книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

70 Глава 3

Здесь, как и ранее, q = к' — к, а к, к' — волновые векторы до и после столкновения. Последнее выражение после выполнения

Если применять эти формулы к сильно легированным полу­ проводникам, то к периодическому потенциалу решетки следует добавить потенциал экранированного кулоновского поля, кото­ рый можно записать в виде

Здесь х — диэлектрическая постоянная среды. Это истинный потенциал, а не псевдопотенциал, и поскольку он недостаточно велик, чтобы создать узлы волновой функции, можно надеяться, что борновское приближение будет удовлетворительным. Эта теория была тщательно проверена [271, 299, 347, 365, 381]. Для легированных кремния и германия получены следующие резуль­ таты.

а) При больших концентрациях, пользуясь формулой (см. 3.14)

где S — площадь поверхности Ферми, и, выводя среднюю длину свободного пробега L из сравнения с опытом, находим, что L порядка расстояния между центрами. Следовательно, рассеяние не мало, и применимость борновского приближения (3.4) сомни­ тельна; оно ведет к значениям L , приблизительно вдвое большим, чем наблюдаемые.

б) Для меньших концентраций п электронов в единице объема наблюдаемая проводимость убывает с п быстрее, чем это пред­ сказывает расчет, и вблизи перехода металл — неметалл (гл. 5) расхождение может быть 10-кратным, причем кажущаяся средняя длина свободного пробега становится меньше расстояния между центрами. Это, возможно, обусловлено погрешностью борновского приближения, но расхождение такого рода встречается и в других системах (жидкий цезий при высокой температуре, натрий, рас­ творенный в жидком аммиаке). В гл. 5 показано, что резкое убы­ вание о обусловлено приближением к переходу металл — неме­ талл, когда нужно ввести в (3.6) множитель g2, где g — отношение истинной плотности состояний к ее значению для свободных элек­ тронов (см. последнюю главу, а также 3.14). Другим фактором, который может способствовать расхождению теории и опыта, является возможное существование магнитных моментов цен­ тров (гл. 6).

в гл. 6; обычно она приблизительно такая же, как и подвижность проводимости.

Катц, Кениг и Лопец [272] сообщили, что в выражении для электрического сопротивления вырожденного 7г-германия имеется член, пропорциональный Т2, который они приписали рассеянию электронов на электронах (см. работу Бейбера [35], обзор Займаиа [554], а также работы Мотта [363] и Гартмана [232] по изме- • рению этого эффекта в некоторых полуметаллах, например B i ) . Член с Т2 обусловлен миогодолинной структурой зоны проводи­ мости и обращается в нуль, когда энергии долин становятся различными при механическом напряжении кристалла. В полу­ проводниковых соединениях с большими диэлектрическими по­ стоянными следует ожидать, что потенциал (3.5) очень мал и, сле­ довательно, подвижность велика. Алгайер, Скэнлон [15] и Хаус - тон [14] в своих исследованиях, посвященных PbS, PbSe и PbTe, нашли подвижности порядка 8 -105 с м 2 - В - 1 - с - 1 . Другие примеры рассмотрены в гл. 6.

3.3. УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Ж И Д К И Х МЕТАЛЛОВ; ТЕОРИЯ ЗАИМАЫА [555]

Если рассеивающими центрами являются атомы жидкого металла (или аморфной металлической пленки), то они не рас­ пределены полностью хаотически; амплитуда функции, рассеи­ ваемой на двух атомах, равна

Здесь N — число атомов в 1 см3 , a S (q) — структурный фактор, определяемый как

Здесь P (R) — парная функция распределения, P (R) d3X — вероятность того, что второй атом находится в объеме d3X на расстоянии R от данного атома. Пользуясь для / (0) борновским приближением и следуя Фаберу и Займану [164], можно записать удельное сопротивление р в виде

дается х ) , что сопротивление одновалентных жидких металлов

Ф п г. 3.2. Функция S (д) для жидкого свинца, полученная из данных по нейтронному рассеянию при различных температурах [389].

2 — при 340° С; г — при 600° С, 3 — при 780° С, 4 — при 1100° С.

при постоянном объеме пропорционально абсолютной темпера­ туре. Это указывает на то, что величина S (д) также пропорцио­ нальна Т в том интервале, где | v (g) |2 имеет заметное значе­ ние 2 ) . Для очень малых q структурный фактор S (q) дается фор­ мулой Орнштейна — Цернике

См., например, Лиен и Сивертсен [318]; для N a и К они наблюдали линейную зависимость р от Т при постоянном объеме в интервале температур порядка 200 К.

2 ) Пропорциональность между сопротивлением жидких металлов и тем­ пературой Т может означать, что сопротивление в основном обусловлено рассеянием на фононах. В пользу этого' свидетельствует тот факт, что сопро­

и справедлива как для жидких, так и для твердых тел. Но форму­ ла перестает быть верной вблизи q — 2kF даже для одновалент­ ных металлов, что подтверждается фпг. 3.2. Было высказано много противоречивых мнений по вопросу о том, можно ли объяс­ нить линейную зависимость р от Т экспериментальными значения­

гаем, что наблюдаемая линейная зависимость р от Т обусловлена тем фактом, что для реальных одновалентных металлов величина

в металлах, вычисленные с помощью формулы для свободных электронов:

жидких сплавов. Поэтому к большинству жидких металлов может быть применена теория возмущения Займана х ) .

х ) Условие kL ^> 1 вовсе не означает, что электроны приближенно опи­

сываются плоскими волнами. Так, например, в кремнии, гермаппп и соеди­ нениях A HI значение L весьма велико, но спектр и волновые функции

электронов совсем не такие, как у свободных электронов.— Прим. черев.

Однако следует заметить, что использование борцовского при­ ближения, не свободно от критики; v (q) при q = О обязательно равно г1зЕр, а эта величина не мала. Значение L велико только потому, что, как мы увидим ниже, величина S (q) мала для малых д.

Трудность использования теории для получения численных значений проводимости а заключается в ненадежном знании как S (q), так и в особенности v (q), а также в сомнительной пригодтности бориовского приближения. На фиг. 3.3 показаны некоторые

значения v (q), вычисленные Анималу и Хейне [25]. Все кривые проходят через нуль в окрестности максимума S (д), и благодаря этому проводимость весьма чувствительна к положению кривой v (q), как это особо показано вычислениями Эшкрофта и Лекнера [29], использовавших различные виды функций v (q).

Обращение в нуль величины v (q) означает, конечно, что при определенном угле 6 рассеяние отсутствует, причем амплитуда рассеяния, соответствующая сдвигам фаз функций s- и р-типа,

и поэтому удовлетворительное приближение для удельного сопро­ тивления можно получить только в случае, если справедливо борновское приближение, а сдвиги фаз действительно малы х ) .

х ) Некоторые вычисленные значения для щелочных металлов можно най­ ти у Эшкрофта [28].

С другой стороны, сдвиги фаз г|г для отдельного атома должны удовлетворять правилу сумм Фриделя

| - Е ( 2 г + 1 ) л / = 2 ,

уде z — валентность. Из этого уравнения можно вывести соот­ ношение (если считать все г|г малыми) [228, 235]

v(0)~EF.

Следует заметить [235], что правильно было бы взять точные значения сдвигов фаз, вычислить / (0) и подставить в форму­ лу (3.8). В соответствии с правилом Фриделя рассеяние на малые углы никогда не является малым и теория многократного рассея­ ния дала бы поправки, сравнимые с основной величиной. Теория возмущений справедлива только потому, что величина S (д) мала при малых д, а величина v (q) мала при больших q.

Аналогичные соображения позволяют установить различие между одновалентными и многовалентными металлами. В случае

с тем, которое было бы, если бы атомы были распределены хаоти­ чески. В многовалентных металлах величины обоих сопротивле­ ний сравнимы.

Обзор попыток получить детальное согласие между теорией и экспериментом приведен в работе Фабера [162]. Особо упомянем расчеты удельного сопротивления кристаллического и жидкого натрия, выполненные Грином и Коном [203] и Хасегавой [233] х ) . Авторы обеих работ нашли, что как в твердом теле, так и в жидко­ сти вычисленное удельное сопротивление равно половине наблю­ даемого. Дарби и Марч [118], однако, получили удовлетворитель­ ное согласие для твердого тела, учтя существенное изменение упругих констант с объемом.

3.5. УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Ж И Д К И Х СПЛАВОВ

Фабер и Займан [164] (см. также [162]) распространили теорию Займана на жидкие сплавы. Для полного описания бинарного сплава требуется знать три различные парные корреляционные функции Sn (g), S 2 2 (<l) и £ 1 2 (g), представляющие собой фурьепреобразование вероятности того, что атом сорта 1 или 2 находит-

х ) Эти авторы используют динамический структурный фактор, получае­ мый из дифракции нейтронов, который учитывает тот факт, что в жидкости, как и в твердом теле, соударения являются неупругими. Не ясно, насколько существенна такая корреляция.

78 Глава 3

С другой стороны, для одновалентных металлов S <^ 1, и основной вклад вносит р". Существенную роль играет интерференция воли, рассеянных различными атомами, точно так же, как в твердых сплавах, и получаются кривые типа изображенных на фиг. 3.4 для A g — A u п Na — К.

Теоретическое объяснение кривой для Си — Sn требует знания трех независимых парциальных структурных факторов, которые можно получить, комбинируя данные по дифракции рентгенов­

Ф и г . 3.5. Удельное сопротивление некоторых жидких амальгам в зависи­

мости от состава [4]. a— H g — Z n ; б— H g — P b .

падает с ростом концентрации; Мотт [364] дает сводку опытных данных, но предложенное им объяснение, возможно, некоррект­ но. До настоящего времени нет полностью признанного объясне­ ния, но Эванс [160] высказал предположение, что из-за близости заполненной зоны 5d к уровню Ферми имеет место необычно боль­ шой сдвиг фазы d и что его величина весьма чувствительна к энер­ гии. В результате величина v (q) везде отрицательна и не меняет знак в противоположность тому, что показано на фиг. 3.3. В слу­ чае двухвалентного металла величина S (q) может быть больше единицы в существенной области значений q (фиг. 3.1), так что р" может быть отрицательным. Если в этой области значений величины vt (q) и v2 (q) имеют противоположные знаки, р резко падает с ростом с.