книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

взанмо действия.

Ограничимся рассмотрением первого — коллииеарного основ-

станта однородного обменного взаимодействия между подрешетка­ ми, М х о п М 2 о — статические намагниченности подрешеток) . Уравнения движения в этом состоянии с учетом эффективных полей одноосной кристаллографической анизотропии и эффек­

Здесь Н і0 — внутреннее постоянное поле; 77а і,г — эффективные поля одноосной кристаллографической анизотропии (в предпо­ ложении аддитивности энергий анизотропии подрешеток и с уче­ том только первых констант они имеют вид (4.4.38)); величины

77к і,2 п Як 1,2, аналогично (8.2.6), обозначают

зз

Я киг = 3 7 1.2о 2 2 Чіаps kpkSi

Р = 1 s = l

(8.2.38)

3 3

77KI,2= 371>202 2 4pshpks.

P = T s = l

Из уравнений (8.2.37) видно, что учет неоднородного обмен­ ного взаимодействия свелся к замене, аналогичной (8.2.7),

Яи 1.2 —> Яд ij2 + 77к 1.2,

(8.2.39)

Ял1.2—>77аі,2 77к],2•—IIк іл-

Воспользовавшись этим, можно сразу же получить выражения

для частот спиновых воли и компонент тензора % с учетом неод-

!) Аналогичные уравнения (4.4.37) были записаны для собственных од­ нородных колебаний. Теперь, поскольку мы рассматриваем колебаппя под действием заданного внутреннего переменного поля (ищем внутренний тепзор восприимчивости), из уравнений следует исключить члены Ti,2Nj_/l'/i,2 0

(но оставить члены Т і ЛИг{М1 0 — Мг „), учитывающие постоянные размаг­ ничивающие поля).

Таким образом, улет граничных условий (в слабо проводящих средах) становится необходимым лишь в случае мелких частиц, а также тонких стержней (нитей) и топких пленок, поперечные размеры которых измеряются долями микрона 1). Следует подчерк­ нуть, что это относится лишь к влиянию граничных условий на спектр спиновых волн. Что же касается таких задач, как, напри­ мер, задача о прохождении и отражении спиновых волн через границы раздела, то для них, конечно, учет граничных условий на поверхности раздела необходим независимо от размеров тел.

Аналогичное положение плюет место и для сред с плавно из­ меняющимися параметрами, в частности, для случая неоднород­ ного постоянного магнитного поля. Если изменение параметров — достаточно медленное, т. е. расстояния, на которых оин заметно изменяются, гораздо больше, чем 1/7с (где к — волновое число рассматриваемых волн), то спектр волн в каждой точке определя­ ется значениями параметров в этой точке. Задачи о распростране­ нии спиновых воли в такой среде с медленно изменяющимися па­ раметрами аналогичны задачам геометрической оптики. Если же расстояния, на которых происходят заметные изменения парамет­ ров, сравнимы или меньше, чем 1/к, то магнитиые колебания не являются плоскими волнами, и зависимость m (г, t) может быть найдена лишь путем совместного решения уравнений движения намагниченности и уравнений ноля (обычно — в магнитостати­ ческом приближении) при заданной зависимости параметров от координат.

Возбуждение спиновых волн. Исследование распространения спиновых волн в неоднородных средах тесно связано с проблемой возбуждения спиновых воли. Некогерентные (тепловые) спиновые волны возбуждаются под воздействием тепловых колебаний кри­ сталлической решетки. При этом возникает некоторое равновесное распределение таких спиновых волн с различными а>и к. Когерент­ ные спиновые волны, которые нас больше всего интересуют, по­ могут возбуждаться в результате нелинейных процессов под воз­ действием однородных колебаний намагниченности [522] или непосредственно переменного магнитного поля [528] достаточно большой амплитуды (см. также [537, 15]). Рассмотрение такого возбуждения выходит за пределы этой книги, посвященной ли­ нейным проблемам 2). Не будем мы рассматривать и возбужде­ ния спиновых волн упругими колебаниями, которое происходит благодаря связи между магнитной системой и решеткой в магнитоупорядоченных кристаллах [347, 3]. Остановимся лишь на линей­

х) В металлах, в которых глубина проникновения поля (толщина скинслоя) сравнима с ІД і, учет граничных условий в задачах о спиновых вол­ нах необходим для образцов любых размеров.

2) Вопрос о нелинейном возбуждении спиновых волн (спннопых неста­ бильностях) будет лишь слегка затронут в § 9.2.

§ 8.3І ВОЛНЫ В ОГРА Н И ЧЕН Н Ы Х ТЕЛАХ И Н ЕО Д Н О РО ДН Ы Х СРЕДА Х 405

ном (имеющем место при сколь угодно малых амплитудах) воз­ буждении когерентных спиновых волн переменным магнитным полем.

Не проводя строгого исследования задачи о возбуждении спиновых волн, отметим лишь, что ее решение в случае дискрет­ ного спектра спиновых волн *) можно искать, так же как и для магнитостатических (безобменных) волн, в виде ряда (7.3.30). Величины т ѵ(г) в (7.3.30) будут теперь комплексными амплиту­ дами спиновых колебаний с собственными частотами со ѵ, а для ко­ эффициентов Сѵ при соответствующей нормировке собственных функций піу (г) будет справедлива формула (7.3.31).

Если же спектр спиновых волн — непрерывный, как например, в неограниченной среде или волноводе 2),* то ряд ѵ.7.3.30) должен быть заменен интегралом. И если собственными функциями задачи являются плоские волны іщ (г), то интегрирование может вестись по волновым векторам к этих волн:

(8.3.2)

Величина ск (к) характеризует интенсивность возбуждения нор­ мальной волны с волновым вектором к. Для нее справедлива фор­ мула, аналогичная (7.3.31),

(8.3.3)

где :о — заданная частота возбуждающего поля, а а к — параметр диссипации; интегрирование в (8.3.3) производится по всему про­ странству, где h (г) ф 0 и тк (г) ф 0.

Рассмотрим в качестве самого простого примера возбуждение бегущей спиновой волны в однородной неограниченной среде. Тогда

а он- собственная частота, связанная с к дисперсионными соотно­ шениями, которые подробно исследовались выше. В этом случае возбуждение происходило бы наиболее интенсивно, если бы воз­ буждающее поле представляло собой бегущую волну с тем же вол­ новым вектором, что и спиновая волна, для которой со я- = <»• Наибольший практический интерес мог бы представить случай, когда возбуждающее переменное поле однородно. Однако тогда интеграл в (8.3.3) обращается в нуль. Действительно, в случае

*) Дискретный спектр спиновых волн, как и в случае безобменных маг­ нитостатических волн (§ 7.3), электромагнитных волн (§ 6.3) п других волпопых процессов, имеет место для ограниченных тел.

2) См. примечание 1 на стр. 340.

§ 8.3] ВОЛНЫ В ОГРА Н И ЧЕН Н Ы Х ТЕЛАХ И НЕОД Н О РО ДН Ы Х СРЕДАХ 407

движения аналогично тому, как электродинамические граничные условия получаются интегрированием уравнений Максвелла (см., например, [29]).

Считая для простоты неоднородное обменное взаимодействие

изотропным, т. е. тензор q в (2.1.7) скалярной величиной (qvs = = q), запишем исходное уравнение движения в виде

- і ® + М Х Н е„ + g M X Ѵ 2М + М X H s = 0. (8 .3 .5)

Здесь Herr включает в себя внешнее поле, размагничивакщее по­ ле и все эффективные поля (поле объемной анизотропии, эффектив­ ное поле, учитывающее диссипацию), не зависящие или слабо зави­ сящие от координат; поле Hs есть эффективное поле поверхност­ ной анизотропии, которое очень сильно зависит от координаты в направлении, перпендикулярном к граничной поверхности.

Поле Hs существует только в поверхностном слое толщиной d. Оно учитывает особые условия, в которых находятся магнитные моменты вблизи границы ферромагнетика. Не обсуждая подробно природу поверхностной анизотропии, заметим лишь, что источни­ ком ее, согласно Неелхо (см., например, [244]), может явиться то, что ионы у поверхности находятся в другом окружении, чем внутри ферромагнетика. Поверхностная анизотропия может воз­ никать также из-за наличия на поверхности тонкой пленки дру­ гого химического состава, чем внутри, например, антиферромаг­ нитной окисной пленки на границе ферромагнитного металла. Существенно, что интеграл от поля Hs по объему поверхностного слоя не является, вообще говоря, малым, несмотря на малую толщину слоя.

Поверхностная анизотропия может являться либо одноосной с осью — легкой или трудной, совпадающей с нормалью к поверх­ ности, либо однонаправленной (когда, в отличие от одноосной анизотропии, направления к поверхности и от нее не эквивалент­ ны). Рассмотрим для определенпости первый случай. Тогда, со­ гласно (2.2.5), ограничиваясь первой константой анизотропии, можно записать

где п0 — единичный вектор внешней нормали к граничной поверх­ ности S (рис. 8.3.1). Величина Hs зависит — причем, как уже от­ мечалось, сильно — от координаты z' в направлении, перпенди­ кулярном поверхности, и обращается в нуль вне поверхностного слоя.

Проинтегрируем уравнение (8.3.5) по объему V (рис. 8.3.1)— тонкому диску с площадью а и толщиной 2d1 (где d^, хотя и ма­

ло, но больше, чем толщина поверхностного слоя d), «разрезанно­ му пополам» граничной поверхностью S. При достаточно малом dx первые два члена (8.3.5) дадут пренебрежимо малые вклады и результат интегрирования можно будет записать в виде

Применяя вторую формулу Грина [35] к проекциям (8.3.8) на оси декартовой системы коорди­ нат, нетрудно преобразовать Іх в пптеграл по поверхности 2 , ограничивающей объем диска У:

внешней нормали к 2 , а (поЕу)М = = дШ/дп-z — производная М по направлению этой нормали. Ин­ тегралом по боковой поверхности диска в (8.3.10) можно пренебречь. На внешнем (лежащем вне ферро­ магнетика) основании диска М —0, а на внутреннем noS = —п0. Тог­ да, считая площадь основания о

малой (хотя и большей, чем боковая поверхность диска), получим окончательно

где (п0у)М — производная М по направлению нормали к гранич­ ной поверхности 5. Подчеркнем, что в (8.3.11) входит величина М внутри ферромагнетика — на расстоянии от границы, превышаю­ щем толщину поверхностного слоя.

Займемся теперь интегралом (8.3.9). Учтем, что Hs существует лишь в поверхностном слое и изменяется быстро только в направ­ лении z', а площадь основания диска а является малой. Тогда, принимая для Hs выражение (8.3.6), получим

В (8.3.12) от z' может зависеть не только Hs, но и вектор М — его направление и длина. Если изменением М в поверхностном слое можно пренебречь, то (8.3.12) примет вид

— поверхностная плотность энергии взаимодействий, учитывае­ мых эффективным полем Hs-

Можно рассмотреть и более общий случай, когда М изменя­ ется в поверхностном слое, однако таким «симметричным» обра­ зом, что направления вектора І2 и вектора М х н0 (вне поверхно­ стного слоя) совпадают. В этом случае выражение (8.3.13) можно по-прежнему считать справедливым, принимая в нем, как и в (8.3.11), величину М вне поверхностного слоя. Но теперь опреде­ лением поверхностной энергии K s будет уже не формула (8.3.14), а равенство выражений (8.3.12) и (8.3.13).

Подставляя (8.3.11) и (8.3.13) в (8.3.7), получим граничное

Это условие накладывается на вектор М вблизи границы, но вне поверхностного слоя, а свойства поверхности учитываются един­ ственным параметром Ks-

Рассмотрим теперь случай малых колебаний намагниченно­

и получим граничное условие для комплексной амплитуды пере­ менной намагниченности т . Подставляя (8.3.16) в (8.3.15) и при­ равнивая нулю линейные по щчлены, найдем в случае М0 = const, т. е. отсутствия доменной структуры,

£z0 X (п0Ѵ) m + n0 X z0 (n0m) + (n0z0) n0 X m = 0, (8.3.17)

где z0 — единичный вектор в направлении М0, а

(8.3.18)

Выражение (8.3.17) эквивалентно двум скалярным условиям для составляющих вектора т . Направив оси координат, как по­ казано на рис. 8.3.1 (ось х касательиа к граничной поверхности),