быть получе на [20], исходя из гейзенберговской модели ферромагнетика.

Подставив (8.5.17) в гамильтониан (8.5.15) и заменив порядок суммирования, получим

Ж . = -	4 2	2 а;.а,	2	2	[в	-	в* ,,-к'>''] Г„. +
	к	к'	f	f ’
			(МП		уПНо
					уПНо	2	2 ^ â	, 2 e i(k-k/)r/. (8.5.28)
					N	2	2 ^ â	, 2 e i(k-k/)r/. (8.5.28)
						к	к'	f
Введем	вектор	р ассто я н и я			м еж д у	сп и нам и

Ѵ = г г - Г/

(8.5,29)

444

С П И Н О В Ы Е в о л н ы

[ Г Л . 8

иперейдем в первом члене (8.5.28) от суммирования по / и /' к сум мированию по / и g. Ясно, что интеграл обмена Iff = I g зависит только от r^. Суммирования по / и по g не являются независимыми

уповерхности кристалла. Считая образец достаточно большим, можно этим пренебречь и поменять порядок суммирования по /

иg. Тогда с учетом (8.5.21) и (8.5.25) гамильтониан (8.5.28) примет вид

Жг = 2S 2	щ 2 (1 -	eikr*) lg + гЯЯо 2 щ.	(8.5.30)
V.	g	к

Напомним, что суммирование здесь производится по всем допусти мым значениям к в первой зоне Бриллюэна.

Таким образом, перейдя к операторам рождения âk и унич тожения âk магнонов, мы привели гейзенберговский гамиль тониан (8.5.1) (без членов четвер того и более высоких порядков по опера

торам	âk	и а*) к диагональному виду
(8.5.3), где
е* = 25	2	(1 - eikr*) I g + тШ 0.	(8.5.31)
	8
Иными		словами, состояния,	харак

теризующиеся возбуждением квазичас тиц — магнонов с законом дисперсии (8.5.31), являются приближенно собст венными состояниями гейзенберговско го ферромагнетика.

Спектр магнонов. Сравним (8.5.31) с классическим выражением (8.1.15), кото рое, так же как и (8.5.31), не учитывает

диполь-дипольного взаимодействия. В обоих случаях энергия магно нов является суммой зеемановского члена т^Я 0 и обменного члена. Однако для обменного члена теперь, в отличие от (8.1.15), полу чено выражение, в которое входят микроскопические — модель ные параметры I g и которое явным образом зависит от магнитной

структуры ферромагнетика.

Обменные интегралы I g, как известно, быстро убывают по мере увеличения расстояния rg между спинами. Поэтому при4 вычис лении суммы в (8.5.31) можно ограничиться сравнительно неболь шим числом близко расположенных спинов, а при грубых расче тах — суммировать лишь по наиболее близко расположенным спинам — по первой координационной сфере (приближение бли жайших соседей). В качестве примера рассмотрим в таком при ближении простую кубическую решетку спинов (рис. 8.5.2). Непо средственное вычисление обменного члена в (8.5.31) дает в этом:

§ 8.5]		М И К Р О С К О П И	Ч Е С К А Я	Т Е О Р И Я М А Г Н О	Н О	В	445

случае
	гк =	4SI (3 — cos кха — cos кѵа — cos kza) +				T^#o, (8.5.32)
где	/ — обменный интеграл, который теперь				не	зависит	от g.
	В случае	длинноволновых возбуждений, когда
из	(8.5.32) следует		А а < 1 ,			(8.5.33)
			2S I {каУ + уПН0.
		ек =				(8.5.34)
Это выражение совпадает			с (8.1.15), еслифеноменологическая кон
станта неоднородного обменного				взаимодействия
			Л =	а2.		(8.5.35)
Оценим величину ц для			иттрий-железного граната х). Для				него

S =5/2 (ионы Fe3+), а среднее расстояние между ионами а = 3,5 X X ІО-8 см. Для оценки величины обменного интеграла используем

формулу (1.1.60), в которой примем Тс	= 558 °К, / = S =
=5/2и Z = 6. Тогда из (8.5.35) получим ц =0,015. Экспериментальное
же значение т) = 0,1. Совпадение следует	считать довольно хо
рошим, так как принятые оценки для а и /	справедливы лишь по
порядку величины.

Подчеркнем, что выражение (8.5.34), совпадающее с резуль татом классической континуальной теории, в микроскопической теории получается лишь при выполнении условия (8.5.33). Этого и следовало ожидать, так как континуальная модель применима лишь в тех случаях, когда длина волны спиновых волн много больше, чем постоянная решетки 2).

С другой стороны, в приведенном выше микроскопическом рас чете мы игнорировали влияние поверхности образца, и, таким об

разом, его результаты справедливы лишь для магнонов	с
Ы > 1 ,	(8.5.36)

где d — наименьший размер образца. Иными словами, однородная прецессия и неоднородные длинноволновые (уокеровские) типы колебаний при этом расчете выпадают из рассмотрения. Ограни чение (8.5.36) не является принципиальным, и квантовая микро скопическая теория длинноволновых типов колебаний может быть построена 3). При построении такой теории, конечно, нельзя пре небрегать влиянием поверхности и необходимо учитывать диполь

г) См. примечание 3) на	стр. 434.	фононов (см.,	например,
а) Аналогичное положение	имеет место и для	фононов (см.,	например,
[32, 34]).
3) Для однородной прецессии это было показано еще на заре развития
теории ферромагнитного резонанса Цолдером [ИЗ],		Ван-Флоком	[115] и др,

446 СПИНОВЫЕ в о л н ы [ГЛ. 8

дипольное взаимодействие. Мы не будем рассматривать этого воп роса (см. [23, 3, 244]), так как очевидно, что результаты квантовой теории длинноволновых магнитных колебаний должны полностью совпасть с результатами, полученными макроскопическим путем в предыдущих главах.

Учет диполь-дипольного взаимодействия и анизотропии. Остановимся^кратко на вопросе об учете диполь-дипольного взаимо действия и анизотропии в микроскопической теории в том случае, когда условие (8.5.36) выполняется и влияние поверхности образ ца несущественно. Прежде всего члены, учитывающие соответ ствующие взаимодействия, должны быть введены в гамильтониан. Гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия имеет вид (1.1.50). Магнитная кристаллографическая анизотропия в ферро магнетике, как отмечалось в главе 2, связана со спин-орбитальным взаимодействием, и поэтому в гейзенберговской модели, имеющей дело только со спиновыми операторами, может быть учтена лишь феноменологически. Так, например, для магнитно-одноосного кристалла гамильтониан магнитной анизотропии, ограничиваясь наинизшими членами и предполагая, что ось анизотропии совпа дает с осью z, можно записать в виде [23]

(8.5.37)

t V

где I a ff — некоторые феноменологические параметры, завися щие от расстояний между спинами и ориентации спинов относи тельно вектора (гf — г/). Следует заметить, что при этом, в отли чие от обменного гамильтониана, члены с / = /' не исключаются из суммирования, они могут быть ответственными за так называемый одноионный источник анизотропии (см. главу 2).

Добавляя диполь-дипольный гамильтониан §fd в виде (1.1.50

и Жа, например, в виде (8.5.37) к гамильтониану (8.5.1), мы полу чим полный гамильтониан, который необходимо привести к диа гональному виду (8.5.3) путем перехода от спиновых операторов

S°f'v'z к новым переменным. Не будем приводить здесь этих пре

образований. Для случая, когда учитывается только Жа, они про ведены в [231] (см. также [3, 13, 20]). Отметим лишь, что после пе

рехода к операторам	и âk,	согласно (8.5.11),	(8.5.7) и (8.5.17),
квадратичные члены полного гамильтониана примут вид
[Andean +		у (Bkâ	J	,	(8.5.38)
k L			J

где An и Bk — некоторые функции параметров исходного гамиль тониана и составляющих вектора к, При учете только обменного

§ 8 . 5 І М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я М А Г Н О І -Ю В 447

и диполь-дипольиого взаимодействий (для изотропной среды [231])

Ак = 2S 2 (1 — eikrs) lg + yhH0+	TÄ 2лМ0sin2 Ѳ*,
g		(о.Ь.иУ)
Вк = yh2nM 0s\.rii Ѳке l2<f>k,
где M 0 = NyliS — намагниченность при	О °К,	а Ѳ* и фк — по
лярный и азимутальный углы вектора к.
Как видно из (8.5.38), при учете диноль-дипольного взаимодей
ствия или анизотропии переход к операторам		âk и âk (при Ѳк =f=

=j=0) еще не приводит квадратичные члены гамильтониана к диа

гональному виду (8.5.3): члены с В к жВ к связывают между собой операторы âk и âk. Необходим еще один переход к некоторым опе

раторам ск и ск — третье преобразование Холыптейна — При макова, которое уже приведет гамильтониан (8.5.38) к диагональ

ному	виду1).
Пусть новые операторы ск и		ск будут связаны с операторами
âk и	ак линейными соотношениями [231,		3]
	ак = икск + ѵкс-к,	ак = икск +	ѵкс.к,	(8.5.40)

в которых ик и ѵк — неизвестные пока функции к и параметров гамильтониана. Для их определения имеются следующие усло вия.

1) Операторы ск и ск должны удовлетворять таким же" пере становочным соотношениям, как соотношения (8.5.24) для опера

торов ак и ак . Только при этом условии операторы ск и ск можно будет считать операторами рождения и уничтожения магнонов. Иными словами, преобразование (8.5.40) должно быть унитар ным.

2) В новых операторах гамильтониан (8.5.38) должен стать диа гональным:

Жг — UQ-f- вкскск.	(8.5.41)
к

Можно убедиться, что преобразование (8.5.40) является уни тарным, если

Ы я - Ы ‘ = 1-

(8-5.42)

Для того чтобы учесть требования, накладываемые на коэффициен ты ик и ѵк видом гамильтонианов (8.5.38) и (8.5.41), можно посту пить, например, следующим образом [3]. Запишем квантовомеха ническое уравнение движения [30] оператора âk (не зависящего

х) Общая теория преобразований, диагоналпзпрующих квадратичные гамильтонианы, была развита Боголюбовым (см. [23]).

448	С П И Н О В Ы Е в о л н ы		[ Г Л . 8
явно	от времени):
	Ч	і	(8.5.43)
	dt	Tl I а * , # 2 ] ,

где квадратные скобки, как и в (8.5.24), обозначают коммутатор стоящих в них операторов. Вычисляя этот коммутатор с гамиль тонианом (8.5.38) с учетом перестановочных соотношений (8.5.24) и

переходя затем к операторам ск и с!к согласно (8.5.40), получим

[ de,	= Ак { и к с к + v k c l k ) + B k (u k c t k +
і% l U* H f + <	= Ак { и к с к + v k c l k ) + B k (u k c t k +	VfcCk)-(8.5.44)
	Л	Л ,

Запишем теперь уравнения движения операторов ск и с_к, при нимая гамильтониан в виде (8.5.41) и учитывая перестановочные соотношения для этих операторов. Принимая также во внимание, что ек — е_л, получим

Ч	i	-	djtk	— -hi - e Ä	(8.5.45)
~dT =	X	e*Cb	dt	— -hi - e Ä	(8.5.45)

Подставляя (8.5.45) в (8.5.44) и приравнивая коэффициенты при

операторах ск и ск в левой и правой частях полученного равен ства, мы придем к системе однородных линейных уравнений для

ик и ѵк. Равенство нулю ее определителя дает

гк ^ Ѵ А І - \ В к\\

(8.5.46)

Л Л ,

Коэффициенты ик и ѵк, а следовательно, и операторы ск и ск могут быть легко определены из этой системы при дополнительном ус ловии (8.5.42).

Найденные таким образом операторы ск и ск (а не âk и âk) являются теперь операторами рождения и уничтожения магнонов. Величины А к и В к, как видно, например, из (8.5.39), явля ются функциями волнового вектора к, и выражение (8.5.46) пред ставляет собой дисперсионное соотношение длямагнонов. Опера тором числа магнонов является теперь

Щ = с+кск.

(8.5.47)

Без учета диполь-дипольного взаимодействия и анизотропии или для волн, распространяющихся вдоль постоянной намагни ченности, В к = 0 и выражение (8.5.46) переходит в (8.5.31). В этом случае ик = 1, = 0 и операторы ск и ск совпадают с опе

раторами âk и âk. Если же ограничиться длинноволновым приб лижением (8.5.33), то (при учете только диполь-дипольного вза имодействия)

Ак — yhH0+ r\hk2 + *(Ѣ2пМ0sin2 Qk

(8.5.48)

( 8 .5 J	М И К Р О С К О П И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я	М А Г Н О Н О В	449
0?/с	определяется согласно (8.5.39)) и	выражение (8.5.46),	как

и следовало ожидать, совпадает с формулой (8.1.14), полученной классическим путем на континуальной модели.

Заметим,	что если
	(8.5.49)
то операторы	и ск мало отличаются от операторов йк- и âk [20].

В этом случае, согласно (8.1.20), поляризация спиновых волн при ближается к круговой. Тогда приближенно выполняются простые соотношения (8.4.9) — (8.4.15), дающие связь чисел магнонов с со ставляющими намагниченности и магнитного момента образца.


Легко	убедиться, что для обычных ферромагнетиков				энергия
I В К I ~		0,1 °К.	Поэтому	для тепловых магнонов, энергии кото
рых при		температуре Т		будут, в основном, порядка к Г, вели
чиной	В }с можно		всегда	пренебречь при температурах,	больших

~ 1 °К. Однако для когерентных спиновых воли с не очень боль шими к пренебрежение В к допустимо лишь при достаточно силь ных постоянных магнитных полях.

Термодинамика ферромагнетика с учетом дискретности его структуры. Выясним теперь, как повлияет дискретность струк туры ферромагнетика на его термодинамические свойства, в ча стности, на температурную зависимость намагниченности, кото рая была рассчитана выше на континуальной модели (формула (8.4.28)). Результаты такого расчета зависят от трех факторов:

1)статистики, которой подчиняются элементарные возбуж

дения,

2)спектра элементарных возбуждений и

3)области к-пространства, по которой производится суммиро

вание состояний.

Посмотрим, как изменится влияние этих факторов при пере ходе от континуальной модели к дискретной. Как мы видели, магноны в дискретной — гейзенберговской модели в пределах при менимости спин-волновой теории являются (первый фактор), как и магноны в континуальной модели, бозе-частицами. Суммиро вание состояний (третий фактор), т. е. интегрирование в (8.4.25) должно теперь производиться, строго говоря, только по первой зоне Бриллюэна. Однако при достаточно низких температурах роль магнонов с большими к мала, и интегрирование в (8.4.25) можно по-прежнему производить по всему к-пространству (что, конечно, упрощает вычисления).

Что же касается второго фактора, то спектр магнонов для ди скретной модели, как мы видели, существенно отличается (кроме области малых ка) от спектра для континуальной модели. Рас смотрим, к какому изменению термодинамических характеристик ферромагнетика это приведет. Пренебрежем по-прежнему влиянием постоянного магнитного поля, диполь-дипольного взаимодействия

15 А. Г. Гуревич

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 6045 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ