книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

510 ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ . 9

и с компонентами

где Дxp>s — составляющие вектора Дѵ. Сила f, действующая на единицу объема, связана с тензором напряжений ~а:

где cpslm — компоненты тензора четвертого ранга — тензора уп- ругих постоянных (или модулей упругости). Плотность свободной энергии, связанной с упругими деформациями,

Из того, что тензор и является симметричным, следует, что имеется, вообще говоря, 21 независимая компонента cpslm. Однако для кристаллов всех сингоний, кроме триклинной, это число уменьшается. Так, например, для кубических кристаллов имеются только 3 независимые постоянные:

так что остаются лишь 2 независимые упругие постоянные: модуль сжатия сп и модуль сдвига с44.

где р — плотность. Решение уравнений движения для случая однородных плоских волн показывает, что могут существовать три типа волн с различными скоростями распространения, т. е.

где coj — частоты этих волн, a q — волновое число. Для изотроп­ ной среды две волны являются поперечными и имеют одинаковые

скорости ѵг — ѵ2= Pj_, а третья волна е ѵ3= ѵц является про­ дольной.

Упругие волны в непрерывной среде, как и магнитные волны (§ 8.4), могут быть проквантованы, им соответствуют квазичасти­ цы — фононы с законом дисперсии (9.4.7). Вектор смещения

Задача об упругих колебаниях кристалла может быть рассмот­ рена и на дискретной модели — материальных точек с массами

к нулю при q —^ 0. Всем ветвям колебаний соответствуют свои ква­ зичастицы — фононы, акустические или оптические. Заметим, что оптические ветви фононов аналогичны высокочастотным — обмен­ ным ветвям магнитных колебаний в многоподрешеточных магнито­ упорядоченных кристаллах (которые содержат несколько различ­ ных в магнитном отношении ионов в магнитной элементарной ячейке).

Переход к операторам рождения и уничтожения фононов в дискретной модели производится [274] следующим образом: опе­

где Pqj — единичный вектор поляризации фононов /-й ветви с волновым вектором q; суммирование по q производится в пределах первой зоны Бриллюэна, а по у, вообще говоря, — по всем Зп. ветвям фононов.

магнитная подсистема и подсистема упругих степеней свободы кристалла («решетка») рассматривались независимо. В действи­ тельности же они связаны. Эта связь приводит, в маетности, к явлению магнитострикции (5, 348]. Она же является, как уже от­ мечалось в § 9.1, причиной спии-решеточной релаксации.

Один из механизмов магнитоупругой связи заключается в том, что обменная энергия и энергия магнитного (диполь-дипольного) взаимодействия зависят от расстояний между ионами и, таким образом, изменяются при деформациях кристалла. Этот меха­ низм, как источник релаксации, был исследован в уже неоднократ­ но упоминавшейся работе Ахиезера [274].

Исходным в [274] являлось выражение для гейзенберговского гамильтониана (8.5.1) с добавлением диполь-дипольной энергии (1.1.50). Входящее в (8.5.1) и (1.1.50) расстояние между ионами

и гамильтониан может быть разложен по степеням Д17. Считая деформации малыми, можно ограничиться нулевым и первым чле­ нами этого разложения. Если затем выразить Дг/, согласно (9.4.8), через операторы рождения и уничтожения фононов, а от спиновых операторов перейти к операторам рождения и уничтожения магнонов, то гамильтониан примет вид

где Ж (г//'о) — не возмущенный колебаниями решетки гейзен­ берговский гамильтониан, который использовался в §§ 8.5 и 9.2. Остальные члены в (9.4.10) описывают магнитоупругую связь и имеют вид

Аналогично рассмотренным в § 9.2 процессам внутри магнит­ ной подсистемы различные члены в (9.4.11) и (9.4.12) соответствуют элементарным процессам взаимодействия между магнонами и фо­ нонами. Билинейные члены, входящие в (9.4.11), описывают двух­ частичные процессы взаимного превращения магнонов и фононов. Как видно из (9.4.11), эти процессы протекают при равенстве импульсов квазичастиц. В первом порядке теории возмущений усло­ вием их протекания является совпадение и энергий частиц

вия не дает возможности надежно учесть его вклад в магнитоупру­ гую связь! Поэтому остается единственная возможность — пост­ роить феноменологическую теорию, которая связала бы амплитуды 'Ft, gj и др. в смешанных — магнитоупругих членах гамильтониа­ на с некоторыми постоянными, которые могли бы быть, например, определены экспериментально. Этот путь был предложен Абрахам­ сом и Киттелем [3311. Его использовали Ахиезер, Барьяхтар и Пелетминский [333], которые исследовали смешанные мапштоупру-

гие волны (обусловленные членами второго порядка Жъм.у.), и Каганов и Цукериик [335], изучавшие процессы спин-решеточной

релаксации (связанные с членами третьего порядка Ж зм.у.)- При таком феноменологическом рассмотрении исходным явля­ ется выражение для магиитоупругой свободной энергии, которое записывается в виде, допускаемом симметрией данного кристалла, т. е. инвариантном относительно операций, входящих в его группу симметрии. Если ограничиться членами, линейными относительно компонент тензора деформаций 1) и квадратичными по составля­ ющим намагниченности 2), то это выражение в общем случае можно

записать следующим образом:

o p s I т

(9.4.13)

где р , s, I, т, п, г = I, 2, 3. Постоянные bpslm обусловлены ре­ лятивистскими взаимодействия лги: спиновым диполь-дипольным и спин-орбитальным (последнее, как уже отмечалось, играет глав­ ную роль), а постоянные hpslmnr — обменным взаимодействием.

Рассмотрим кубический кристалл, но при записи обменных членов будем для простоты считать его изотропным; тогда выраже­ ние (9.4.13) примет вид [335]

Строго говоря [3], свободную энергию следует раскладывать не по компонентам симметричного тензора деформацій uPs, а по компонентам тензора д (hxp)ldxs. Однако это не приводит, по-видимому, к существенным качественным отличиям, и мы, следуя традиции [331—335], используем разложение свободной энергии по компонентам тензора деформаций.

2) Как уже отмечалось в § 2.2, членов, линейных по намагниченности, в энергии кристалла пе может быть.

4 ^

Например, для иттрий-железного граната (&2 = 3-10® [347]) это отношение больше единицы при к ^ 10®. Таким образом, релятиви­

стские взаимодействия (в первую очередь, конечно, спин-орбиталь- ное) играют главную роль в трехчастичных процессах снин-реше- точной релаксации при не очень больших к. При увеличении к вклад обменного взаимодействия увеличивается, одновременно, возрастает роль прямых процессов спин-решеточной релаксации.

К расчету частот релаксации, обусловленных трехчастичными магнон-фонопными процессами, полностью применима теория трех­ бозонных процессов, развитая в § 9.2. Рассмотрим, например, черепковские процессы. Так же как и в трехмагнонном случае, следует различать два типа таких процессов — процессы слияния и расщепления (см. табл. 9.4.1). Частота релаксации, обусловленная черепковскими процессами расщепления, запишется аналогично (9.2.9)

X 6 (fflft, — Щ , — COqrj). (9.4.20)

где Nqj — равновесное число фононов с волновым вектором q и вектором поляризации pqj. Таким же образом могут быть записаны частоты релаксации двух других процессов.

Мы не будем вычислять частоты релаксации для рассмотренных процессов. Отметим лишь, что, как показывают расчеты .[335, 293,

518 П Р О Ц Е С С Ы Р Е Л А К С А Ц И И Г Г Л . 9

280] (см. также [3, 244, 287]), вклад их в диссипацию энергии одно­ родной прецессии, а также спиновых волн с небольшими к, которые возникают в результате 0-к процессов и спиновых нестабильностей, весьма мал. Однако процессы магнон-фоноииой релаксации стано­ вятся все более эффективными по мере увеличения к. И в тех крис­ таллах, в которых не играет заметной роли косвенная спин-решеточ- ная релаксация, рассматриваемые процессы прямой магнон-фонон- ной релаксации приводят к передаче в решетку всей энергии одно­

магнонный процесс, во всяком случае, при учете только нижней — ферромагнитной («акустической») ветви магнонного спектра не может при данной — достаточно высокой частоте дать такого вкла­ да в релаксацию при к —>0. Трехчастичные магион-фононные про­ цессы тоже не могут обеспечить этого вклада при тех ограничениях, которые были сделаны выше при их рассмотрении, а именно — при учете только акустических ветвей спектров магнопов и фононов и учете в гамильтониане (9.4.13) только тех релятивистских членов, которые разрешены симметрией (в данном случае кубической)

всего кристалла.

Касуйя и Ле Кроу [284] показали, что приведенные на рис. 9.4.3 значения ширины кривой могут быть связаны с черепковским процессом слияния магнонов с фононами (см. табл. 9.4.1), но

только при следующих условиях: а) при учете верхней — обменной ветви магноииого спектра, б) при учете верхней — оптической ветви спектра фононов, в) при условии, что возмущением, обуслов­ ливающим связь магнонов и фононов, является изменение при де­ формациях кристалла локальной энергии анизотропии ионов. Эта энергия может в кубических кристаллах во много раз превышать среднюю «кубическую» энергию анизотропии.

Интересно заметить, что процесс Касуйя — Ле Кроу и, вообще, черепковские процессы слияния осуществляют передачу энергии не от магнитной подсистемы решетке (как остальные спин-решеточ- ные процессы), а, наоборот, от решетки магнитной системе. Эта энергия, конечно, передается обратно в решетку другими спинрешеточпыми процессами, прямыми или косвенными.

§ 9.5. Релаксация с участием носителей тока

Передача энергии от магнитной подсистемы решетке может идти не только прямым путем, который был рассмотрен в предыду­ щем параграфе, но и через другие подсистемы кристалла, связанные достаточно сильно как с магнитной подсистемой, так и с решеткой. К числу таких подсистем относятся (см. рис. 9.1.2) носители тока (электроны проводимости), парамагнитные ионы с достаточно сильной спин-орбитальиой связью (точнее — подсистема локализо­ ванных электронных степеией свободы этих ионов) и, вообще го­ воря, ядериая магнитная подсистема. Однако роль ядерной маг­ нитной подсистемы в интересующих нас процессах релаксации обычно мала. Процессы же, происходящие с участием первых двух подсистем — носителей тока и локализованных ионов, могут быть очень эффективны. Они будут рассмотрены в этом и следующем параграфах.

Джоулевы потери в случае малой проводимости. Рассмотрим сначала простейший механизм косвенной спин-решеточной релак­ сации, связанной с носителями тока. Он заключается в том, что переменная намагниченность вследствие электромагнитной индук­ ции наводит электрическое поле, которое вызывает в образце вих­ ревые токи. Джоулевы потери этих токов приводят к передаче энергии, затраченной магнитной подсистемой на их возбуждение, в решетку. Ограничимся случаем малой проводимости. Тогда можно пренебречь обратной реакцией токов на намагниченность, т. е. считать, в духе первого приближения теории возмущений, что магнитные колебания имеют такую же структуру, как и в непро­ водящем образце.

Для определенности рассмотрим однородную прецессию в изо­ тропной ферромагнитной сфере, намагниченной до насыщения в на­ правлении оси z (рис. 9.5.1). В этом случае переменная намагни­ ченность будет иметь круговую поляризацию, и ее комплексная