книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

§ 5.1] У РАВН ЕНИ Я 231

pa, а еа практически равно нулю. Примером среды с большой га (и ца = 0) является плазма в магнитном поле [446]. Малыми, но все же заметными величинами р 0 обладают намагниченные пара­ магнетики и антиферромагнетики, а небольшими величинами еа — ряд кристаллов и жидкостей (в которых наблюдается, в ча­ стности, эффект Фарадея) [43].

Таким образом, при изучении явлений в гиротропных средах

можно обычно одну из величин, р или е, считать скалярной. Од­ нако мы будем в этой главе рассматривать так называемую бигиротропную среду, одновременно обладающую параметрами (5.1.33) и (5.1.34). Это даст определенные методические преиму­ щества (симметрия получаемых уравнений, использование при их выводе принципа перестановочной двойственности).

Ограничение же средами, изотропными в отсутствие внешнего магнитного поля, т. е. имеющими параметры (5.1.33) и (5.1.34), позволит изучить электродинамические эффекты в системах с гиротропными средами в наиболее простой форме.

После этих предварительных замечаний рассмотрим некоторые пути решения уравнений электродинамики для среды с параметра­ ми (5.1.33) и (5.1.34). Первым этапом решения должно быть полу­ чение уравнений для векторов е и h в отдельности. Один вари­

(тензор е-1 выражается аналогичным образом).

Уравнения (5.1.24) и (5.1.25) неудобны тем, что при проекти­ ровании их на оси любой, в том числе и декартовой, системы ко­ ординат получаются уравнения, в каждое из которых входят все три составляющие е или h. Уравнения для отдельных декарто­ вых составляющих е и h проще всего получить, исключая осталь­ ные составляющие из проекций уравнений Максвелла (5.1.18) — (5.1.21). Ограничимся случаем, когда jCT= 0. Тогда, исключая

поперечные составляющие, получим для продольных уравнения1)

a Vj_ — оператор Гамильтона («набла») в поперечной плоскости:

Отсюда следует хорошо известный факт существования в такой среде поперечно-электрических ТЕ (с ez — 0) н поперечно-маг­ нитных ТМ (с hz= 0) электромагнитных полей (см., например, [29]). Для гиротропных сред, как видно из (5.1.37), поля ТЕ и ТМ мо­ гут существовать только, если они не зависят от z.

Исключая из уравнений (5.1.37) одну из величины, ег или hz, и используя принцип перестановочной двойственности, мы убеж­

Можно показать (см. [439,6]), что уравнениям (5.1.39) удовлет­ воряют и поперечные составляющие векторов е и h, а следователь­ но, и сами эти векторы:

Подчеркнем, что, в отличие от уравнений второго порядка (5.1.24) и (5.1.25), при проектировании уравнений четвертого порядка (5.1.41) на оси декартовой системы координат получаются неза­ висимые (и одинаковые) уравнения для каждой составляющей е и h. Если мы найдем решения этих уравнений для какой-нибудь

!) Достаточно получить исключением поперечных составляющих одно из уравнений (5.1.37), второе можно написать сразу, пользуясь принципом перестановочной двойственности (5.1.28).

составляющей (что, конечно, не просто и может быть выполнено строго лишь в немногих частных случаях), то остальные составля­ ющие можно будет получить с помощью уравнений Максвелла. Однако при этом снова придется решать дифференциальные урав­ нения. Поэтому целесообразно попытаться ввести некоторые ска­ лярные функции (потенциалы), для которых были бы справедли­ вы уравнения, аналогичные (5.1.39), и через которые все состав­ ляющие поля выражались бы простыми дифференцированиями.

Такой путь широко применяется в электродинамике сред со скалярными ц и е [29, 33], где потенциальные функции, удовлет­ воряющие дифференциальным уравнениям второго порядка, вво­ дятся отдельно для полей ТЕ и ТМ. Для гиротропных сред, как мы видели, полей ТЕ и ТМ в общем случае не существует. Однако для сред с параметрами (5.1.33) и (5.1.34) может быть введена скалярная функция ф *), которая удовлетворяет, как и декартовы составляющие поля, уравнению четвертого порядка

и через которую все составляющие поля выражаются при помощи операций дифференцирования.

Очень хотелось бы представить дифференциальный оператор X в виде произведения двух операторов второго порядка, сведя тем самым уравнения четвертого порядка для функции ф или со­ ставляющих поля к дифференциальным уравнениям второго по­ рядка. К сожалению, при произвольной зависимости полей от z это возможно только при ца = Еа = 0, т. е. если среда не обладает гиротропией.

Частный случай гармонической зависимости от ж. Рассмотрим теперь частный случай, когда составляющие поля, а следователь­ но, и скалярная функция ф зависят от z — координаты в направ­ лении постоянного магнитного поля по гармоническому закону. Тогда

их линейные комбинации). Этот случай включает в себя и любые

и (5.1.34), к0 и кг. Оператор (5.1.44), в отличие от общего случая произвольной зависимости от z, может бытъ представлен в виде

. *) Для магнитно-гиротропной среды — со скалярной е — это было по­ казано Эпштейном [449]. Случай бигиротропиой среды рассмотрен в [6].

Из (5.1.42) и (5.1.44') следует, что поперечная функция фх и пол­ ная функция ф удовлетворяют теперь уравнениям Гельмгольца

характеризующими распределение поля в поперечных плоско­ стях, более сложным образом.

При гармонической зависимости от z векторы поля выражают­

Компоненты тензоров U и У [6] являются функциями компонент

тензоров р и е, величин к0 и к, и корней х1і2 уравнения (5.1.45). Существенно, что соотношения (5.1.48) справедливы не только в декартовых координатах, но и в любых ортогональных криволи­ нейных координатах, для которых выполняются следующие ус­ ловия:

1)зависимость от z является гармонической (или отсутствует),

2)направление постоянного намагничения совпадает с нап­ равлением координатных линий z.

На полученных соотношениях основывается довольно общий метод решения граничных электродинамических задач для ги­

ротропных среде параметрами (5.1.33), (5.1.34). Он заключается в следующем. В системе координат, выбранной исходя из гранич­ ных условий задачи (и, конечно, удовлетворяющѳйприведѳнным

висимость от координаты z является в данном случае гармониче­ ской, и справедливо уравнение (5.1.45). Подставляя в (5.1.45)

fc2 sin20 ( ^ i + ^ ) + 2cos20 (1 + - ^ - ) ] + eaRx = 0, (5.2.3)

где k0 =co/c, а p,j_(и аналогично ejJ определяется согласно (5.1.36). Уравнение (5.2.3) можно получить и не прибегая к общей теории, рассмотренной в § 5.1, а исходя непосредственно [6] из уравнений Максвелла (5.1.18) и (5.1.26). Для однородной пло­

ской волны, когда

(е0 и h0 — постоянные векторы), эти уравнения запишутся в виде

k X е„ + &0|аЬ0 = О,

(5.2.5)

к X Ь„ — /с0ее0 = 0.

Двум корням квадратного (относительно к2) уравнения (5.2.3) соответствуют две волны с различными волновыми числами х). Используя уравнения (5.2.5), можно определить поляризацию каждой из этих волн, т. е. найти направления векторов е0 и h0 и соотношения между их амплитудами и фазами. Это будет про­ делано ниже для некоторых частных случаев.

Для среды со скалярной е (поликристаллический ферро-, ферриили антиферромагнетик) решение уравнения (5.2.3) запишется следующим образом 2):

*) Это обстоятельство не является специфическим для гиротропной среды

аимеет место для любых сред с тензорными е или р.

2)Формула (5.2.6) была получена Поддером [113] для случая рц = 1,

т. е. среды, намагниченной до насыщения.

Верхние знаки в (5.2.11), (5.2.12) и (5.2.13) соответствуют одной волне, а нижние — другой. Из (5.2.12) следует, что обе волны являются поперечными (ТЕМ) и имеют круговую поляризацию. Верхним знакам в (5.2.11), (5.2.12) и (5.2.13) соответствует волна с правым вращением, а нижним — с левым вращением векторов поля*). Этим волнам мы будем в дальнейшем приписывать индексы, соответственно п и л . Величину £ можно назвать волновым сопро­ тивлением продольно намагниченной среды для волн с правым и левым вращением.

Рассматривая случай Ѳ = я, мы получим те же выражения (5.2.11) и (5.2.12), а в (5.2.13) — обратные знаки перед радикалом. Заметим, что изменение знака волнового сопротивления при из­ менении направления распространения имеет место и для сред со скалярными параметрами. Из (5.2.11) и (5.2.12) следует, что при Ѳ = 0 или Ѳ = я могут быть введены эффективные скалярные параметры среды

®эфф п, л — 6 Ч і &аі Цэфф п, л — Ц i t М'а-

Это находится в соответствии с тем обстоятельством (см. §1.2), что = р dt Ца является магнитной восприимчивостью для попе­ речного поля с круговой поляризацией и правым или левым вра­

щением.

При исследовании поперечных волн, в частности, в продольно намагниченной гиротропной среде очень удобно использовать ме­ тод двух комплексных плоскостей. Сущность его заключается в том, что вместо векторов поля, лежащих в плоскости ху, вводятся комплексные числа. Их вещественные части являются проекция­ ми соответствующих векторов на ось х, а мнимые — на ось у. Чтобы отличить эту пространственную комплексную плоскость от временной, введенной в связи с использованием комплексных амплитуд, мы будем мнимую единицу в пространственной плос­ кости обозначать через /.

Тогда комплексная амплитуда поперечного поля, например, электрического, линейного поляризованного в направлении, со­ ставляющем угол а с осью X, запишется в форме

еЛин = еі (cos а + j sin а) = Ч

Ч См. примечание 1 на стр. 31.