М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы
[ Г Л . 7
ченного стержня приведены на рис. 7.2.12. Обращает на себя внимание очень резкая зависимость %х (H Q), которая возникает при таких Н 0, когда в образце появляется область с ѵгр-»-0 (т. е.
сЯ |0-»- ш/т).
Взаключение остановимся кратко на вопросе озатухании магни тостатических волн вследствие диссипации в ферромагнитной сре де х). Учет диссипации не связан с принципиальными трудностя ми — необходимо лишь вместо выражений (1.2.34) и (1.2.35) для параметров среды принять комплексные выражения, например,
Рис. 7.2.12. Результаты исследования магнитостатических волн в продольно намагни ченном стержне из итгрий-железного граната [222]. а — размеры стержня (в милли метрах) и распределение внутреннего постоянного магнитного ноля на оси; б — осцилло граммы принятых задержанных импульсов (возбуждение и прием — см. рис. 7.2.И, б — производились на одном и том же торце стержня); в — зависимость времени задержки от внешнего постоянного поля; кривая рассчитана по формуле (7.2.51) с учетом (7.2.48)
при тех же параметрах, что и на рис. 7.2.10.
являющиеся следствием (1.3.19) и (1.3.20). В результате уравне ния, например, (7.2.6), (7.2.23) или (7.2.36), определяющие спект ры магнитостатических волн, станут комплексными. При вещест венной частоте со (т. е. для стационарных волн) эти уравнения бу
дут удовлетворяться при комплексных к^ = к'і — ik^. Здесь k^ (£ — координата в направлении распространения) представляет собой волновое число, определяющее, в частности, групповую
скорость угр — да/дк^, а к^ — коэффициент затухания волны.
г) Влияние диссипации будет рассмотрено более подробно в следующей главе для случая волн в неограниченной среде, но с учетом неоднородного обменного взаимодействия.
§ 7.3]
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я
351
§7.3. Неоднородные магнитостатические колебания
Перейдем теперь к изучению, по-прежнему в магнитостатиче ском безобмеином приближении, колебаний намагниченности в ограниченных телах. Один из типов таких колебаний — однород ная прецессия намагниченности малого эллипсоида — был рас смотрен в § 1.4. Однако из наличия бегущих магнитостатических волн в неограниченных системах (§§ 7.1 и 7.2) следует, что в огра ниченных телах должны существовать и неоднородные магнито статические колебания. Такие колебания возникали еще, как впоследствии стало ясно, в ранних опытах по ферромагнитному резонансу и проявлялись в дополнительных максимумах, на кладывающихся на основную резонансную кривую (см. [114]). Уайт и Солт [199], применив неоднородное возбуждающее поле, отчетливо разрешили эти дополнительные максимумы и объясни ли их возбуждением неоднородных типов колебаний намагничен ности. Теорию таких колебаний для случая ферромагнитного эл липсоида вращения (сфероида) разработал Уокер [200] (см. также [201, 240]). Ниже мы познакомимся с этой теорией, но сначала рассмотрим на более простых примерах некоторые характерные черты неоднородных магнитостатических колебаний.
Рассматриваемая задача аналогична исследованной в § 6.3 за даче о колебаниях резонатора с гиротропной средой. В отличие от § 6.3, мы теперь ограничимся магнитостатическим приближением, но зато учтем конкретный вид компонент тензора магнитной прони цаемости. Для простоты будем сначала иметь дело с изотропным (в отсутствие внешнего поля) ферромагнетиком и пренебрежем
диссипацией, т. е. примем для компонент тензора полдеровские выражения (1.2.34) и (1.2.35).
Как уже отмечалось (§§ 6.1 и 7.2), для гиротропных сред класс граничных задач, которые решаются аналитически, существенно ограничивается тем обстоятельством, что зависимость потенциалов и полей от одной из поперечных координат должна быть экспонен циальной. Вследствие этого ограничения задачи о магнитостати ческих колебаниях могут быть строго решены только для тел вра щения относительно оси z (совпадающей с направлением постоян ного намагничения). К таким телам принадлежит сфероид, для которого задача о магнитостатических колебаниях была решена Уокером. Мы остановимся сначала на случае кругового цилиндра.
Цилиндр между металлическими плоскостями. Задача о магни тостатических колебаниях кругового цилиндра конечной длины, намагниченного в направлении его оси, может быть просто реше на при двух условиях. Во-первых, цилиндр, как показано на рис. 7.3.1, должен быть расположен между двумя бесконечными металлическими плоскостями (z = 0 и z = I). Во-вторых, внут реннее постоянное магнитное поле в цилиндре должно быть одно-
352
М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы
[ Г Л . 7
родію :). При выполнении этих условий исследуемый резонатор является волноводным резонатором (см. § 6.3), образованным из волновода — продольно намагниченного стержня, магнитостати ческие волны в котором были рассмотрены в § 7.2. Как было пока зано в § 6.3, собственные частоты волноводного резонатора могут быть определены, исходя из частотной зависимости постоянной рас пространения, по формулам (6.3.36) или (6.3.39) при условии, что распределение поля в волноводе взаимно. Это условие выполняет ся для объемных магнитостатических волч в стержпе и, конечно, не выполняется для поверхностных, которые являются однона
правленными. Для объемных волн постоянная распространения также взаимна, и собственные частоты могут быть определены из выражения (6.3.36).
Зависимость kz ((o) для продольно намагниченного стержня определя ется уравнением (7.2.36), где Х тп (со) для стержня с металлическим покры тием представляет собой корень урав нения (7.2.34'), а для стержня без покрытия — корень уравнения, кото рое получится из (7.2.44), если обоз-
Рис.
7.3.1. Продольно намагничен
начить в нем kzR j Y —Ц = Х тп. Под.
ный
цилиндр между металлически
ми плоскостями.
ставляя, согласно (6.3.36), кг (со)—лр/1
в
(7.2.36), получим
трансцендентное
уравнение для определения собственных частот:
со- «я +
і\Х
(7.3.1)
1 +
1Ір
(m)j
Решениями уравнения
(7.3.1) будут дискретные частоты comnp;
индексы т, п и р характеризуют тип колебаний. Как видно из (7.3.1), частоты com Jip зависят только от отношения размеров R и І, т. е. от формы образца. Этого, конечно, и следовало ожидать, поскольку уравнения магнитостатики не содержат параметра с размерностью длины.
Если т = 0 (аксиально-симметричные типы колебаний), то,
как было показано в §
7.2, величины Х0„ не зависят от со и пред
ставляют собой корни
функции Бесселя / х (£). В этом случае
(как и при
р — 0) уравнение (7.3.1) дает в явном виде частоты
колебаний.
Они могут
быть записаны явно также в предельном
а)Это условие, конечно, не выполняется при помещении цилиндра в однородное внешнее поле.
§ 7.3] Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я 353
случае
Лр
~Т~
когда справедливо приближенное выражение (7.2.38).
сkz = \kz\
Суперпозиция двух «волноводных» решений (7.2.33)
и kz = — \kz I даст потенциал
для
рассматриваемого резонато
ра. С учетом граничных условий
-
0 при
z = О
и z = I
он запишется в виде
1]) =
CJm (хр) cos kzz е_ітч>.
(7.3.2)
Здесь kz = яp/l, х = kz/]/r— ц, а С — постоянный множитель, кото рый остается неопределенным, поскольку мы рассматриваем сво бодные колебания и не нормируем собственные функции. Конеч но, к выражениям (7.3.2) и (7.3.1) можно было бы прийти без вся ких ссылок на задачу о волноводе — путем решения уравнения Уокера (7.2.31) и учета граничных условий на боковой поверхно сти и на торцевых металлических плоскостях.
Из выражения (7.3.2) можно непосредственно получить состав ляющие магнитного поля собственных колебаний в цилиндриче ской системе координат:
г, _ Зф
» _
1
Эф
h _ Ü
(7.3.3)
пр -
’ Лф -
Т
W
dz
Для магнитостатических колебаний и волн наибольший инте-
рес представляет переменная намагниченность m = %h. Для вы числения составляющих m можно записать составляющие поля в декартовой системе координат и затем, используя «обычный»
тензор %(1.2.19), получить пгх и тпу (mz = 0). Но проще восполь
зоваться записью тензора %в цилиндрической системе и получить выражения для тп9и /тгф непосредственно из hPи hv. В нашем слу чае, когда ось цилиндрической системы совпадает с направлением
постоянного намагничения, тензор % имеет в цилиндрической си стеме такой же вид, как и в декартовой. Для составляющих намаг ниченности получаются тогда следующие выражения:
ТПр = С [ x x / i n (Х р ) - ^rXa —
J m ( Я р ) ] COS
k zZ Ѳ~
т<р= — І С \ X a K J m (Я р ) +
( x p )
COS kzZ вriwup“ *
(7.3.4)
Простейшими типами колебаний являются такие, для которых Р = 0 или т = 0, а остальные индексы равны 1. Нетрудно убе-12
12 А. Г. Гуревич
354 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы [ Г Л . 7
диться, что при р — О и т — 1 возможен только один тип колеба ний (п = 1), для него тх и ти не зависят от координат и т у = = — ітх. Этот тип колебаний представляет собой однородную прецессию намагничеииости.
Рассмотренная задача не только представляет интерес как про стой пример магнитостатических колебаний, но и имеет опреде ленное практическое значение — магнитостатический цилиндриче ский резонатор было предложено [505] использовать для измере ния параметров ферритов.
Сфера. Как уже неоднократно отмечалось, для исследований резонанса в неметаллических ферро- и ферри- (а в последнее время и антиферро-) магнетиках наиболее широко используются сферичес
кие образцы. Сферы
из монокристаллов
ферритов
применяют
ся и в ферритовых устройствах диапа
зона СВЧ (см., например, [486, 489]).
Естественно,
что изучению магнитоста
тических колебаний в сферах было
уделено наибольшее
внимание. Сфера
является
частным случаем эллипсоида
вращения,
магнитостатические колеба
ния которого
были
теоретически ис
следованы
Уокером
[200].
Однако мы
рассмотрим случай сферы непосредствен
но, следуя в основном работе Флетчера и
Бэлла [204].
ферромагнитную непро
Рассмотрим
водящую сферу
(рис. 7.3.2), намагни
Рис. 7..3.2. Намагниченная
ченную до насыщения внешним однород
сфера.
ным іполем.
Пренебрегая
диссипацией
и анизотропией, примем для компонент тензора магнитной проницаемости вещества сферы выражения (1.2.34) и [1.2.35). Ограничимся случаем сферы в свободном про странстве (без металлического покрытия), который представляет наибольший практический интерес.
Если удовлетворяются условия (7.1.1) и (7.1.15) справедливо сти магнитостатического безобменного приближения, то задача сводится к нахождению магнитостатического потенциала ф, удов летворяющего уравнению Уокера (7.1.7) внутри сферы, уравне нию Лапласа (7.2.8) — вне ее и граничным условиям на поверх ности сферы. Граничные условия заключаются, как обычно, в непрерывности касательных составляющих магнитного поля и нормальных составляющих магнитной индукции. Из первого усло вия, также как и в рассмотренных ранее задачах, следует
ф = ф0
при Г — Я,
(7.3.5)
а из второго—
Г I \
при
г - R.
(7.3.6)
§ 7.3]
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я
355
Здесь г0 — единичный вектор, направленный по радиусу, а индек сы 0 соответствуют внешней области (r^>R)', величины, относя щиеся к внутренней области (г < R), мы пишем без индексов.
Необходимость наложения граничных условий требует, чтобы поверхность сферы (г = R) была координатной поверхностью в той системе координат, в которой мы собираемся решать задачу. Ясно, что этому условию удовлетворяет сферическая система координат г, 0, <р. Решения уравнения Лапласа (для внешней об ласти) в сферической системе координат, конечные при г-»-оо, имеют следующий вид [38]:
..., т = 0, ± 1 , ± 2 , . . ., ± п , С — постоянная величина.
К сожалению, уравнение (7.1.7) не может быть решено в сфе рической системе координат. Но оно переходит в уравнение Лапла са при замене
г-**'/У ІГ .
(7.3.8)
Поэтому наша задача была бы решена, если бы мы нашли коорди наты, удовлетворяющие следующим условиям:
а) при замене (7.3.8) они должны переходить в какие-либо ко
ординаты, для которых решение
уравнения Лапласа
известно1,
б) поверхность г — R должна быть для них (как и для сфери
ческой системы) координатной поверхностью.
связанные
Этим условиям удовлетворяют
координаты £, т|, ф,
с X, у, z соотношениями
X =
У іГ = Т R
sin Г] COS ф,
у =
У ц — 1 R У і2 — 1 sin г] sin ф,
(7.3.9)
Z =
] / " ( ( ! — 1 ) / р
COS Г).
Действительно, при замене (7.3.8) они переходят в сфероидальные координаты, для которых решение уравнения Лапласа известно [38].
С другой стороны, как легко убедиться, при г = Уж2 + у2+ z2 = R
(5)^в = Ь і = ] / Г1г^ т
И
(Т|)^* = Ѳ,
(7.3.10)
т. е. поверхность сферы является
поверхностью £ =
const.
Итак, решение уравнения (7.1.7)
в координатах £, т], ф
будет
иметь такой же вид, как решение
уравнения Лапласа в
сферо
идальных координатах. Учитывая условие
конечности при г = 0
и опуская нормировочную константу, можно записать
Ф = Р1п' Ц) P'n' (cos Tj) er*™*.
(7.3.11)
12*
356 М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы [ Г Л . 7
Здесь, как и в (7.3.7), Pj"11 — присоединенные полиномы Лежанд ра, п = 1, 2, 3, . . ., т = 0, ± 1, ± 2, . . ., ±ге.
Наложим теперь на решения (7.3.11) и (7.3.7) граничные ус ловия. Из условия (7.3.5) с учетом (7.3.10) следует, что значения ?і и т в (7.3.7) и (7.3.11) одинаковы, а постоянная
С = Д"+ірН ( I R ) .
(7.3.12)
Выражение в левой части условия (7.3.6) можно вычислить
следующим
образом:
г0 (и-Ѵ'Ф) =
sin Ѳcos cp [\i -Ц - +
ijie
j +
-j- sin Ѳsin cp I
i.Uc-Jr +
M' -ff-) + cose-Jir-
Производные я)) по x, у и z определяются из выражения
Эф _
Эф
Э£
.
Эф
Эг|
Эф
Эср
дх
ЭЕ,
дх
'
Эр
дх
Эф
дх
и аналогичных выражений для
у
и z,
а производные
т) и ср
по X, у и z легко вычислить, дифференцируя, например, соотно шения
у2
6я— Г +
^ -
= 0 * - 1 ) Я*.
x2-\-yz
I
|lz2
=
( ( і - 1 ) R \
fceq»,
siu2 Т|
'
cos2 Т]
непосредственно следующие из (7.3.9). Правая часть условия (7.3.6) определяется прямым дифференцированием (7.3.7). Учиты вая затем (7.3.10) и принимая во внимание (7.1.12), мы, после некоторых преобразований, придем к «неожиданно» простому уравнению х)
ÉRрѴ пІ(0 -- ± Ѵ-аIт\:+ д + 1 = 0,
(7.3.13)
где
определяется согласно (7.3.10), а штрих обозначает, как
обычно, дифференцирование по аргументу. Знаки плюс и минус перед вторым членом (7.3.13) соответствуют положительному и от рицательному знаку т, т. е. разным (соответственно, правому и левому) направлениям изменения фазы ф (а следовательно и поля, и намагниченности) при изменении азимутального угла. При этом предполагается, что ось z всегда совпадает с направлением посто янного намагничения и, таким образом, для |х„ всегда принимает ся выражение (1.2.35).*)
*) Простота его связана, конечно, с высокой степенью симметрии сферы
§ 7.3]
Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Е
М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е
К О Л Е Б А Н И Я
357
Выражение (7.3.13) с
учетом зависимостей
(1.2.34) и
(1.2.35)
|х и ц0 от частоты представляет собой уравнение для определения собственных частот магнитостатических колебаний сферы. При нимая во внимание известную формулу [42]
К Г(1) = ( 1 - ^ ( ^ ) > Л 1 ) ,
где Р п (£) — полиномы Лежандра, уравнение (7.3.13) можно пре образовать к виду
Gif' (£д) +
(Ц ± |ів) I т I + п + 1 = 0,
(7.3.130
где
Г\М
_ и т ^ щ+1Рп ц)
(7.3.14)
"
( W N P n R )
Анализ уравнения (7.3.13) в общем случае произвольных т и п довольно сложен, но некоторые общие заключения могут быть легко сделаны. Прежде всего следует отметить, что в это уравне ние радиус сферы R не входит, т. е. собственные частоты магнито статических колебаний, как и следовало ожидать, от размера об разца не зависят. Они зависят от параметров соя и сом, входящих в выражения для р, и ра (т. е. от постоянного поля Н 0 и постоян
ной намагниченности М 0) и от
трех индексов,
характеризующих
тип колебаний: п = 1, 2, 3, .
. .; т = 0, ± 1 ,
± 2, . . ., + п и
третьего индекса г, определяющего номер корня уравнения
(7.3.13) при данных п и т.
Следуя Уокеру [200], введем число г — 0, 1, 2, . . ., р таким
образом, чтобы порядковый номер корня был г +
1 при т ) > 0 и
г при т
^
0 (значению г =
0 при
т
0 не
соответствует
корня).
Тогда
число корней
будет
равно р +
1 при т )> 0 и
р при т
0. Анализ уравнения (7.3.13) (на котором мы здесь не
останавливаемся) показывает, что
при такой нумерации корней
Р= 2 {п
I то I) ,
(7.3.15)
где квадратные скобки обозначают целую часть числа, стоящего в них.
Зная потенциалы (7.3.7) и (7.3.11), можно вычислит* состав ляющие поля собственных колебаний внутри (h = ѵф) и вне (h„ = Ѵф0) сферы и составляющие «собственной» намагниченно-
сти m = %h. В выражения для этих составляющих войдут явно только индексы п и т. Однако на самом деле поле и намагничен ность будут зависеть и от третьего индекса г, от которого зависит собственная частота, а следовательно и параметры вещества ц и Ца, входящие в выражения для поля и намагниченности.
358
М А Г Н И Т О С Т А Т И Ч Е С К И Е К О Л Е Б А Н И Я И В О Л Н Ы
[ Г Л . 7
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. Пусть сначала
п — I т |. Тогда, как легко убедиться, (?|mj = 0 и (7.3.13') сво дится к уравнению
^ +
(7.3.16)
Принимая во внимание (1.2.43), мы видим, что уравнение (7.3.16) удовлетворяется только при положительном т (знак плюс в его левой части) и имеет при этом (в согласии с (7.3.15!)) один корень
,
2
тт
1
С0М -
(7.3.17)
=
®m, іи, о = С° Н " Г
_|_
сферы сон
у Н і 0
— уН 0 — сом/3 и
Для •
ТТ
1
--- 1
о — Щ о 1
(7.3.17')
®7п, иг,
т
з
2 т
і ®м '
Потенциал [7.3.11) в случае п =
т запишется следующим об
разом:
ф =
(х — іу)т
р"Ѵітф,
(7.3.18)
где р = ] / X12 +
г/2. Вычисляя, как указывалось выше, составляю
щие намагниченности, получим с точностью до постоянного мно жителя
тх = іггіу — (х — іу)т_1 = рт_1 е_і(тп_1)ф.
(7.3.19)
Как видно из (7.3.19), переменная намагниченность в этом случае имеет круговую поляризацию с правым вращением, амплитуда ее растет как рт_1 при удалении от оси, а фаза изменяется по закону волны, бегущей по азимуту с угловой скоростью а>/(т — 1) х).
Для колебания типа (1, 1, 0) намагниченность, как видно из (7.3.19), не зависит от координат, а частота, согласно (7.3.17') составляет
Мі.ііО = уН0.
Этот тип колебаний представляет собой однородную прецессию на магниченности, которая подробно рассматривалась в § 1.4 и по
следующих главах.
\т ] + 1
уравнение
[7.3.13')
В другом частном случае п =
дает
И +
(7-3.20)
1) Чтобы убедиться в этом, достаточно
записать
мгповеииое
зиачепиѳ
любой составляющей намагниченности и определить угловую скорость волны как ЭфIßt при постоянстве фазы.
И . з і Й Й О Д Й О И О Д Й Ь ІЙ М А Т Н Й Т О С Т А Т И Н Е С Й И Й й о л е в а й й я 359
И в этом случае т может быть только положительным (знак плюс в левой части (7.3.20)). Уравнение П.3.20) имеет один корень
ÜW, т, о = “я + 2 т + .3
=
ГЯ° + ТГ "2/л + 3~ ®М'
(7-^-21)
Интересно отметить, что
типы
колебаний (т, т, 0) и
(З/я + 1,
3-т, 0), как видно из (7.3.17) и (7.3.21), являются вырожденными, В частности, однородная прецессия вырождена с типом (4,3,0).
В случае п — т + 1 потенциал внутри сферы
ф = z (х — гу)т,
(7.3.22)
а составляющие намагниченности (с точностью до постоянного
множителя) имеют вид
тх = іту = z (х — іу)т~г = zpm_1 е-і(т-і)ф.
(7.3.23)
В этом случае, так же как и для колебаний (т, т, 0), намагничен ность имеет круговую поляризацию, носит характер волны, бегу щей по азимуту, и растет как рт_1 при удалении от оси. Но, в от личие от колебаний (т, т, 0), амплитуда намагниченности теперь линейно зависит от z. При т = 1, т. е. для колебаний (2, 1, 0) зависимость от р и ср отсутствует, амплитуда переменной намаг ниченности зависит только от z, а фаза как и для однородной про цессии, постоянна во всем образце *).
Из формул (7.3.17) и (7.3.21) следует, что разности со — соя для колебаний (т, т, 0) и (т + 1, т, 0) пропорциональны М 0 и не зависят от Н 0. Распределения потенциала, поля и намагничен ности этих типов колебаний не зависят ни от <вя , ни от сом- Ука занные особенности, так же как и круговая поляризация поля и намагниченности, характерны для серий (т, т, 0) и (т + 1, т, 0) и не имеют места для других типов колебаний. Проиллюстрируем это на примере колебаний с т = 0, для которых частоты и рас пределения намагниченности также могут быть, сравнительно, легко рассчитаны.
При т — 0 (7.3.13') сводится к уравнению
|я
~ ^ М
~ = ~ { п + і) -
(7-з -24)
Если п — 1, то [42]
(£) =
£ и (7.3.24) решения не имеет. Если1
1) Точнее, фазы постоянны в верхней и нижней полусферах, но отличают ся па я из-за изменения знака амплитуды при z = 0.
