книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

§ 1.1] ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЯ 21

Теория Вейсса позволяет найти закон, по которому спонтанная намагниченность стремится к нулю при Т —> Тс. При этом можно по-прежнему считать М малым, но следует учесть два первых чле­

тверждается экспериментально вблизи Тс — намагниченность ока­ зывается пропорциональной (1— Т/Тс)3, где обычно (см., например,

ционального намагниченности, постулировалось и постоянная Л в выражении (1.1.40) являлась феноменологической константой. Как следует из (1.1.44) и (1.1.38), эта константа для обычных ферромаг­ нетиков по порядку величины равна ІО3, т. е. молекулярное поле //д. — 10й э. Энергия элементарного магнитного момента в таком поле (рассматриваемом как внешнее магнитное поле), согласно (1.1.28), составит 10~13. Таким образом, источником молекуляр­ ного поля, которое, согласно феноменологической теории Вейсса, приводит к ферромагнитному упорядочению, действительно мо­ жет явиться обменное взаимодействие.

Гейзенберговская модель. Ферромагнетик, как и любое конден­ сированное вещество, представляет собой сложную систему, построенную из элементов—атомов, ионов, имеющих, в свою оче­ редь, сложную структуру (в металлах в состав этой системы вхо­ дят, кроме того, еще коллективизированные электроны проводи­ мости). Такая система, построенная из микрообъектов, подчиня­ ется законам квантовой механики и квантовой статистики. Но очевидно, что строгое описание ее, исходя из этих общих законов,

неимоверно сложно. Как остроумно заметил Кеффер [244], «един­ ственной счетной машиной, которая сумела бы строго вывести из общих законов квантовой механики все следствия для данного магнитного материала, является сам образец из этого материала». Поэтому «в теории магнетизма рассматриваются более простые системы, которые моделируют только наиболее важные или счи­ тающиеся таковыми черты реальных магнетиков» (Тяблнков [23]).

Рпс. 1.1.4. Классические интерпретаціи! геіізснбеш'опексТ. модели, а — прецессирующие (в основном состояний) спины,

б — ориентированные спины.

Моделью, которая наиболее широко используется в теории магнитоупорядоченных веществ, является модель Гейзенберга — Дирака — Ван-Флека или, как ее обычно называют, гейзенбер­ говская модель. Эта модель представляет собой систему спиновых

моментов S, расположенных в узлах магнитной решетки (в тех точках пространства, где находятся центры «магнитных атомов») и связанных друг с другом обменным взаимодействием. Согласно (1.1.39) оператор энергии (гамильтониан) этого взаимодействия может быть записан в виде

где / и / ' — номера узлов магнитной решетки.

Как указали Хеллер и Крамере (см. [244],) гейзенберговская модель допускает классическую интерпретацию, при которой спи­ ны рассматриваются как «обычные» классические векторы. При этом возникает, однако, трудность, связанная с тем, что собствен­

ное значение длины вектора S с максимальными собственными зна­

чениями проекций IS |, согласно (1.1.3), составляет ]As (S -}- 1), в то время как длина классического вектора с темн же проекциями должна быть S. Возможны два варианта преодоления этой труд­ ности (рис. 1.1.4). В первом варианте спины считаются класснче-

24 НАМ АГНИЧЕННЫ Й ИЗОТРОПНЫ Й Ф ЕРРОМ АГНЕТИК [ГЛ. і

аналогии с классическим выражением для потенциальной энер­ гии взаимодействия магнитных диполей [43]:

Полный гамильтониан для обобщенной гейзенберговской модели является суммой гамильтонианов (1.1.48), (1.1.49) и (1.1.50).

Одним из допущений, принятых в гейзенберговской модели, является полная локализация магнитных моментов в узлах магнит­ ной решетки. Прямые эксперименты по рассеянию нейтронов (см., например, [66]) показывают,что для ферромагнитных метал­ лов это допущение выполняется плохо — магнитный момент «размазап» по всему кристаллу. Для таких веществ более подходящей является зонная модель ферромагнетизма [13]. Однако для ферро­ магнитных (а также аитиферромагнитиых и ферримагнитпых) ди­ электриков или полупроводников с небольшой проводимостью, ко­ торые нас интересуют в первую очередь, магнитные моменты в хорошем приближении можно считать локализованными и исполь­ зовать гейзенберговскую модель. Правда, в таких веществах магнитпые иопы разделены, как правило, немагнитными, и обменное взаимодействие носит более сложный, косвеппый характер (см. § 4.1). Но это влияет па величины обменных интегралов и их зави­ симости от г,у-, само же выражение (1.1.48) для магпитоупорядоченных веществ с небольшой проводимостью можно считать спра­ ведливым [58].

Вторым важным допущением гейзенберговской модели явля­ ется неучет орбитальных магнитных моментов. Можно попытаться учесть их влияние в рамках этой модели, полагая, что коэффици­ ент у в (1.1.49) и (1.1.50) отличается от его значения ys для элект­ ронных спипов, а также вводя в гамильтониан дополнительные члены, учитывающие влияние магнитной кристаллографической анизотропии, которая (см. главу 2) обычно связана с наличием ор­ битальных моментов. Аналогичный путь используется и в теории парамагнитного резонанса [1], где он получил название метода спин-гамильтониана. Ясно, что он применим тем лучше, чем силь­ нее «заморожены» орбитальные моменты в соединениях эле­ ментов 3d-и других переходных групп. G другой стороны, для ред­ коземельных соединений, где «замораживания» орбитальных мо­ ментов почти нет, гейзенберговская модель, по-видимому, тоже

может быть применена, но с заменой спиновых моментов S на пол­ ные моменты J.

В гейзенберговской модели часто используют так называемое

приближение ближайших соседей. Обменный интеграл If быстро убывает с увеличением расстояния между атомами. Учитывая это, в сумме (1.1.48) ограничиваются лишь членами, в которые входят спины атомов ближайших соседей. Тогда гамильтониан (1.1.48)

принимает вид

z

где Z — число ближайших соседей.

Иногда гейзенберговская модель применяется в (довольно грубом) приближении молекулярного поля [18]. При этом оператор

— так называемое молекулярное поле. Это поле является внут­ ренним, оно действует на спины и в то же время вызвано ими; поэтому в выражение (1.1.52) введен множитель Ѵа.

Континуальный подход. Наличие обменного взаимодействия, сильно связывающего между собой элементарные магнитные моменты в магнитоупорядоченных веществах, приводит к тому, что для описания процессов в этих веществах часто с успехом исполь­ зуется континуальный (или макроскопический или квазиклас­ сический) подход. При таком подходе мы отвлекаемся от микроско­ пического строения магиитоупорядоченного кристалла, например ферромагнетика. Величиной, полностью характеризующей маг­ нитное состояние ферромагнетика, является теперь макроскопи­ ческая намагниченность

объема ДУ. Заметим, что именно такой континуальный подход был применен в теории Вейсса.

*) Здесь и в дальнейшем угловые скобки <> обозначают квантовомехани­ ческие средние значения стоящих в ппх операторов. Статистические средние значения (как операторов, так и численных величин), полученные в результате усреднения по некоторым ансамблям, будут в дальнейшем обозначаться чертой над соответствующими пелпчипами.

§ І.іЗ ФЕРРОМ АГНЕТИЗМ . УРАВНЕНИ Е ДВИ Ж ЕНИЯ 27

где Н — магнитное поле, а В — магнитная индукция. Намагни­ ченность является функцией координат и времени, и отыскание этой функции М (г, t) при определенных условиях (например, при заданных внешних полях и температуре) является задачей теории ферромагнетизма в ее континуальной трактовке.

Подчеркнем еще раз, что в континуальной теории наличие об­ менного взаимодействия, приводящего к появлению спонтанной намагниченности или молекулярного поля ЛМ, постулируется. Величина Л и спонтанная намагниченность при 0° К в рамках этой теории являются феноменологическими постоянными. Несмотря па это, континуальный подход оказывается очень эффективным при решении многих вопросов теории ферромагнетизма. К ним относятся, в частности, следующие проблемы: отыскание равновес­ ных конфигураций намагниченности (например, домециых струк­ тур), исследование переходных процессов (процессов перемагничивапия) и, наконец, проблема малых магнитных колебаний, со­ ставляющая основное содержание этой книги. На протяжении поч­ ти всей книги мы будем использовать, в основном, континуальный подход, привлекая микроскопические соображения лишь в от­ дельных случаях — главным образом, для пояснения физической картины явлений и оценки величин констант. И лишь в § 8.5 мы вернемся к гейзенберговской модели.

Уравнение движения намагниченности. При континуальном рассмотрении ферромагнетика возможно и обычно наиболее це­ лесообразно использовать классическую теорию1). В этом случае намагниченность М (г, t) может быть найдена путем интегриро­ вания классического уравнения движения намагниченности, т. е дифференциального уравнения, связывающего М (г, t) с магнит­ ным полем Н (г, г), которое рассматривается как заданное. Та­ кое уравнение было впервые записано и использовано Ландау и Лифшицем [111]. Для рассматриваемых в этой главе однородных колебаний намагниченности в идеализированном изотропном фер­ ромагнетике и пока без учета диссипации энергии уравнение дви­ жения намагниченности имеет вид 2)

( 1. 1.62)

где у — магнитомеханическое отношение, рассматриваемое в рам­ ках континуального подхода как феноменологический параметр.

*) При рассмотрении микроскопических моделей использование квантовой теории является, конечно, необходимым. Но и при континуальном подходе кваитовомоханпческпо методы в некоторых случаях, в частности, при ис­ следовании термодинамических вопросов (§ 8.4) и, в особенности, процессов релаксации (глава 9) могут оказаться полезными.

2) Обобщение этого уравнения будет проведено в §§1.3 (учет диссипации) и 2.1 (учет анизотропии среды и неоднородности намагниченности).

Строгое обоснование уравнения Ландау—Лифшица возможно, по-видимому, лишь на основе микроскопической квантовой тео­ рии (см., например, [288]), в рамках классической континуальной теории его следует рассматривать как постулат. Мы дадим сейчас нестрогий, но наглядный «вывод» этого уравнения, исходя из упо­ мянутой выше квазиклассической модели (или, точнее, интерпре­ тации гейзенберговской модели) Хеллера—Крамерса. Рассмотрим систему классических элементарных волчков, моменты количества движения которых J связаны, однако, кваитовомехапическим со­ отношением

с элементарными магнитными моментами Ш (здесь J в абсолют­ ных единицах). Уравнение движения волчка —твердого тела, закрепленного в одной точке, имеет вид

Из (1.1.63), (1.1.64) и (1.1.65) следует уравнение движения элемен­ тарного момента J. Умножая его на (—yN), где N — число момен­ тов в единице объема, получаем уравнение движепия намагничен­ ности (1.1.62).

В связи с этим уравнением необходимо сделать два замечания. Во-первых, при «выводе» его мы не учитывали обменного взаимо­ действия. Но очевидно, что молекулярное поле (1.1.40), источни­ ком которого является это взаимодействие, не дает вклада в урав­ нение (1.1.62). Как мы увидим в дальнейшем, учет обменного взаи­ модействия, в континуальной теории не исчерпывается, вообще говоря, введением молекулярного поля. Если намагниченность за­ висит от координат, появляется еще одно обменное эффективное поле, которое уже входит в уравнение движения намагниченности. Оно оказывается тем большим, чем резче намагниченность изме­ няется в пространстве. Таким образом, уравнение (1.1.62) спра­ ведливо, кроме всего прочего, лишь в случае достаточно медлен­ ных изменений намагниченности в пространстве.

Второе замечание касается величины у в уравнении движения. Отметим прежде всего, что эта величина является характеристи­ кой коллективного движения магнитных моментов ферромагнети­ ка, сильно взаимодействующих друг с другом. Поэтому связанная с у соотношением (1.1.20) величина g-фактора, копечпо, не совпа­ дает с величинами g-факторов тех же ионов, как в свободном со­ стоянии (формула (1.1.27)), так и в парамагнитных кристаллах. Не совпадает она и с величиной g-фактора (g'), которая получается

§ 1.2] ПРЕЦЕССИЯ НАМАГНИЧЕННОСТИ И ВОСПРИИМЧИВОСТЬ 29

из гиромагнитных опытов, например Барнета или Эйнштейна — де Гааза [37, 40]. Причина этого несовпадения, согласно Киттелю

(конечно, с учетом упомянутого выше эффекта «замораживания»). В то же время величина g в первом приближении есть отношение

Эксперимент не дает точного подтверждения этого соотношения. Но качественно оно имеет место (см. [114]) — значения g превы­ шают 2, а значения g' оказываются меньше 2, вообще говоря, тем сильнее, чем больше вклад орбитального момента в J. Если же ор­ битальный момент отсутствует (как, например, для ионов Fe3+, Мп2+), то значения g и g' очень мало отличаются от 2.

§ 1.2. Прецессия намагниченности и тензор восприимчивости. Ферромагнитный резонанс

Приступим теперь к решению уравнения движения намагни­ ченности для изотропного ферромагнетика. Сначала, в этом и сле­ дующем параграфах, мы остановимся на задаче о колебаниях на­ магниченности в некоторой точке тела под воздействием заданных постоянного и переменного магнитных полей в той же точке. В ре­ зультате решения такой задачи будет найдена динамическая (или высокочастотная) магнитная восприимчивость ферромагнетика по отношению к внутреннему переменному полю. Яспо, что для неограниченной среды такая постановка задачи является единст­ венно возможной. Для тел конечных размеров эта задача представ­ ляет собой лишь часть полной (самосогласованной) задачи, ибо внутреннее поле, в свою очередь, зависит от намагниченности.

Как уже отмечалось, в главах 1 и 2 мы будем иметь дело с фер­ ромагнетиком, намагниченным постоянным магнитным полем до насыщения. Для идеализированного бесконечного изотропного ферромагнетика это не является дополнительным ограничением, потому что такой ферромагнетик будет намагничиваться до насы­ щения сколъ угодно малым постоянным магнитным полем. Но для тел конечных размеров и анизотропных сред насыщение будет до­ стигаться лишь при определенных значениях приложенного по­ стоянного магнитного поля. Заметим, что мы ограничиваемся пока изучением однородных колебаний намагниченности, т. е. пред­ полагаем, что не только постоянная, но и переменная составляю­ щая намагниченности не зависит от координат.