книги из ГПНТБ / Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках

сующие нас результаты. Особенно широко мы будем использо­ вать метод вероятностей переходов, который характеризуется наг­ лядностью и сравнительной простотой вычислений.

Метод вероятностей переходов. Квантовомеханическая неста­ ционарная теория возмущений [30], как известно, позволяет вы­ числить вероятность перехода системы из одного стационарного со­ стояния в другое под действием некоторого возмущения, зави­ сящего, вообще говоря, от времени. В частности, число перехо­ дов в единицу времени под действием постоянного возмущения

дельта-функция Дирака (1.3.36). Из формулы (9.1.1) видно, что wlm 4= 0 только для переходов между вырожденными состояниями.

При изучении процессов релаксации очень удобно использо­ вать представление вторичного квантования (см. § 8.5), в котором состояние системы характеризуется числами заполнения различ­ ных собственных состояний, т. е. в данном случае — числами квазичастиц. Волновые функции в представлении вторичного квантования являются наборами чисел nkg квазичастиц для всех

допустимых значений kfi волнового вектораНа эти волновые функции действуют операторы рождения â+g и уничтожения âkg

квазичастиц. Преобразования Холыптейна — Примакова (§ 8.5) и осуществляли переход к представлению вторичного квантования для гейзенберговской модели ферромагнетика. Свойства опера­ торов âkg и âh.gрассматривались в § 8.5. Напомним лишь, что опе­

ратор âk , действуя на волновую функцию nkl, пкг, ..., nkg.,.,

увеличивает на 1 число nkg, оставляя все остальные числа без из­ менения. Оператор âkg уменьшает число nhg на 1. Формула

(9.1.1) нестационарной теории возмущений в представлении вто­ ричного квантования дает скорость изменения числа квазичастиц, которые возникают или уничтожаются при рассматриваемом переходе.

В §§ 9.2 и 9.4 мы будем исследовать процессы релаксации, ко­ торые могут происходить в идеальном магнитоупорядоченном кри­ сталле. Под идеальным кристаллом понимается кристалл, не со­ держащий неупорядоченных примесей, дислокаций, пор и других нарушений периодичности. Строго говоря, такой кристалл должен быть неограниченным, но влиянием нарушения периодичности кристалла на поверхности образца можно пренебречь, если раз­

Учитывая свойства (8.5.24) и (8.5.25) операторов ак и ак, можно убедиться, что каждый член гамильтониана (9.1.2) вносит вклад только в один матричный элемент; при переходе, соответст­ вующем этому элементу, увеличиваются на 1 числа тех квази­ частиц, операторы рождения которых входят в данный член га­ мильтониана, и уменьшаются на 1 числа квазичастиц, операторы уничтожения которых входят в этот член. Так, например, член

Член гамильтониана, эрмитово-сопряженный с рассмотренным, дает матричный элемент

<пкі + 1 , пкі — 1,п к, — і\Ж р \nkl, nkt, nk,y =

= Y (^A-, 4" 1) nklnkj Т423Д (kx — k2 — k3). (9.1.4)

Аналогичным образом запишутся матричные элементы, соответ­ ствующие членам более высоких порядков.

Выше отмечалось, что процессы релаксации часто трактуются с корпускулярной точки зрения; при этом считается, что в основе их лежат элементарные процессы превращения квазичастиц (см., например, рис. 9.1.1). Рассматриваемый сейчас подход к релак­ сации с точки зрения теории возмущений в представлении вторич­ ного квантования дает обоснование возможности такой трактов­ ки. Каждому элементарному процессу соответствует свой член в гамильтониане возмущения и относящийся к нему матричный элемент. Так, например, процесс, показанный на рис. 9.1.1, б, описывается матричным элементом (9.1.3), а матричный элемент (9.1.4) соответствует обратному процессу — уничтожения двух магнонов с к2 и к3 и рождения магнона с Ц.

Наличие дельта-56унщ ии в формуле (9.1.1) указывает на то, что при каждом элементарном процессе сохраняется энергия. Например, для процессов, которым соответствуют матричные элементы (9.1.3) и (9.1.4),

Наличие же дельта-ошволов во всех членах гамильтониана при­

Подчеркнем, что, в отличие от сохранения энергии, сохранение импульса при элементарных процессах превращения квазичастиц имеет место только в идеальном кристалле, т. е. для таких возму­ щений, которые не нарушают периодичности кристалла. Про­ цессы релаксации, существенно связанные с нарушениями перио­ дичности, для которых не имеет места сохранение импульса при элементарных процессах превращения квазичастиц, будут рас­ смотрены в § 9.3.

Подставляя матричные элементы, соответствующие опреде­ ленным процессам, в формулу теории возмущений (9.1.1), мы по­ лучим числа таких процессов в единицу времени. Однако нас ин­ тересуют не эти числа, а полные скорости изменения чисел квази­ частиц определенного сорта, например, dnkJdt. Для того чтобы получить их, следует просуммировать (с учетом знаков) числа всех элементарных процессов, при которых рождаются или унич­ тожаются квазичастицы данного сорта. При этом получаются вы­

где V и m! обозначают, соответственно, начальное и конечное со­ стояния для тех элементарных процессов, при которых рождают­ ся квазичастицы с klt а I" и т" — начальное и конечное состояния для тех процессов, при которых они уничтожаются. Выражение

При исследовании релаксационных явлений целесообразно проводить суммирование в (9.1.7) не по всем возможным элемен­

йк„ может войти и в условие сохранения импульса при элементарном про­ цессе, например в (9.1.6). Однако в интересующем нас круге проблем, где

464 ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ . 9

элементарным процессам определенного типа, с тем чтобы выявить особенности данного типа процессов. Практически суммирование производится обычно по волновым векторам (или импульсам) квазичастиц, участвующих в процессах. Например, при вычисле­ нии производной dnnjdt, обусловленной трехчастичными про­ цессами типа (9.1.3) и (9.1.4), суммирование ведется по всем до­ пустимым значениям к2 и 1с3.

Наличие условий сохранения импульса и энергии ограничи­ вает области к-нространств, по которым фактически должно проводиться суммирование. В рассматриваемом примере трехчас­

из пространств к3 или к3. Наличие же скалярного условия (9.1.5) приводит к дальнейшему ограничению области суммирования не­ которой поверхностью в этом пространстве. Приведенные общие соображения будут проиллюстрированы на примерах в следую­ щих параграфах.

В правую часть уравнения (9.1.7) для числа квазичастиц с кх

процессов, в которых участвуют соответствующие квазичастицы; для них могут быть записаны кинетические уравнения, анало­ гичные (9.1.7). Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы связанных уравнений и является очень сложной. Она су­ щественно упрощается, однако, если предположить,что все числа квазичастиц (л*„ щ-,, ...), кроме того, числа (щ-,), скорость из­ менения которого вычисляется, мало отличаются от равновесных

значений щ г пкг, ... Равновесные значения могут быть легко определены, если известна статистика квазичастиц. Для магнонов, а также фононов она является бозевской; полное число этих квазичастиц не сохраняется, и для их равновесных значений спра­ ведлива формула (8.4.22). Если для чисел nk„ ... принять равповесные значения, то правая часть уравнения (9.1.7) будет со­ держать только неизвестное щ, и это уравнение, как мы убедимся на ряде примеров, сможет быть представлено в виде

Величину 2шГі можно назвать частотой релаксации числа квази­ частиц в результате протекания всех тех элементарных про­ цессов, которые учитывались при суммировании в (9.1.7). Обрат­ ную величину тх = 1/(2озГ|) называют временем релаксации данных квазичастиц в результате протекания тех же процессов.

§ 9.2] СШ Ш -СІШ НОВЛЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ 465

Поскольку числа магноиов (см. § 8.4) пропорциональны квад­ ратам амплитуд переменной намагниченности, эти амплитуды

убывают, стремясь к равновесным значениям, по закону e~“rlf. Величина со,і, определенная выражением (9.1.8), является, таким образом, частотой релаксации амплитуды колебаний. Она пред­ ставляет собой вклад в феноменологический параметр <вг (см. § 1.3), обусловленный всеми процессами, которые были учтены при сум­ мировании в кинетическом уравнении (9.1.7).

Итак, метод вероятностей переходов, основанный на неста­ ционарной теории возмущений, позволяет вычислить параметры диссипации, обусловленной определенными процессами взаимо­ действия данного типа колебаний магнитной системы с другими типами колебаний. При этом, кроме спектра и статистики всех

лаксации.

Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением неметалличе­ ских (но не обязательно непроводящих) кристаллов. Главное внимание будет уделено процессам релаксации в ферромагнети­ ках или ферримагнетиках (ферритах) — для низкочастотного («ферромагнитного») типа колебаний.

§ 9.2. Спин-спиновая релаксация в идеальном магнитоупорядоченном кристалле

Перейдем теперь к рассмотрению процессов релаксации, про­ исходящих в магнитной (спиновой) подсистеме магнитоупорядо­ ченных кристаллов. Квазичастицами, о которых шла речь в пре­ дыдущем параграфе, будут теперь исключительно магноны. В этом параграфе мы будем исследовать так называемые собственные процессы релаксации, которые могут происходить и в идеальном кристалле. Возмущениями, вызывающими такие процессы, будут все те виды взаимодействий, которые приводят к высшим: трех-, четырех- и более — магнонным членам в выражениях типа (9.1.2) для гамильтониана идеального магнитоупорядоченного крис­ талла.

Источники и типы процессов релаксации в идеальном ферро­ магнетике. В § 8.5, исследуя гейзенберговскую модель ферромаг­ нитного кристалла, мы'видели, что обменное взаимодействие при­ водит к появлению в гамильтониане членов (8.5.16) четвертого порядка по операторам рождения и уничтожения спиновых от­ клонений. Переходя от этих операторов к операторам рожде­ ния и уничтожения магнонов, можно получить [3, 244] члены

четвертого порядка вида *) (ср. с выражением (9.1.2))

Заметим, что обменное взаимодействие не дает членов третьего по­

рядка, а также членов четвертого порядка с â\â \ (см. выра­ жение (9.1.2)). Причина этого заключается в том, что для про­ цессов, описываемых такими членами, число магнонов не сохра­ няется и, следовательно (см. § 8.4), не сохраняется М г. Оператор же энергии обменного взаимодействия коммутирует с оператором

M z, и поэтому величина М г, являющаяся средним значением опе­

ратора М г, должна сохраняться при процессах, обусловленных обменным взаимодействием.

Диполъ-диполъное взаимодействие, которое не требует сохра­ нения числа магнонов, приводит к появлению в гамильтониане членов третьего порядка и членов четвертого порядка типа

йз й\. Как показал Ахиезер [274], переход в гамильтониане диполь-дипольного взаимодействия (1.1.50) к операторам âH и

ЛІ (которые в пренебрежении третьим преобразованием Хольштейна — Примакова — см. § 8.5 — являются операторами рож­ дения и уничтожения магнонов) дает члены третьего порядка

углы векторов k2 и k 3 (ось z, как обычно, направлена по постоян­ ной намагниченности). Заметим, что, поскольку формулы (9.2.2) и (9.2.4) справедливы при fen <^ 1, они могут быть получены так­ же [285], исходя из континуальной модели ферромагнетика.

Процессы с участием меньшего числа частиц, вообще говоря, более вероятны, но обменное взаимодействие гораздо сильнее ди­ поль-дипольного. Поэтому необходимо учитывать как трехмаг-

Элементарные процессы, лежащие в основе трехмагнонных процессов релаксации (рассматривается релаксация магионов

фс волновым вектором ki)

но можно пренебречь всеми остальными членами, обусловленными диполь-дипольным и обменным взаимодействиями.

Перейдем теперь к подробному рассмотрению трехмагнонных процессов. Их впервые исследовал Ахиезер в уже неоднократно упоминавшейся работе [274]. Затем их изучали Каганов и Цукерник [292], Ахиезер, Барьяхтар и Пелетминский [293], Спаркс, Лудон и Киттель [285], ПІлёманн [296] и др.

Следует различать два вида трехмагнонных процессов: так называемые процессы расщепления и процессы слияния (табл. 9.2.1). В основе их лежат одни и те же элементарные тройные процессы, но они различаются по характеру суммирования элементарных процессов и вследствие этого, как мы увидим, существуют в раз­ личных областях частот и волновых чисел и приводят к различ­ ным температурным и иным зависимостям параметров диссипации. Процессами расщепления принято называть такие процессы ре­ лаксации, для которых прямые элементарные процессы (ведущие к уменьшению неравновесного числа % рассматриваемых магноиов) суть процессы расщепления этих магнонов на любые (но, ко­ нечно, удовлетворяющие законам сохранения) пары магнонов. Обратными процессами при этом являются элементарные про­ цессы слияния (табл. 9.2.1). Процессами же слияния называют такие процессы релаксации, для которых прямые элементарные процессы суть процессы слияния рассматриваемых магнонов с лю­ быми другими, а обратными элементарными процессами являются процессы расщепления.

Трехмагнонные процессы расщепления. Рассмотрим сначала обусловленные диполь-дипольным взаимодействием процессы рас­ щепления. Для них матричный элемент гамильтониана возмуще-

4G8 П Р О Ц Е С С Ы Р Ё Л а Н С А Ц Й П Ітл. а

пия (9.2.3), соответствующий прямому элементарному процессу (табл. 9.2.1), согласно формуле (9.1.3), запишется в виде

с тем, что в матричный элемент рассматриваемого перехода вно­

ного процесса (табл. 9.2.1), согласно (9.1.4), будет иметь вид

Полная скорость изменения числа интересующих нас магнонов запишется, согласно (9.1.7), следующим образом:

■ = ~д—2~ 2 2 ^ ^>,г2+ 1) па + 113?3d I г і) и2, пзУ |а +

23

+I <«і + 1, па — 1, п3— 11Ж га I Щ , п2, п3> I2] б (ТкОі— Гт %— 7ш3),

(9.2.7)

где С0],2,з — частоты соответствующих магнонов. Множитель 1/2 перед суммой в (9.2.7) введен потому, что одинаковые в действи­

Примем теперь, в соответствии с общим замечанием, сделан­ ным в § 9.1, что числа н2 и я 3 не отличаются от их равновесных зна­

чений п2 и п3. Формула (9.2.8) будет справедлива и при их = пх, но в этом случае, конечно, dnjdt = 0. Учитывая это, мы убежда­ емся, что формулу (9.2.8) можно записать в виде(9.1.8) и частота релаксации (амплитуды колебаний)

^ = -T T 2 2 I W ( * 2+ и3+ 1) А (кх— k2— k3) б (Тші— Нщ—Йсо3). 2 3

(9.2.9)

Наличие в выражении (9.2.9) множителя А (кх — к2 — к 3) озна­ чает, что к 3 однозначно (кх задано) связано с к2, и следовательно,

суммирование фактически должно производиться только по зна­ чениям одного из этих векторов. Таким образом,

<Йг1 = —-JT- 2 I ^1,23 Р {п2 4" пз + 1) б (^щ1 — ^й2 — h(Ü3). (9.2.10)

2

Условие кх — к2 — к 8 = 0 должно теперь учитываться при записи амплитуды и дельта-функции.

Для вычисления частоты релаксации целесообразно перейти в (9.2.10) от суммирования по состоянии к интегрированию по к2-пространству, аналогично тому, как это было сделано при вы­ числении намагниченности и теплоемкости в § 8.4. При этом, как мы видели,

2 ha

Интегрирование будем производить в сферических координатах. И поскольку в данном случае будут играть роль лишь малые, по сравнению с 1/а, значения волнового вектора, верхний предел при интегрировании по /с2 можно принять равным ос. Тогда вместо (9.2.10) ползшим

о о п 2п

(öri = (2nhf I) ^ ^ I Ъ ,* I2 (п2+ пз + 1) X

кі—о Оі=о Фя=о

X б (а»! — соа — ю3) к\ sin 03d/c2<i02<iqp2. (9.2.11)

При записи (9.2.11) было учтено свойство дельта-функции (С — постоянная величина) [30]:

Выражение (9.2.11) справедливо для любых трехчастичных процессов расщепления в идеальном кристалле. Для магионов

числа п2и /г3могут быть определены по формуле (8.4.22), а зависи­ мости частот магнонов (входящих в эту формулу и в дельта-функ­ цию) от волновых векторов определяются дисперсионным соотно­ шением для спиновых волн, которое подробно рассматривалось выше.

Высокотемпературное приближение. Рассмотрим случай до­ статочно высоких температур, когда

Для процессов расщепления заданная частота ац является наи­ большей из трех частот (щ, <в2 и ш3, и (9.2.13) сводится к условию

х7’>Ггсо1. (9.2.14)