книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

ного резонанса в магнитно неупорядоченных системах: ядерного магнитного резонанса и электронного парамагнитного резонанса. Иногда его используют и в случае ферромагнитного резонанса. В (1.3.6) параметры диссипации различны для поперечной и про­ дольной составляющих намагниченности. Для каждой из них ско­ рость диссипации пропорциональна разности мгновенного и ста­ тического значений соответствующей составляющей (для попереч­ ной статическое значение равно нулю).

Однако с термодинамической точки зрения (см., например, [120]) правильнее считать, что скорость диссипации в каждый мо­ мент пропорциональна разности мгновенной намагниченности и той величины ее, которая установилась бы, если бы было «заморо­ жено» мгновенное значение поля. Если сделать такое предположе­ ние и считать, кроме того, что параметры диссипации для попереч­ ных и продольной составляющих намагниченности одинаковы, т. е. тх — т2 = тг (для ферромагнетиков это допущение является, по-видимому, обоснованным), то можно прийти к следующему урав­ нению [277]:

— статическая магнитная восприимчивость. Уравнение (1.3.7) (которое называют иногда модифицированным уравнением Блоха), так же как и уравнение Блоха (1.3.6), не дает постоянства длины М и может подойти для описания тех процессов диссипации, при которых это постоянство не имеет места.

' Процессы диссипации при ферромагнитном резонансе (см. гла­ ву 9) многообразны и сложны, и точно описать реальную ситуа­ цию при'помощи уравнения'с одним илидаже двумя постоянными параметрами диссипации, конечно, нельзя. Однако для прибли­ женногоописания явлений, связанных с диссипацией, обычно мож­ но пользоваться’приведенными выше уравнениями (1.3.2), (1.3.3) или (1.3.7), считая входящие в них параметры не зависящими от> ,*#0 и М 0 неопределенных1пределах изменения этих величин.

Линеаризированные уравнения движения с учетом диссипации. Запишем теперь уравнения движения с диссипативными членами для малых амплитуд переменных составляющих поля и намагни­ ченности. Рассмотрим сначала уравнение (1.3.2). Подставив в не­ го (1.2.5) и (1.2.10) и учтя условия малости (1.2.11), и следствие их (1.2.13), получим для комплексных амплитуд переменных намагни­ ченности и ноля линеаризированное уравнение

Оно является обобщением уравнения (1.2.14). Наличие диссипа­ ции не может, конечно, повлиять на равновесную ориентацию на­ магниченности, которая по-прежнему остается параллельной Н„. С учетом этого уравнение (1.3.9) можно переписать следующим об­ разом:

где toH = уН о, а z0 — единичный вектор, параллельный Н0 и М0. Отсюда видно, что (1.3.9) отличается от уравнения без дисси­ пации (1.2.14) только заменой

icom + свят X z0 + — m = y M 0h X z0 + codh. (1.3.11)

%Q

Линеаризация (1.3.7) приводит к уравнению, совпадающему с (1.3.11) при условии

Уравнения (1.3.9) и (1.3.11) на первый взгляд заметно отлича­ ются друг от друга. Однако (1.3.11), как нетрудно проверить, при­ водится к виду (1.3.9) при помощи замены (1.3.4), которая перево­ дит одно в другое и полные уравнения (1.3.2) и (1.3.3). Отсюда ясно, что в случае малой диссипации, когда

а2 < 1 , (1.3.13)

все три уравнения, получающиеся в результате линеаризации (1.3.2) , (1.3.3) и (1.3.7), эквивалентны. В этом случае между пара­

Подчеркнем, что соотношение (1.3.14) справедливо при любых ам­ плитудах переменной намагниченности, в то время как соотно­ шение (1.3.12) справедливо только при малых амплитудах, но про­ извольной диссипации. Таким образом соотношение

которое является следствием (1.3.12) и (1.3.14), имеет место при малых амплитудах и малой диссипации. Следует заметить, что все сказанное справедливо в том случае, если параметры диссипа­ ции a, (i>d и юг определены уравнениями, соответственно, (1.3.2), (1.3.3) и (1.3.7). Конечно, в любом случае можно формально пере­ ходить от одних параметров к другим, пользуясь соотношениями (1.3.12) , (1.3.14) или (1.3.15), но если не будут выполняться ука­ занные условия (малость амплитуд или диссипации), введенные

§ 1.3] У Ч ЕТ ДИССИПАЦИИ 43

таким образом параметры будут иметь несколько иной смысл, чем в уравнениях (1.3.2), (1.3.3) или (1.3.7).

Затухающие свободные колебания. Перейдем теперь к реше­ нию полученных линеаризированных уравнений. Рассмотрим сна­ чала свободные колебания, т. е. примем h = 0. Заметим, что в этом

Частота и затухание свободных колебаний при наличии дисси­ пации могут быть получены из условий существования решений

однородных (при h = 0) уравнений (1.3.9) или (1.3.11). Для того чтобы записать эти условия, достаточно произвести замену (1.3.10) или (1.3.16) в условии (1.2.4) существования решений однородного уравнения без диссипации. Для уравнения (1.3.9) получим таким путем

Как и следовало ожидать, частота свободных колебаний оказалась комплексной; ее вещественная часть есть действительная частота колебаний, а мнимая, как обычно, характеризует затухание коле­ баний, в данном случае — затухание прецессии намагниченности. Величина т = 1/со'' является временем, за которое амплитуда пре­ цессии убывает в е раз. Затухающая прецессия намагниченности показана на рис. 1.3.1.

44 НА М АГНИЧЕННЫ Й ИЗО ТРОПН Ы Й ФЕРРОМ АГНЕТИК [ГЛ. 1

Согласно выражению (1.3.18), полученному из уравнения (1.3.11), вещественная частота свободных колебаний не изменилась при наличии диссипации. В то же время, согласно выражению (1.3.17), полученному из уравнения (1.3.9), она уменьшилась в (1 + а3) раз. Очевидно, что это различие связано с перенормиров­ кой (1.3.4) постоянной у при переходе от одного из этих уравнений к другому. Изменится же или не изменится (и как изменится) в действительности частота прецессии при наличии диссипации, бу­ дет зависеть от конкретных особенностей процессов релаксации в системе. Ими будет определяться, какое из уравнений (1.3.9) или (1.3.11) является более подходящим и, следовательно, какое из выражений (1.3.17) или (1.3.18) лучше выполняется. Сейчас, не выходя за рамки феноменологического описания диссипации, мы не можем ответить на этот вопрос. Следует, однако, заметить, что при условии малой диссипации (1.3.13), которое часто хорошо выполняется, рассмотренное различие несущественно.

Компоненты тензора восприимчивости. Решение уравнений (1.3.9) или (1.3.11) для вынужденных колебаний (h =t 0) может быть проведено одним из способов, использованных при решении урав­ нения (1.2.14). Однако в случае уравнения (1.3.9) в этом нет необ­

Для уравнения (1.3.11) такой путь не может быть использован, так как замена (1.3.16) справедлива лишь при h — 0. Решение уравнения (1.3.11) приводит к восприимчивости вида (1.2.29), где

Таким образом, учет диссипации привел к тому, что попереч­ ные компоненты %и %а тензора восприимчивости стали комплекс­ ными величинами. Кроме того, при использовании уравнения (1.3.11) появилась малая (если мал параметр диссипации) и не из­ меняющаяся резонансным образом продольная компонента %ц.

В то же время вещественная и мнимая части %_ не испытывают ре­ зонансного изменения и остаются малыми. График зависимостей вещественных л мнимых частей х+ и %_ от Н 0 приведен на рис. 1.3.3.

Компоненты тензора магнитной проницаемости р при нали­ чии диссипации могут быть определены согласно (1.2.32).

В заключение этого параг­ рафа остановимся на вопросе об интегральных соотношениях между вещественными и мнимы­ ми частями компонент тензора

X- Для скалярных восприимчи­ востей такие соотношения были установлены Кронигом и Крамерсом, исходя из самых общих предпосылок — линейности си­ стемы и принципа причинности (см. например, [1, 17]). Как показал Гурари [278] (этот воп­ рос подробно рассмотрен в [120]), соотношения Кронига — Крамерса справедливы для всех компонент XPS (Р. s = х, у, z) тензора восприимчивости:

Соотношения (1.3.40) и (1.3.41) позволяют вычислить вещест-

Ч-»

венную (или мнимую) часть любой компоненты % при любой за­ данной частоте, если известна вся частотная зависимость мнимой (или вещественной) части этой компоненты.

§ 1.4. Однородные колебания намагниченности малого эллипсоида

Тензор магнитной восприимчивости, который мы вычисляли в предыдущих параграфах, связывал переменную намагниченность с внутренним (локальным) переменным магнитным полем. Это поле рассматривалось как заданное. Однако заданным обычно

§ 1.4] ОДНОРОДНЫЕ КО Л ЕБА Н И Я МАЛОГО ЭЛЛИПСОИДА 49

является не внутреннее, а так называемое внешнее поле, напри­ мер, поле на достаточном удалении от образца. Виутреиее же поле зависит от намагниченности, и характер этой зависимости определяется формой образца. Задача заключается, таким обра­ зом, в определении переменной намагниченности и, одновременно, переменного внутреннего поля при заданном внешнем поле. Для решения такой задачи необходимо использовать уже не только уравнение движения намагниченности, но и уравнения электро­ магнитного поля (уравнения Максвелла), а также граничные условия па поверхности образца.

Уравнения Максвелла для ферромагнитной среды будут рас­ смотрены в главе 5, затем в главах 6 и 7 будут разбираться раз­

которое будет проведено в главе 2. Такой граничной задачей является задача об однородных колебаниях намагниченности (или однородном магнитном резонансе) в изотропном ферромаг­ нитном эллипсоиде с размерами, малыми по сравнению с длиной электромагнитной волны. Задача об однородном магнитном ре­ зонансе в малом эллипсоиде была решена Киттелем [112], и это явилось следующим после работы Ландау и Лифшица [111] фун­ даментальным вкладом в теорию ферромагнитного резонанса.

Большинство экспериментальных работ по ферромагнитному резонансу проводится на малых образцах — сферах или тонких пластинках, являющихся частными случаями эллипсоида. Рас­ смотрение киттелевской граничной задачи даст нам возможность при изучении влияния кристаллографической анизотропии и до­ менной структуры (в главах 2 и 3) сравнивать теоретические ре­ зультаты с экспериментом. Это является первым доводом в пользу такого «непоследовательного» рассмотрения теории ферромагнит­ ного резонанса. Есть и еще один довод: метод учета влияния фор­ мы (или, как можно сказать, «анизотропии формы»), предложен­ ный Киттелем, может быть использован, как мы убедимся в даль­ нейшем, при учете и других видов анизотропии.

Итак, сформулируем следующую задачу: в однородном внеш­ нем постоянном поле Н0 и слабом однородном внешнем перемен­ ном поле h0 находится малый эллипсоид из изотропного *), не­ проводящего, намагниченного до насыщения ферромагнетика. Не­ обходимо найти его переменную намагниченность в зависимости от величины постоянного поля, частоты, формы эллипсоида и1

1) Имеется в виду, как и в предыдущих параграфах, изотропия в отсут­ ствие внешнего постоянного поля. При его наличии свойства вещества по отношению к переменному полю будут, конечно, существенно анизотропны — гиротрошщ,