книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

Вычисление компонент тензора Xе с учетом диссипации не представляет трудностей. В случае уравнения (1.4.7) для этого достаточно произвести замену (1.3.10) в выражениях (1.4.41) — (1.4.44). Уравнение же (1.4.9) следует спроектировать на оси координат и решить полученную систему. Мы не будем приводить

здесь выражений для компонент Xе, которые получаются таким образом. Отметим лишь, что они, конечно, оказываются комплек­

тиэрмитовы составляющие тензора Xе, характеризуют поглощение энергии внешнего переменного поля эллипсоидом. В случае уравнения (1.4.9) учет диссипации приводит также к появлению

зонанса поперечных компонент комплексного тензора Xе (при выполнении которого мнимые части их проходят через максиму­ мы) в случае уравнения (1.4.7) имеет вид

Резонансные частоты, определяемые выражениями (1.4.45) или (1.4.46), отличаются от соответствующих частот со' свободных затухающих колебаний (формулы (1.4.29) и (1.4.32)), но это от­ личие — так же как и отличие резонансных частот от со0 — вто­ рого порядка малости относительно параметра диссипации.

Приведем выражения для вещественных и мнимых частей ком-

4г¥

понент тензора %е при резонансе (мнимые части — в первом приб­ лижении при малой диссипации):

где %„ определяется выражением (1.4.10), а р и q — выражениями (1.4.26) и (1.4.27) 1).

*) Формулы (1.4,47) и (1.4.48) интересно сравнить с (1.3.27) и (1.3.28).

Г Л А В А 2

АНИЗОТРОПНЫЙ ФЕРРОМАГНЕТИК

§ 2.1. Обобщение уравнения движения намагниченности

Задачей этой главы является изучение анизотропии, в первую очередь кристаллографической, малых однородных магнитных колебаний ферромагнетика.

Анизотропия — это зависимость свойств тела от углов между направлениями, в которых проявляются (или измеряются) эти свойства, и некоторыми фиксированными направлениями. В пре­ дыдущей главе мы имели дело с идеализированным изотропным ферромагнетиком, в котором в отсутствие внешнего постоянного магнитного поля не было каких-либо выделенных направлений, и свойства которого поэтому не могли зависеть от углов. Пара­ метры такого вещества, например магнитная восприимчивость, являлись скалярными. Однако при наложении постоянного маг­ нитного поля (или при наличии остаточной намагниченности) в таком изотропном веществе появлялось выделенное направление — направление постоянного поля (или намагниченности) и, как мы видели, возникал особый вид анизотропии высокочастотных свойств — гиротропия. Магнитная проницаемость вещества (по отношению к слабому переменному полю) становилась несим­ метричным тензором. Когда же в § 1.4 мы перешли от изучения свойств вещества к изучению свойств тела, а именно, малого эллипсоида, появились новые выделенные направления — оси эллипсоида и возникла зависимость свойств (тела) от углов по отношению к этим направлениям — так называемая анизотропия формы. Тензор магнитной восприимчивости эллипсоида по отно-

шению к внешнему переменному полю Xе усложнился по срав-

нению с тензором вещества X, стал зависеть от формы эллипсоида и от углов между направлением внешнего постоянного поля и осями эллипсоида.

Как правило, ферромагнетики (а также и другие магнитоупо­ рядоченные вещества) являются кристаллами1). В них имеются выделенные направления — кристаллографические оси, и их свойства зависят от углов по отношению к этим осям. Известно

1) Недавно были обнаружены аморфные ферромагнетики [68], предска­ занные Губановым [56].

64 А Н И З О Т Р О П Н Ы Й Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К [ Г Л . 2

(см., например, [43]), что все параметры кристаллов, в том числе и магнитная восприимчивость, в отсутствие внешнего постоян­ ного поля и остаточной намагниченности, представляют собой симметричные тензоры. При иаличии внешнего постоянного поля магнитная восприимчивость ферромагнитного кристалла стано­ вится тензором, имеющим как симметричные, так и антисиммет­ ричные составляющие. Этот тензор зависит от параметров, ха­ рактеризующих кристаллографическую анизотропию вещества, и от углов между постоянным полем и осями кристалла. Если же мы будем и в этом случае интересоваться свойствами тела, нап­ ример, малого эллипсоида, то заметим, что тензор его магнитной восприимчивости (по отношению к внешнему переменному полю) будет определяться как кристаллографической анизотропией, так и формой образца. В выражения для его компонент будут входить углы, которые образует постоянная намагниченность как с кристаллографическими осями, так и с осями образца. Наша задача будет заключаться в определении этого тензора. Общие методы ее решения, основанные на введении в уравнение движе­ ния эффективных полей анизотропии, будут развиты в этом параг­ рафе. Затем в § 2.2 эти методы будут применены к исследованию двух широко распространенных кристаллов — одноосного и ку­ бического, а также к специальному случаю анизотропии, обус­ ловленной сближениями энергетических уровней ионов.

На практике, а также и в физических исследованиях приме­ няются часто поликристаллические ферро- и ферримагнитные ма­ териалы, состоящие из небольших кристалликов (зерен), обычно произвольно ориентированных друг относительно друга. Мак­ роскопические параметры такой среды (усредненные по объему, значительно превышающему размеры зерен) изотропны. Но они существенно отличаются от параметров однородной изотропной среды. Магнитные колебания в таком поликристаллическом фер­ ромагнетике будут рассмотрены в § 2.3 *).

Кроме кристаллографической анизотропии, в ферромагнитных кристаллах может иметь место анизотропия магнитных свойств, вызванная внешними упругими напряжениями. Выделенными направлениями в данном случае являются направления, по кото­ рым приложены напряжения. Причиной возникновения такой анизотропии является магнитоупругое взаимодействие, взаимо­ связь упругого и магнитного состояния магиитоупорядоченны.х кристаллов [5]. Мы не будем рассматривать магнитоупругой ани­ зотропии, но заметим, что общие методы, которые будут развиты ниже, применимы и в этом случае (см., например, [116]).

Исследуя магнитные колебания в анизотропных средах, мы будем по-прежнему использовать континуальный, феноменологи-

х) К этому вопросу мы вернемся в § 9.3.

веский подход1). Исходными будут являться выражения для макроскопической энергии (или некоторого термодинамического потенциала) того взаимодействия, которое является причиной рассматриваемого вида анизотропии. Эти выражения всегда мож­ но записать как функции намагниченности из общих, симметрийных соображений, а входящие в них постоянные рассматривать как феноменологические константы.

Энергия и термодинамические потенциалы ферромагнетика. Рассмотрим сначала ферромагнетик при 0°К. Он будет характе­ ризоваться?"плотностью магнитной энергии, которая является функцией намагниченности. Одним из членов этой плотности энер­

которая получается в результате суммирования энергий (1.1.28) но всем магнитным моментам в единице объема.

В предыдущем параграфе мы ввели в рассмотрение размагни­ чивающее поле Им-Сним связана внутренняя магнитная энергия

Ф(множитель 1/2 введен в это выражение потому, что поле Нм яв­ ляется функцией, причем линейной, намагниченности). Для мало­ го эллипсоида, согласно (1.4.2),

UM = M N M ( 2 .1 . 3 )

или в координатных осях, совпадающих с осями эллипсоида,

UM = + NvM l + N ZM% (2.1.3')

Микроскопическим источником этой энергии является магнитное (диполь-дипольное) взаимодействие элементарных магнитных мо­

тому что создание модельных (микроскопических) теорий кристаллографи­ ческой анизотропии и магннтоупругого взаимодействия встречает большие трудности.

2) Не интересуясь поверхностными явлениями, мы будем рассматривать пока исключительно объемные плотности различных видов энергии, обо­ значая их буквой U с различными индексами. При этом слово «плотность» мы будем часто для краткости опускать.

3 А. Г. Гуревич

Учитывая, что S/ = const, получим, опуская индекс /,

8, = 2 № + Іа1(-§ -)’ .

Умножая это выражение на число спинов в единице объема N, получим сумму энергий (2.1.4) и (2.1.8); при этом Л имеет вид (1.1.59) (в данном случае Z — 2), а

Мы записали члены магнитной энергии, соответствующие тем видам взаимодействия, которые были уже рассмотрены выше. Энергии других видов взаимодействия в ферромагнетике также могут быть записаны как функции вектора намагниченности, точ­ нее говоря, его ориентации, как так длина этого вектора при 0°К считается известной. В частности, энергия взаимодействий, которыми определяется кристаллографическая анизотропия, или

энергия магнитной кристаллографической анизотропии Uа мо­ жет быть записана в виде некоторого разложения по степеням проекций вектора М (или его направляющих косинусов). В сле­ дующем параграфе будут приведены примеры таких разложений.

В случае магнитоупругой энергии Uma, которой определяется анизотропия по отношению к направлениям внешних упругих напряжений, разложение может вестись по проекциям намаг­ ниченности и компонентам тензора деформаций (см. § 9.4). Под­ черкнем, что коэффициенты в этих разложениях, как и величины

Л и q в выражениях (2.1.5) и (2.1.7), являются феноменологичес­ кими константами, которые могут быть определены эксперимен­ тально или, в принципе, из микроскопических теорий.

Величину

можно считать внутренней энергией х) ферромагнетика. Величину же

Uв = Ui + UH ^ U M + Ue + Ua + Uma - MH (2.1.11)

с термодинамической точки зрения (см., например, [36]) следует называть магнитной энтальпией. Ее минимум является условием равновесия ферромагнетика при заданном поле Н (и, конечно, при 0°К).

Если температура Т > 0 °К, то условием равновесия при заданных Т и Н является [36] минимум магнитного потенциала

нереией.

68 А Н И З О Т Р О П Н Ы Й Ф Е Р Р О М А Г Н Е Т И К [ Г Л . 2

где S — плотность энтропии ферромагнетика. Заметим, что энт­ ропийный член (— S Т) в этом выражении становится очень суще­ ственным при высоких температурах. Именно из-за него при Т > Т С (где Тс — температура Кюри) более выгодным становит­ ся магнитно-неупорядоченное состояние, обладающее большей энтропией. Однако для тех задач, которые пас будут интересовать (определение равновесных конфигураций намагниченности, ис­ следование магнитных колебаний), можно будет обойтись без яв­ ной записи этого члена и, следовательно, без вычисления энтропии. Мы будем по-прежнему использовать выражения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.5), (2.1.7) и разложения Ua и Uma такие же по форме, как и при Т = О °К, и не писать вовсе члена (—S T ). Но проекции М, входящие во все эти выражения, будут теперь проекциями на­ магниченности при данной температуре. При этом член (—S Т) распределится поч->остальным членам свободной энергии U F 1)-

Величины же Л, q и другие феноменологические константы, вхо­ дящие в различные члены UF, будут, конечно, функциями тем­ пературы.

Уравнение Ландау — Лифшица и эффективное поле. Теперь можно перейти к центральной задаче этого параграфа — получе­ нию уравнения движения намагниченности в анизотропном ферромагнетике. Это уравнение было впервые записано Ландау и Лифшицем [111], а затем, в более общем виде, Макдональдом [116]. Щ Оно имеет следующий вид:

где эффективное поле 2)

а .и — плотность энергии или (при Т > 0) свободной энергии ферромагнетика. Уравнение (2.1.13) не может быть строго вы­ ведено в рамках континуального феноменологического рассмотре­ ния ферромагнетика, и цель приводимых ниже рассуждений сос-

!) В дальнейшем мы будем часто для краткости называть выражения (2.1.1), (2.1.2), (2.1.5), . . . и при Т > 0 соответствующими членами магнит­ ной энергии, хотя на самом деле это — члены плотности свободной энергии или, точнее, плотности магнитной свободной энергии (или магнитного по­ тенциала Гиббса).

а) Производная от скаляра по вектору определяется как вектор, проек­ ции которого суть производные от этого скаляра по соответствующим проекциям вектора. Например,