книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

Предположим, что переменное поле h+ не обращается в нуль в некотором интервале z3-ч- z4 (рис. 8.3.5, а), содержащем точку поворота. Тогда из (8.3.54) с учетом (8.3.55) следует

(если z ]> z4, то интегрирование производится фактически до z4)- Общее решение (8.3.52) уравнения (8.3.46) запишется теперь в виде

422 • С П И Н О В Ы Е В О Л Н Ы [ Г Л . 8

принятым конкретным законом (8.3.44) изменения поля, в то вре­ мя как результат должен, погвидимому, зависеть лишь от пове­ дения поля вблизи точки поворота. Поэтому мы перейдем от z0 к

Как показано в [261], к выражению (8.3.69) можно прийти, не задаваясь конкретным законом Н 0 (z), а предполагая лишь общий ход поля,'показанный на рис. 8.3.5, а , ц.линейноѳ изменение поля вблизи точки поворота. Из (8.3.68) видно, что эффективность пре­ образования электромагнитной энергии в энергию спиновой волны увеличивается с уменьшением градиента постоянного поля в точке поворота. Из параметров вещества эффективность преобразования зависит только от постоянной намагниченности.

Наличие диссипации (которая не учитывалась выше) приведет к тому (см. § 8.1), что возбуждаемая спиновая волна будет доволь­ но быстро затухать. Поэтому практическая реализация рассмот­ ренного метода возбуждения спиновых волн возможна лишь в ве­ ществах с достаточно малой диссипацией, например, в монокри­ сталлах иттрий-железного граната. Вторым усложняющим об­ стоятельством является наличие магнитоупругого взаимодействия. При значениях I I і 0 , лишь не намного меньших величины поля в точке поворота, имеет место [332—334) пересечение спектров спи­ новых и упругих волн (см. § 9.4). В этой области магнитоупругое взаимодействие приводит, как показали Шлёманн и Джозеф [338], к весьма эффективному преобразованию спиновой волны в упру­ гую ..Таки м образом, волной, которая в рассмотренной выше за­ даче уходит на (+ оо), будет фактически упругая волна. Отсюда ясно, что вещество, в котором может наблюдаться возбуждение спиновых волн в неоднородном постоянном поле, должно обладать также очень малыми упругими потерями. Иттрий-железный гранат хорошо удовлетворяет и этому требованию.

Неоднородность внутреннего постоянного поля, необходимая для возбуждения спиновых волн рассмотренным способом, может быть проще всего реализована при помещении ферромагнитных образцов неэллипсоидальной формы в о д н о р о д н о е в н е ш н е е поле. Т а к, например, внутреннее поле в ферромагнитном цилиндре, на­ ходящемся в однородном внешнем поле Н 0, параллельном его оси, имеет вид, показанный на р и с.'8 .3 .7 . К ак видно из рис. 8 .3 .7, вѳ-

424 с й й й о в Ш В О Я Н Ь І [гл . 8

Аналогичное возбуждение спиновых волн (с последующим пре­ образованием их в', упругие) наблюдалось в нормально намагни­ ченном, диске Эшбахом [259]. Поверхностью поворота в этом случае являлась цилиндрическая поверхность S Q (рис. 8.3.8) и возбуж­ даемая волна представляла собой цилиндрическую волну, распро­

к ~ 0, учет граничных условий становится необходимым. Волны,которые возбуждаются в этих областях, представляют собой в дей­ ствительности безобменные магнитостатические волны со спектром, зависящим от поперечных размеров (см. §7.2), но, конечно, с пе­ ременным к. При дальнейшем распространении волн, по мере уве­ личения к, влияние граничных условий на их спектр становится все меньшим, и при к ~ 10а -ч- ІО3 этим влиянием можно уже пре­ небречь.

§ 8.4. Магноны

Во всех предыдущих главах и предыдущих параграфах этой главы высокочастотные процессы в магнитоупорядоченных ве­ ществах трактовались как колебания или волны намагниченности М (г, t) (в антиферро- и ферримагнетиках — как связанные коле­ бания или волны намагниченностей подрешеток JV^ (г, t)). При описании таких процессов мы исходили из уравнений движения намагниченностей М или М;- — уравнений Ландау — Лифшица, которые, по существу, постулировались. Принимались также во внимание уравнения макроскопической электродинамики, в силу которых изменения намагниченности связывались с изменениями электромагнитного (в магнитостатическом приближении — маг­ нитного) поля в веществе. Таким образом, рассмотренная выше теория высокочастотных процессов в ферро- и антиферромагне­

§ 8.4] М А Г Н О Н Ы 425

тиках основывалась на континуальной модели и была классиче­ ской. При этом она обязана была быть феноменологической, по­ скольку невозможно понять природу взаимодействий, вычислить величины констант, входящих в выражения для энергии и урав­ нения движения, и даже обосновать сколько-нибудь строго вид уравнений движения, оставаясь в рамках классической, макро­ скопической теории.

В следующем параграфе мы рассмотрим высокочастотные про­ цессы в магнитоупорядоченных веществах, исходя из микроскопи­ ческой модели и пользуясь, естественно, методами квантовой ме­ ханики. Но предварительно отметим, что, используя общий принцип корпускулярно-волнового дуализма — один из фунда­ ментальных принципов физики, можно перевести на корпускуляр­ ный язык («проквантовать») все полученные выше результаты. Принцип корпускулярно-волнового дуализма заключается в том, что любые колебания или волны можно рассматривать также как скопления или потоки частиц, энергия которых пропорциональна частоте колебаний, а импульс — волновому вектору. Электро­ магнитным волнам соответствуют в этом смысле частицы — фото­ ны, а таким «материальным» (обладающим, в отличие от фото­ нов, массой покоя) частицам, как электроны, протоны и пр.,— волновые функции, с которыми имеет дело квантовая механика.

Различного рода возбуждения в твердом теле — упругие, маг­ нитные и др., также можно рассматривать двояко: либо как ко­ лебательные процессы, происходящие в среде, либо как некото­ рые частицы. Например, в случае механических колебаний — теп­ ловых или когерентных, такими частицами будут фононы. И если среду, в которой происходят колебания, считать состоящей из дискретных частиц (а, строго говоря, мы должны поступать имен­ но так), то частицы или, как их обычно называют, квазичастицы — аналоги колебаний (например, фононы) будут принципиально от­ личаться от частиц (атомов, ионов), образующих среду. Наиболее существенными отличиями их от «настоящих» частиц являются несохранениѳ их числа и отсутствие локализации в пространстве.

Квантование спиновых волн. Из сказанного ясно, что можно проквантовать и исследованные выше на континуальной модели магнитные колебания и волны (спиновые волны в широком смыс­ ле слова), т. е. сопоставить этим волнам некоторые квазичастицы.

где к — волновой вектор магнитной волны. Такие квазичастицы носят название магнонов.

где соо — частота однородного ферромагнитного или антифѳрромагнитного резонанса. В другом крайнем случае больших к, когда в выражении (8.1.14) для частоты спиновых волн ферромагнетика можно пренебречь всеми членами кроме обменного,

Сравнивая рто выражениес соотношением между энергией и им­ пульсом свободной нерелятивистской частицы е = рг! (2mQ), мы видим, что в данном случае (при больших к) магнон в ферромагне­ тике является свободной частицей с эффективной массой

Оценка для иттрий-железного граната (ц = 0,1) показывает, что пг0 превышает приблизительно в 5 раз массу покоя электрона.

На корпускулярном языке высокочастотная магнитная энер­ гия ферроили антиферромагнетика запишется следующим об­ разом:

где it.j — числа магнонов, соответствующих различным типам пре­ цессии, а «ft — числа магнонов, соответствующих спиновым вол­ нам с достаточно большими волновыми векторами к. При этом пред­ полагается, что допустимые значения к дискретны.

Дискретность спектра собственных магнитных колебаний дол­ жна иметь место — вследствие влияния граничных условий — для любых образцов конечных размеров. Однако для коротковол­ новых спиновых волн, как отмечалось выше, конкретный вид гра­ ничных условий и форма граничных поверхностей несущественны (они влияют только на величину внутреннего постоянного по­ ля); эти типы колебаний во многих случаях можно считать пло­ скими волнами и характеризовать вектором к. И для того чтобы наиболее простым путем получить дискретность значений к, можно ввести, как это часто делается в физике твердого тела (см., например, [32]), периодические граничные условия Борна — Кармана. При этом следует считать, что М; (г) — периодические функции координат х, у и z с периодами, соответственно, llt I

§ 8.4] МЛГНОНЫ 427

и 13. Тогда допустимыми значениями проекций волнового вектора

где ѵх, Vj и v3 — целые числа. Пока используется континуальная модель, значения этих чисел не ограничены.

Запись энергии в виде (8.4.6) предполагает также, что взаи­ модействие между типами колебаний с разными к отсутствует, т. е. «газ магнонов» является идеальным. Пока мы находимся в рам­ ках линейного приближения (рассматриваем малые колебания), а диссипацию учитываем только феноменологически (не интере­ суясь теми процессами, которые к ней приводят), это предположе­ ние выполняется.

Связь между составляющими намагниченности и числами маг­ нонов. Рассмотрим теперь связь между величинами (г) и чис­ лами магнонов Пѵ и щ. Как известно, квантовая механика (нере­ лятивистская) частиц с нулевым спином имеет дело со скалярной волновой функцией ф (г). Величина |ф (г)|2 dV пропорциональна (при соответствующей нормировке волновой функции — равна) вероятности обнаружения частицы в объеме dV. При достаточно большом числе частиц величины | ф (ѵ) |2 пропорциональны числам частиц в соответствующих точках пространства. В нашем слу­ чае квантуются векторные поля Му- (г), и вопрос о связи чисел магнонов с составляющими векторов М;- (г) требует специального обсуждения.

Для того чтобы найти число магнонов, соответствующее коле­ банию или волне с заданной амплитудой переменной намагничен­ ности, достаточно приравнять классическую высокочастотную магнитную энергию, выраженную через эту амплитуду, величине

сначала частный случай однородной прецессии малого эллипсоида. Энергия его будет состоять из зеемановской энергии (2.1.1) и энергии размагничивающих полей (2.1.3), в последнюю формаль­ но с помощью эффективных размагничивающих факторов (см. § 2.1) может быть включена и энергия анизотропии. Будем инте­ ресоваться только колебательными членами энергии и учтем со­ отношение х)

M z« М 0- {mlx + т‘І у), (8.4.8)

х) Величины т „ х и т ^у — мгновенные значения, в отличие от комплек­ сных амплитуд тх и тѵ.

вытекающее в случае малых колебаний из условия сохранения дли­ ны вектора М. Тогда плотность энергии однородной прецессии эллипсоида запшпѳтся в виде

где со0 — частота однородной прецессии, можно определить число магнонов однородной прецессии (в единице объема) п0. Выраже­ ние для него получается особенно простым, если образец пред­ ставляет собой эллипсоид вращения относительно оси z, а ось ани­ зотропии (в случае кубического кристалла — ось <100^ или <111» совпадает с осью z. Тогда N x = N u = N± и, как легко убедиться.

В этом частном случае прецессия является круговой с амплиту­ дой т = У т'^х + т'^у и (8.4.9) может быть переписано в виде

Для спиновых волн применим т о т же путь определения чисел магнонов; необходимо лишь включить в выражение для энергии анергию неоднородного обменного взаимодействия и объемных раз­ магничивающих полей и не включать энергию поверхностных раз­ магничивающих полей. Как и в случае однородной прецессии, ре­ зультат оказывается простым, когда прецессия намагниченности является круговой, т. е. для волн, распространяющихся вдоль оси z. В этом случае, аналогично (8.4.9) и (8.4.9'),

Выражение (8.4.10) остается приближенно справедливым и для волн, распространяющихся в произвольном направлении, если выполняется условие

к круговой. Выражение (8.4.9) приближенно справедливо для про­ извольного эллипсоида при аналогичном условии

Н о >> 4яМ„.

то простые выражения (8.4.9) и (8.4.10) будут справедливы лишь по порядку величины.

Используя соотношение (8.4.8), можно переписать (8.4.9) и

где п — число магнонов однородной прецессии (п0) или спиновых волн (n h) в единице объема. Иными словами, каждый магнон одно­ родной прецессии или спиновых волн уменьшает z-составляю- щую намагниченности на величину у%= g\iB (где цв — магнетон Бора).

Для неоднородных длинноволновых (уокеровских) типов пре­ цессии, в отличие от однородной прецессии и бегущих коротко­ волновых спиновых волн, имеет смысл говорить лишь о числах маг­ нонов ttv во всем образце. Эти числа можно определить, приравни­ вая высокочастотную магнитную энергию образца при данном типе прецессии величине пѵЙсо.. При тех же условиях, что и выше (малые колебания; прецессия, близкая к круговой), получим

V

И если в образце существуют одновременно однородная пре­ цессия, различные уокеровские типы колебаний и спиновые волны с различными к, то полное изменение z-составляющей магнитного момента образца х)

Заметим теперь, что для всех неоднородных типов колебаний (как уокеровских типов прецессии, так и спиновых волн ) попе­ речные составляющие полного магнитного момента £9? образца обращаются в нуль. Следовательно,

Важное соотношение (8.4.14) может быть выведено более строго, чем это было сделано выше (см., например, [20]).