книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

качественные соображения. Оказалось, что гамильтониан сверх­ обменного ваимодействия, аналогично гамильтониану прямого об­ мена (1.1.48), может быть записан в виде

/'

-п

взаимодействующих катионов, а //;- І!0Св — некоторый эффективный «интеграл косвенного обмена», существен­ но зависящий от свойств аниона и взаимного расположения (уг­ лов и расстояний) трех ионов.

Косвенный обмен через анионы может иметь место и в соеди­ нениях переходных металлов других групп, и в соединениях редко­ земельных (4/-) элементов. Косвенное обменное взаимодействие может осуществляться и коллективизированными электронами проводимости. Этот механизм (s-d или s-Z-обмен) играет большую роль в металлах [5]. Он может иметь место и в сильно легирован­ ных полупроводниках, как антиферромагпитных, так и ферромаг­ нитных (см., например, 1377]).

Проблема квантового основного состояния. Обменное взаимо­ действие, если оно является, независимо от его природы, отри­ цательным (интегралы обмена Іц- косв <С 0 )> стимулирует анти­ параллельную ориентацию соседних магнитных моментов. Но отсюда нельзя делать вывода о том, что полностью упорядочен­ ная антипараллельная структура, такая, например, как на рис. 4.1.1, 4.1.2 и 4.1.3, является основным состоянием данной сис­ темы. Более того, такая структура вообще не является собствен­ ным состоянием системы с гамильтонианом вида (4.1.1). Не при­ водя здесь строгих соображений по этому поводу (см. [5, 27]), заметим лишь, что обменный гамильтониан должен быть инва­ риантен относительно перестановок соседних спинов. Этому ус­ ловию удовлетворяет ферромагнитная структура, но, конечно, не удовлетворяет идеально упорядоченная антиферромагнитная.

Проблеме основного состояния антиферромагнетика было по­ священо большое число работ (см. [2]). И хотя эта проблема до сих пор не решена, ряд важных результатов удалось получить. В частности, Андерсон [72] оценил пределы, в которых должна

-U0 ^ - ± N Z \ I \ S *

—энергия полностью упорядоченного антиферромагнитного со­

стояния (которое, как уже отмечалось, не может являться основ­ ным состоянием) в приближении ближайших соседей, S — ве­ личина спина (в единицах Щ, I — обменный интеграл, N — число магнитных ионов, Z — число ближайших соседей. Пределы, оп­ ределяемые неравенствами (4.1.2), довольно узки, особенно для больших S. Например, для MnF2 (Z — 8 , S = 5/2) интервал составляет всего 5% от U0. Таким образом, энергия неизвестного и, видимо, достаточно сложного основного состояния мало от­ личается от энергии (—U0) полностью упорядоченной антипа­ раллельной структуры.

Однако энергия наинизшего состояния, не обладающего даль­ ним магнитным порядком, также весьма близка к (—U0) [2]. Отсюда ясно, что задача отыскания основного состояния является сложной; по-видимому, ее нельзя решить без учета обменного взаимодействия с дальними соседями, и, возможно, без учета анизотропии. С другой стороны, многочисленные эксперименталь­ ные результаты, полученные с помощью дифракции нейтронов, убеждают нас в том, что основное состояние с дальним порядком существует. Оно представляет собой, по-видимому, некоторую неизвестную пока комбинацию различных упорядоченных конфи­ гураций. Но с точки зрения ее энергии и даже пространственного распределения (о чем говорят нейтронные эксперименты) это основное состояние может быть в хорошем приближении замене­ но простой аптиферромагпитной структурой типа показанных на рис. 4.1.1, 4.1.2 и 4.1.3.

Следует отметить, что мы рассматривали до сих пор основное состояние при О °К. При конечных температурах конфигурация, соответствующая основному состоянию при Oj°K, будет, конечно, нарушаться тепловым движением. Эти нарушения, в особенности при низких температурах, можно описывать, как и в ферромаг­ нетиках, с помощью элементарных возбуждений — спиновых волн (см. главуі 8). Свойства антиферромагнетиков при болез высоких’’ температурах,5 включая области вблизи и”выше темпе­ ратуры Нееля, могут быть, во всяком случае качественно, описаны в приближении молекулярного поля. Сущность этого приближе­ ния (см. § 1 .1) заключается в'том, что обменное взаимодействие спина с его соседями заменяется взаимодействием его с некото­ рыми эффективными полями, пропорциональными средним зна­ чениям спинов. Такое приближение, как отмечалось' в § 1.1, ис­ пользуется иногда и”при микроскопическом подходе кт теории ферро- и антиферромагнетиков. Однако наиболее естественно оно входит в макроскопическую, континуальную теорию, в которой переменными величинами являются не элементарные магнитные моменты, а макроскопические намагниченности. Такая теория для случая антиферромагнетиков была развита Неелем [92]. Ван-Флеком [71]* и ’другими (см. [2]).

§ 4.1] А Н Т И Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И З М . У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я 153

разных подрешеток, а R;- — диссипативные члены. Они, по-ви­ димому, могут быть записаны в одной из форм, обсуждавтшхся в § 1.3. Как и в случае ферромагнетика, предпочтение той или иной форме записи этих членов можно отдать, только исходя из характера процессов диссипации.

Составляющие энергии и эффективные поля. Остановимся кратко на основных видах энергии (или при Т 0 — свободной энергии) антиферромагнетиков. К ним относятся: энергия обмен­ ного взаимодействия Ue, энергия магнитной кристаллографической анизотропии U а, зеемановская энергия U H и энергия размагни­ чивающих полей U M - Кроме того, в выражение для полной энер­ гии могут войти члены, характеризующие взаимодействия рас­ сматриваемой электронной магнитной системы антиферромаг­ нетика с другими системами, например, ядерной магнитной системой и упругими колебаниями решетки. Но мы их пока не бу­ дем учитывать и полную плотность энергии запишем в виде

Обменная энергия антиферромагнетика, как и в случае ферро­ магнетика, является суммой однородной и неоднородной частей. Однородную часть для системы с несколькими подрешетками обычно записывают в виде

П П

ствие между спинами /-й и f ' -й подрешеток. Эти константы явля­ ются скалярными (как и в выражении (2.1.4) для ферромагнетика), т. е. обменное взаимодействие предполагается изотропным. В дей­

то обменное взаимодействие является отрицательным, антиферромагнитным. В системе с несколькими подрешетками величины Ajj> могут иметь разные знаки, но ясно, что в антиферромагнетике по крайней мере одна из этих величин должна быть отрицательной. Заметим, что в выражение (4.1.7) должны были войтщтакже изо­

линейными членами, так как в большинстве случаев их достаточно для описания основых свойств антиферромагнетиков. Тогда

эффективные поля однородного обменного взаимодействия (с улетом того, что Ajj- = Aj'j) будут иметь вид

Эти поля называют обычно молекулярными полями, а обменные константы Ajj- — константами молекулярного поля. В отличие от ферромагнетика, в системах с несколькими подрешетками толь­ ко один член молекулярного поля AjjMj не войдет в уравпениѳ движения для /-й подрешетки, а все остальные члены войдут, обеспечивая связь между изменениями намагниченностей подре­ шеток.

Для антиферромагнетика с двумя подрешетками

шетками, обобщая выражение (2.1.7), можно записать следующим образом:

В этой главе мы не будем рассматривать неоднородных распрѳде лений статической намагниченности (которые имеют место, на пример, в доменных стенках) и неоднородных колебаний. Тогда необходимо будет принимать во внимание только однородную обменную энергию U

Энергия кристаллографической магнитной анизотропии ан­ тиферромагнетика Ua записывается обычно в виде ряда по сте­ пеням Mj Xp, допускаемого симметрией данной кристаллической

решетки. Выражения для эффективных полей Н aj находятся дифференцированием Uа по составляющим намагниченностей в соответствии с первым членом формулы (4.1.4). Конкретные примеры таких вычислений для случая одноосной анизотропии будут рассмотрены в следующих параграфах. Физические ис­ точники анизотропии в антиферромагнетиках [59], вообще говоря, те же, что и в ферромагнетиках (§ 2.2). Но если в ферромагнетиках магнитное (дипольное) взаимодействие обычно не вносит замет­ ного вклада в анизотропию, то в некоторых антиферромагне­ тиках (например, в MnF2) вклад этот является существенным.

Следует отметить еще два обстоятельства, касающихся крис­ таллографической анизотропии в антиферромагнетиках. Во-пер­

вых, роль ее гораздо важнее, чем кристаллографической ани­ зотропии в ферромагнетиках. В этом мы убедимся на конкрет­ ном примере в следующем параграфе. Во-вторых, симметрия не­ которых кристаллов допускает появление в разложении энергии по Му* , кроме «обычных» анизотропных членов, приводящих

к ориентации векторов Му в определенных кристаллографических направлениях, также членов, приводящих к небольшому нару­ шению коллинеарности векторов Му. В антиферромагнетиках этот, вообще говоря, малый эффект приводит к очень серьезным

— суммарная намагниченность. Она не равна, вообще говоря, нулю даже для антиферромагпетика без слабого ферромагнетизма— как вследствие влияния постоянного внешнего поля, так и из-за наличия колебаний. Ясно, что эффективное поле зеемаиовского взаимодействия представляет собой внешнее поле Н.

Так как магнитные подрешетки антиферромагнетика «пере­ мешаны», «вставлены друг в друга», то энергия размагничиваю­ щих полей UM, являющаяся результатом дальнодействующих дипольных взаимодействий, будет зависеть только от резуль­ тирующей намагниченности М. Для малого эллипсоида с тензором

размагничивающих факторов N будет справедливо выражение

(2.1.3). С помощью формулы (4.1.4), учитывая симметрию тензо-

Ч-»

pa N, легко убедиться, что эффективные поля этого взаимодей­ ствия одинаковы, как и следовало ожидать, для всехподрешеток и равны

Основное состояние в континуальной трактовке. Рассмотре­ нию малых колебаний в антиферромагнетиках, как и в ферро­ магнетиках и вообще в любых колебательных системах, должно предшествовать отыскание ‘'равновесных — основных * состояний, окологкоторых совершаются малые колебания. В рамках кон­ тинуального подхода при этомЧае "возникает той принципиальной трудности определения квантового”основного состояния '’антифер­ ромагнетика, '"о ^которой упоминалось выше.; Она.^конечно, не разрешается, но обходится путем задания магнитной структуры,

156 А Н Т И Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К И Н Ф В Р Р И М А Г Ш З Т И К И [ Г Л . 4

т. е. числа подрешеток и их намагниченностей при О °К в отсут­ ствие внешнего поля. Задачей же континуальной теории явля­ ется определение равновесных длин векторов М и их ориентаций

даны, и задача об отыскании основного состояния сводится к определению ориентации этих векторов по отношению к кристал­ лографическим осям при заданной ориентации и величине посто­ янного магнитного поля Н0 с учетом кристаллографической анизотропии и формы образцов. Последний фактор, однако, несу­ ществен для антиферромагнетиков в сравнительно слабых внеш­ них полях, когда суммарный момент М мал. Решение этой задачи, как и для ферромагнетика (§ 2 .1), может быть начато двумя, с первого взгляда, различными способами. Первый заключается в том, что следует приравнять пулю производные от плотности энергии антиферромагнетика (4.1.6) по 2/г независимым пере­ менным, например полярными азимутальным углам п векторов Mj. Другой путь заключается в том, чтобы использовать выражения

которые непосредственно следуют из уравнений движения (4.1.5) и означают, что равновесные намагниченности подрешеток парал­ лельны эффективным полям. Оба пути, конечно, совершенно эквивалентны, так как производные от энергии по углам пред­ ставляют собой соответствующие проекции вращающего момента (4.1.15). После получения всех решений упомянутых 2п уравне­ ний необходимо путем исследования вторых производных или непосредственным сравнением величин плотности энергии вы­ яснить, какие из пих соответствуют минимуму энергии, т. е. равно­ весной конфигурации. Заметим, что решение задачи об основном состоянии часто существенно облегчается тем, что удается из со­ ображений симметрии предугадать некоторые особенности равно­ весной конфигурации и тем уменьшить число переменных. Примеры отыскания основных состояний в некоторых частных случаях будут рассмотрены в следующих параграфах этой главы перед рас­

для эффективного поля и'выражения, например (4.1.7) и (4.1.11), для различных членов U остаются справедливыми, но под U следует понимать плотность магнитной свободной энергии, а под М/ — термодинамические средние намагниченности подрешеток при данной температуре. Эти векторы не будут теперь иметь по­ стоянную длину, и для отыскания основного состояния нужны дополнительные условия. Можно, например, предположить, что зависимости равновесных намагниченностей подрешеток от со­

§ 4.13 А Н Т И Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И З М . У Р А В Н Е Н И Я Д В И Ж Е Н И Я 159

где Му0 (г) — постоянные составляющие намагниченностей подре­ шеток, в случае малых колебаний совпадающие с их равновес­ ными значениями, а ту (г) — комплексные амплитуды перемен­ ных составляющих намагниченностей подрететок. В линейном приближении эффективные поля можно представить в виде

где Herr у о — постоянные эффективные поля (включающие и эф­ фективное поле зеемановского взаимодействия — внешнее посто­ янное поле Н0), herrу — комплексные амплитуды переменных со­ ставляющих эффективных полей (без внешнего переменного поля),

равновесным эффективным полем. Оно зависит в общем случае

с диссипативным членом, например, в форме (1.3.2) и учтем ма­ лость переменных составляющих по сравнению с постоянными. Тогда в нулевом приближении получим условия (4.1.15), а в пер­ вом приближении — линеаризированные уравнения движения

/соту + Гуту X Herrу о + ТУМ Уо X hefry +

совпадающие по форме с уравнением (2.1.31). Уравнения (4.1.25) для комплексных амплитуд ту являются связанными, так как herry зависит не только от т у , но и от других mft (к = 1 , 2 , . . ,,п). Они образуют систему п линейных векторных уравнений, т. е. Ъп уравнений в проекциях.

Положив в (4.1.25) h = 0, мы придем к однородной линейной системе уравнений для амплитуд свободных колебаний. Приравни­ вая нулю ее определитель, получим характеристическое уравне­ ние для частот свободных колебаний. Если пренебречь диссипа­ цией (положить ау = 0), то это уравнение окажется веществен­ ным и его решения дадут вещественные собственные частоты. Характеристическое уравнение будет степени 3п, но оно будет иметь всегда (в чем мы убедимся в дальнейшем на ряде примеров) лишь п положительных корней, соответствующих частотам соб­ ственных колебаний рассматриваемой системы с п степенями свободы. С учетом диссипации корни характеристического уравне­ ния окажутся комплексными, их мнимые части будут характе­ ризовать затухание свободных колебаний.