книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

параметров вещества (у, М 0 и параметров диссипации). При этом под заданными внешними полями понимаются поля, строго гово­ ря, на бесконечном удалении от образца, а практически — на рас­ стояниях от него, во много раз превышающих его размеры.

Условие равновесия и уравнение движения. Размеры эллипсои­ да предполагаются во много раз меньшими, чем длина электро­ магнитной волны в веществе. Это дает право использовать пе полные уравнения Максвелла, а уравнения или непосредственно результаты магнитостатики. Как известно из магнитостатики (см., например, [43]), магнитпое поле ТІг внутри непроводящего магнитного эллипсоида, расположенного в однородном внешнем (в указанном выше смысле) поле Н, является 'также однород­ ным. Для него справедливо выражение

При выводе выражения (1.4.1) обычно предполагается, что поле Н не зависит от времени. Однако при определенных усло­ виях это выражение будет справедливо и для зависящих от вре­ мени величин. Одно из условий (оно уже упоминалось выше) зак­ лючается в том, чтобы размеры эллипсоида были малы по срав­ нению с длиной электромагнитной волны в веществе. При этом условии членами уравнений Максвелла с производными по вре­ мени (см. § 5.1), которые учитывают эффект запаздывания при распространении электромагнитных волн, можно пренебречь, и задача превращается в квазистатическую', в каждый момент вре­ мени мгновенные значения Н, Нг и М связаны теми же уравне­ ниями и граничными условиями, что и статические величины. Вто­ рое условие заключается в том, чтобы в эллипсоиде возбуждалась однородная прецессия намагниченности1).

Пусть внешнее поле Н, а следовательно, и внутреннее поле И; и намагниченность имеют постоянные и переменные состав­ ляющие2):

Н = Но + ѵ 1“', Hi = Hto + he‘“‘, М = М„ + т е ім'. (1.4.3))*

х) Малый намагниченный эллипсоид (см. главу 7) имеет бескопечпое мно­ жество собственных типов прецессии намагниченности. Лишь для одного из них — однородной прецессии — намагниченность не зависит от коорди­ нат, и соотношение (1.4.1) справедливо.

*) Вводимые обозначения могут показаться пе совсем логичными, по они позволят избежать в дальнейшем записи лишних индексов.

§ 1 . 4 ) ОДНОРОДНЫЕ КО Л ЕБА Н И Я МАЛОГО ЭЛЛИПСОИДА 51

Тогда если выполняются указанные выше условия и выражение (1.4.1) имеет место, то в силу его линейности

Метод рассмотрения однородного ферромагнитного резонанса в малом эллипсоиде, предложенный Киттелем [112], состоит в том, что с помощью выражений (1.4.4) и (1.4.5) из уравнения дви­ жения исключается неизвестное внутреннее поле и намагничен­ ность связывается с заданным внешним полем. Этим методом мы и воспользуемся.

Будем исходить, например, из уравнения (1.3.2). Входящая в него величина Н является теперь внутренним магнитным полем Н4. Представим Нг и М в виде сумм (1.4.3) и используем выраже­ ния (1.4.4) и (1.4.5). Будем считать переменные составляющие малыми и воспользуемся методом последовательных приближений.

Условие (1.4.6) (равновесная намагниченность параллельна внут­ реннему статическому полю, зависящему, в свою очередь, от на­ магниченности) может быть использовано для определения рав­ новесной ориентации М„. Длину этого вектора можно считать заданной, так как образец намагничен до насыщения. Не оста­ навливаясь на решении статической задачи, будем считать вектор М0, а следовательно, и внутреннее статическое поле Ні0 извест­ ными.

В первом приближении мы найдем линеаризованное уравнение движения для комплексных амплитуд m и h0:

icom + Tfm X Hio X Т (Nm) X M0 + г|^ т х М 0 = — rM0 X h0. (1.4.7)

Э то уравнение можно, конечно, получить и из линеаризованного уравнения (1.3.9), если заменить входящую в него величину Н0 на внутреннее поле Ні0 и выразить h через внешнее поле Ь0 сог­ ласно (1.4.5). Уравнение (1.4.7) можно, аналогично (1.3.9'), записать в форме

52 НАМ АГНИЧЕННЫ Й ИЗО ТРОПН Ы Й ФЕРРОМ АГНЕТИК [ГЛ. 1

а ось z (рис. 1.4.1) направлена параллельно векторам Н,-0 и М0 (при этом она в общем случае не совпадает с Н0 или с какой-либо,

Тогда в результате проектирования с учетом правила умножения тензора на вектор [35] получим

(ісо -f- xN цМ 0) тх -f- (соя -{- TW22Л/0) mv = 9»

и для ферромагнитного резонанса в массивных металлических об­ разцах; наличие сильного поверхностного эффекта приводит к тому, что играет роль лишь тонкая поверхностная пленка. Имен­ но для этого случая формула (1.4.19), которая может быть записана в виде

была впервые применена Киттелем (см. [112]). Используя эту формулу, он объяснил результаты опытов Гриффитса [127] по

Рис. 1.4.2. Предельные случаи оллипсонда.

ферромагнитному резонансу в металле. Однако по поводу приме­ нения этой формулы и вообще формулы Киттеля (1.4.18) к массив­ ным металлическим образцам необходимо сделать два замечания. Во-первых, следует помнить, что входящая в (1.4.18) величииа

§ 1 . 4) О Д Н О Р О Д Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я М А Л О Г О Э Л Л И П С О И Д А 55

N z представляет собой статический размагничивающий фактор,

благодаря сильному скин-эффекту могут быть приняты значения О или 4л, как для тонкой пластинки. Во-вторых, даже при вне­ сении этой поправки использование формулы (1.4.18) и ее част­ ных случаев для массивных металлических образцов не может дать точных результатов,' поскольку при выводе формулы (1.4.18) предполагалась однородность внутреннего переменного поля, а при наличии скин-эффекта она, конечно, не имеет места *).

Частными случаями (1.4.24) являются формулы (1.4.20), (1.4.21) и (1.4.23).

В случае сферы выражение для собственной частоты однород­ ных колебаний намагниченности имеет особенно простой вид, и, самое главное, в него не входит статическая намагниченность. Благодаря этому сферические образцы использовались в подав­ ляющем большинстве опытов по ферромагнитному резонансу в слабо проводящих (неметаллических) веществах *2).

Подчеркнем, что киттелевская формула (1.4.18) и ее частные случаи (1.4.19) — (1.4.24) справедливы при следующих допуще­ ниях. Во-первых, внешнее постоянное магнитное поле дожно быть направлено по одной из осей эллипсоида. Во-вторых, это поле должно быть достаточно велико (или размеры образца — достаточ­ но малы), чтобы образец был намагничен до насыщения, т. е. чтобы в нем отсутствовала доменная структура. Для идеализиро­ ванного изотропного ферромагнетика, который мы пока рассмат­ риваем, это условие выполняется для образцов любых размеров, если внутреннее постоянное поле, вычисленное по формуле (1.4.17), оказывается положительным. И в-третьих, вектор М0 должен по направлению совпадать с Н0. Для изотропного ферро­ магнетика это условие всегда выполняется при выполнении пер­ вых двух условий.

Зависимости собственных частот однородных колебаний намаг­ ниченности от Н 0, вычисленные по формулам (1.4.19) — (1.4.23), показаны на рис. 1.4.3.

!) Этого вопроса мы коснемся в § 9.5.

2) Этому способствовало п то, что сферические образцы весьма малых размеров могут быть с большой точностью изготовлены, иапрпмер, методом обкатки сжатым воздухом [500].

§ 1 . 4 І ОДНОРОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОГО ЭЛЛИПСОИДА,. 57

на величины второго порядка малости относительно параметров диссипации. Решение его даст

Таким образом, учет диссипации привел к появлению мнимой части частоты (характеризующей затухание свободной прецессии эллипсоида), пропорциональной сог или (в первом приближении) а. Изменение же действительной части частоты, как для всех колебательных систем, оказалось второго порядка малости отно­ сительно параметра диссипации.

Для характеристики затухания в колебательных системах час­

называемая добротностью системы. Это определение равносильно следующему:

где W — энергия системы, а Р — мощность потерь. Таким об­ разом, добротность есть умноженное на 2я отношение энергии, запасенной в системе, к потерям энергии за период колебаний.

В нашем случае в первом приближении с учетом соотношений (1.3.12) и (1.3.14)

где р и q определяются согласно (1.4.26) и (1.4.27). При совпаде­ нии внешнего поля с одной из осей эллипсоида, когда справедливо (1.4.17), множитель plq выражается явно через Н 0, М 0 и размаг­ ничивающие факторы. Для эллипсоида вращения этот множитель, как легко убедиться, обращается в 1, и

Из (1.4.35) видно, что если постоянным является параметр дис­ сипации а, то и добротность Q0 постоянна; если постоянно о^, то Q0 зависит только от намагниченности; если же постоянно сог, то добротность зависит также от частоты (через Н 0) и формы об­ разца. Какой параметр диссипации, в каких случаях с большим правом можно считать постоянным, на этот вопрос может отве­ тить только эксперимент или микроскопические теории релакса­ ции (которые будут рассмотрены в главе 9).

Мы учли выше поглощение энергии только в веществе эллип­ соида и не учитывали потерь энергии вследствие излучения

электромагнитной энергии образцом. Поэтому введенную доброт­ ность следует назвать собственной добротностью.

Пользуясь результатами магнитостатики, мы считаем размеры эллипсоида малыми по сравнению с длиной электромагнитной волны. При этом излучение будет, конечно, мало. Однако и соб­ ственная диссипация в образцах из совершенных монокристаллов ферритов весьма мала — собственная добротность Q0 может дос­ тигать значений ~ ІО4. При этом излучение может быть заметным уже для образцов сравнительно малых размеров, например для сфер с диаметром 1—2 мм в трехсаитиметровом диапазоне длин волн 4).

Внешний тензор восприимчивости. Перейдем теперь к рассмот­ рению вынужденных колебаний намагниченности малого эллип­ соида под воздействием заданного внешнего переменного поля. Как и в предыдущем параграфе, ограничимся рассмотрением ус­ тановившихся гармонических колебаний; тогда задача будет зак­ лючаться в нахождении комплексной амплитуды переменной намагниченностп m при заданной комплексной амплитуде внеш­ него переменного поля 1і0. В силу линейности задачи искомая за­ висимость может быть записана в виде

где Xе — так называемый внешний тензор восприимчивости эл­ липсоида, и подлежит определению.

Решать эту задачу можно, вообще говоря, двумя путями. Пер­ вый путь основывается на использовании уже известной связи m с внутренним полем й:

Внутренний тензор X’ — это, по существу, тот же тензор X, ко­ торый был определен в § 1.3; необходимо лишь в выражениях для его компонент заменить постоянное поле Н й на внутреннее пос­ тоянное поле Н і0. Исключая 1ц из (1.4.5) и (1.4.37), мы получим,

что тензор Xе связан с тензорами X' и N соотношением 2)*

где (Xе)-1 и (X*)-1 — обратные тензоры [35].

х) Вопросы излучения электромагнитной энергии малым ферромагнит­ ным образцом будут затронуты в §§ 6.4 и 7.3. Мы увидим, в частности (§ 7.3), что излучение приводит не только к дополнительному затуханию, но и к изменению собственных частот колебаний.

2) Следуя Аркадьеву [27], можно у_е назвать восприимчивостью тела,

%г — восприимчивостью вещества, а (N) 1 — «восприимчивостью формы».

Если образец является эллипсоидом вращения (N x = N ѵ =

= N , то тензоры X1' и Xе диагонализируіотся при переходе к цир­ кулярным переменным (1.2.39). Из формулы (1.4.38) вытекает тогда простое выражение, связывающее циркулярные компонен­ ты этих тензоров, т. е. восприимчивости по отношению к полям с круговой поляризацией

В общем случае вычисление компонент тензора Xе с помощью (1.4.38) оказывается трудоемким, и выгоднее выбрать другой путь решения этой задачи. Он заключается в непосредственном реше­ нии уравнения (1.4.7) или (1.4.9) — без использования внутрен­

собственная частота (1.4.16).

Из полученных выражений видно, что компоненты внешнего тензора восприимчивости эллипсоида сильно зависят от формы образца и существенно отличаются от компонент внутреннего тен-

зора восприимчивости X1'. Резонансной частотой тензора Xе (при которой его компоненты имеют полюсы) является собственная частота однородных колебаний намагниченности эллипсоида со0,

вто время как резонансной частотой тензора X1 является а>н =

=уНіо• Недиагональные компоненты тензора Xе, в отличие от

тензора Х{, содержат, вообще говоря, не только антисимметричные

составляющие,± і%о, но и симметричные составляющие %®. Од­ нако они обращаются в нуль в «киттелевском» случае, когда на­ правления Н0 и М0 совпадают с одной из осей эллипсоида.

Интересно отметить, что для сферы компоненты тензора Xе (без диссипации) совпадают с компонентами (1.2.20), (1.2.21)