![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах
.pdf160 |
Глава 5 |
новлено, что здесь имеет место та разиовидпость перехода Мотта, которая описывалась в настоящей главе [362, 501]. Как было най дено в работе Спенко [457], концентрация, при которой происходит переход, может быть рассчитана по формуле (6.5), если диэлект рическую проницаемость определять из соотношения (4.28). Пере ход можно наблюдать только при достаточно высоких температу рах, поскольку существует щель растворимости, показанная на
Переход металл-неметалл
|
Концентрация |
металла |
Ф п г. 5.17. Свободпая |
энергия металл-аммиачного раствора (из рабо |
|
|
ты [8'i]). |
|
Пунктирной |
кривой показана щель |
растворимости |
фиг. 5.17 пунктирной кривой. Очевидно, что только для кривых свободной энергии, подобных изображенным на фиг. 5.17 сплош ной линией, можно получить щель растворимости.
Природа перехода в металл-аммиачных растворах обсуждалась в работах Коэна и Томпсона [102] и Кеттролла и Мотта [84]. Если рассматривать проблему перехода с точки зрения, развиваемой в настоящей главе, то мы придем к заключению, что на металличе ской стороне перехода имеется небольшое число полостей, содер жащих внутри себя два электрона, а проводимость обусловлена лишними электронами, которые движутся по однократно заря женным полостям. Пустые полости схлопываются. С этой точки зрения проблема проводимости обсуждалась в работе Кеттролла и Мотта. Один из наиболее существенных моментов этой работы, как и работы Коэна и Томпсона, заключается в том, что на метал лической стороне перехода существуют полости, вследствие чего электроны движутся в сравнительно узкой зоне, подобной примес ной зоне в легированном полупроводнике.
Акривос и Мотт [3] рассмотрели данные, полученные по ядер ному резонансу в металл-аммиачных растворах вблизи точки пере-
Переход металл —• неметалл |
161 |
хода. В твердом теле линия ЯМР чрезвычайно сильно уширяется случайно распределенным магнитным моментом х ) .
Уширеиие линии ЯМР в жидкости существенно меньше, так как за время прецессии происходит многократное изменение кон фигурации моментов, благодаря чему случайное магнитное поле усредняется до исчезагоще малой величины. В этих условиях сдвиг Ыайта определяется плотностью состояний на уровне Ферми, как это было описано в 3.17. Экспериментальные данные свидетель ствуют о том, что величина N (EF) уменьшается по мере прибли жения к переходу, как этого и следует ожидать на основании моде ли псевдощели, развитой в 5.11. Следствия, которые вытекают из экспериментов по электронному спиновому резонансу и подтверж дают эту модель, обсуждаются в работе Кеттролла [83].
*) Во время написания этой книги еще не было известно, имеется ли температура Нееля у некристаллического ансамбля спинов с антиферромагпитиой связью. В работах Симпсона [460] и Кобе и Хэндрича [281] были сде ланы расчеты на основе предположения о существовании антиферромагнит ного порядка. С другой стороны, в экспериментах Сандфорса и Голкомба [485] па кремнии, легированном фосфором, не было обнаружено упшрения линии ЯМР, обусловленного спинами на изоляторной стороне перехода металл — неметалл, вплоть до температуры 1,3 К. Отсюда следует, что тем пература Нееля, если она существует, должна быть ниже этой величины.
1 1 - 0 1 1 4 2
Г Л А В А 6
П Р О В О Д И М О С Т Ь П О П Р И М Е С Я М
ИП Р И М Е С Н Ы Е З О Н Ы
6.1.ВВЕДЕНИЕ
Ханг и Глейссман [255] впервые обнаружили новый механизм проводимости в легированных германии и кремнии, который доми нирует при низких температурах и который теперь известен под названием проводимости по примесям. На фиг. 6.1 представлены экспериментальные зависимости сопротивления примесного гер мания р-типа от температуры, полученные Фрицше и Куэвасом [187]. Можно видеть, что в области низких температур эти зави симости обладают следующими особенностями:
а) они имеют вид
о = а 3 е х р ( - ^ 3 - ) ,
где энергия активации е3 обычно на порядок меньше, чем энергия ионизации донора пли акцептора (е ( );
б) коэффициент о"3 сильно зависит от концентрации доноров или акцепторов.
Именно такие зависимости проводимости от температуры и свя зываются с механизмом проводимости по примесям, который иллю стрируется схемами на фиг. 6.2 и 6.3. Предполагается, что элект роны туннелируют от одного примесного центра к соседнему центру не занятому электроном. Такие центры могут существовать только в компенсированном материале, т. е. в материале, содержащем акцепторы1 ), поскольку мы рассматриваем здесь столь низкие значения концентрации доноров ND, что материал всегда находится далеко от перехода металл — неметалл, на полупроводниковой стороне. Необходимость существования компенсации была впервые подчеркнута в теоретических работах Конвелл [105] и Мотта [361] как основное условие возникновения механизма проводимости по примесям, что было экспериментально подтверждено в работах Фрицше [183—185]. Все акцепторы являются отрицательно заря женными ионами, в то время как доноры частично заряжены и ча стично нейтральны. Перенос тока обусловлен туннелированием электронов с нейтральных (заполненных) доноров на заряженные
х ) Если ND есть концентрация доноров, a NA — акцепторов, то для полупроводника тг-типа NA < ND. Степень компенсации К равна отношению
NA/ND.
300 |
|
|
Температура, |
К |
|
|
|
4 |
3 |
г |
1,5 |
|
|
да"1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
_ |
10' |
— |
|
106
I
10*
10
-—
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
яг |
1 |
а г |
|
0,4 |
0,6 |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/Т |
|
|
|
|
Ф п г. |
6.1. Удельное сопротивление |
компенсированного германия р-тппа |
||||||||
|
|
|
|
(из |
работы |
[187]). |
|
|
|
|
Кривые — 1—1в соответствуют |
следующим |
концентрациям |
акцепторов |
(в |
с м - 3 ) : |
1 |
||||
7,5 • , 1 0 " ; 2 — 1 , 4 - 1 0 " ; |
з—1,5-101*;' |
4 — 2 , 7 - 1 0 " ; 5 — 3 , 6 - 1 0 " ; |
6 — 4 , 9 - 1 0 " ; |
7 — 7 , 2 - 1 0 " ; |
S— |
|||||
9 - 1 0 " ; |
9—1,4 1 0 " ; 10—2,4-10"; |
11—3,5-Ю10; |
12—7,3-10"; |
13—1,0 • 1 0 1 7 ; |
J4 — 1,5 • 10 1 ' - |
|||||
|
|
|
15—5,3-10"; |
16—1,35-10". |
|
|
|
|
11*
164 |
Глава 6 |
(незаполненные) (фиг. 6.3). Обычно считается, что разброс энерге тических уровней доноров связан со случайными электрическими нолями заряженных акцепторов и имеет порядок величины e2/xRA, где RA — среднее расстояние между акцепторами, однако мы уви дим, что и заряженные доноры также могут играть роль. Благодаря
Зона
проводимости
Доноры
е
е
А
Заряженные
акцепторы
Валентная
зона
Ф п г. 6.2. Энергетические уровни в легированном и компенсированном полу
проводнике п-типа.
Перенос носителей осуществляется путем перескока (термически активированного туннелированпя) электрона с занятого центра А на пустой центр В.
разбросу уровней электрон может перемещаться от одного центра к другому, только поглощая или испуская фононы. При низких температурах будут преобладать процессы, проходящие с погло щением фононов, что приводит к возникновению активациониой
|
© |
|
© |
© |
|
|
а |
|
б |
в |
|
Ф и г. 6.3. |
Положения |
в решетке донорпых |
центров (отмеченных |
плюсом |
|
|
|
в |
кружке). |
|
|
е/ — перескок |
с энергией активации е 3 ; |
б — возбуждение электрона в зопу е г ; |
е — дви |
||
|
жение в зоне |
стрелка |
обозначает лишний электрон . |
|
зависимости с энергией активации е3 , которая имеет порядок величины среднего разброса энергетических уровней доноров. Аналогичная картина справедлива и для компенсированного полу проводника р-типа, у которого i V A > ND.
Выше, в гл. 5, мы отмечали, что проводимость по примесям может иметь место обычно только на изоляторной стороне перехода
Проводимость по примесям и примесные зоны |
165 |
металл — неметалл, когда центры достаточно удалены друг от друга. С другой стороны, существует некоторое перекрытие вол новых фуикций электрона на этих центрах, благодаря которому происходит туннелирование. Вследствие туннелирования может образоваться зона, соответствующая перемещению электрона по занятым донорным центрам. Однако вдали от перехода металл — неметалл, на изоляторной стороне, величина щели Мотта — Хаб барда е2 /г1 2 , обусловленная отталкиванием электронов, находя щихся на одном атоме, будет больше ширины зоны. Другими сло вами, энергия е2 , необходимая для перемещения электрона с одно го донора на соседний, где уже находится другой электрон, оказы вается значительно больше ширины зоны. Щель е2 отделяет зону,
N(E)
|
а |
6 |
в |
|
|
Ф и г. |
6.4. Плотность состояний электронов в полупроводнике |
л-тлпа. |
|||
П о к а з а но |
расщепление примесной зоны на зону |
Е э (а) и зону |
е 2 (Ь); в — зона |
проводимо |
|
сти. |
Положение уровня Ферми |
показано |
д л я степени |
компенсации К |
< 0,5. |
соответствующую движению по занятым центрам [зона е2 , с зако ном дисперсии (5.2)], от обсуждавшейся выше примесной зоны, которая соответствует перескокам электрона на пустые центры. Плотность состояний схематически изображена на фиг. 6.4, где представлены обе примесные зоны; каждая из них содержит одно состояние в расчете на один донорный центр. В компенсированном полупроводнике уровень Ферми расположен в нижней зоне, где перенос электрона происходит путем перескоков с энергией акти вации е3 , мы назовем эту зону «зоной е3 ». Обозначим через et энергию активации электрона с уровня Ферми в зону проводимо сти. В веществах, исследованных экспериментально [121, 185], энергии е 2 и е 3 настолько сильно различаются, что не могут быть измерены на одном и том же образце.
Характер проводимости в зоне е 2 будет различным в зависимо сти от того, выполняется или нет условие Андерсона. Если оно выполняется, то перенос электронов будет осуществляться пере скоками, если же нет, то волновые функции будут делокализованными, и перенос будет иметь обычный зонный характер. Как пока-
166 |
Глава 6 |
зал Поллак [417], именно такой случай имел место в материалах, на которых Д'Алтрой и Фэн [117] провели измерения высокочастот ной проводимости.
Обсудим происхождение энергии активации для перескоков е3 . Если бы центры были расположены в узлах кристаллической ре шетки, то зона е3 имела бы ширину / , которую можно рассчитать на основе приближения сильной связи, как это сделано в гл. 5. Хаотическое расположение примесных центров приводит, как было показано в гл. 2, к дополнительному уширеиию зоны. Однако наиболее важное следствие случайного распределения центров заключается в появлении случайного потенциала U0 (ср. 2.4), обусловленного наличием заряженных акцепторов. Уширеиие, обусловленное учетом этого фактора, показано на фиг. 6.2. Как установлено Тузом [381, 513], эта ситуация представляет, собой простой пример локализации Андерсона, отличающейся от его исходной модели (гл. 2) только тем, что центры расположены бес порядочно. Согласно Андерсону, при U0 > 5 / в с е состояния в при месной зоне должны быть локализованными. Возникает вопрос, во всех ли случаях выполнение этого условия приводит к андерсоновской локализации на неметаллической стороне перехода ме талл — неметалл. В 6.3 будут представлены соображения, позво ляющие считать, что это действительно так во всех интересующих
нас случаях; поэтому далее мы будем считать условие |
U0^>5J |
|
критерием локализации. |
|
|
Заметим, однако, что существует случай, когда проводимость |
||
не будет иметь перескокового характера, даже если ширина зоны |
/ |
|
мала. Так обстоит дело при очень малой степени компенсации |
К. |
В этом случае свободные носители (дырки в нижней подзоне на фиг. 6.4) будут захвачены заряженными акцепторами с энергией связи порядка e2/xRD. Материал в этом случае подобен узкозон ному примесному полупроводнику и проводимость не будет носить перескоковый характер, если только случайные флуктуации доно
ров не приведут к возникновению |
локализации |
дырок. Рассмот |
|
ренная выше |
модель узкозонного |
примесного |
полупроводника |
была впервые |
предложена Моттом |
[361] для объяснения энергии |
активации е3 , когда андерсоновская локализация еще не была поня та. Насколько нам известно, экспериментальные подтверждения реализации такой модели отсутствуют. Наиболее прямым доказа тельством было бы' наблюдение термо-э. д. с , которая должна быть равна (к/е) г3/2кТ для такой модели, тогда как для термиче ски активированных перескоков она должна быть постоянной при низких температурах (см. 2.9.3). Другое доказательство можно получить, изучая высокочастотную проводимость [417].
Модель термически активированных перескоков была впервые рассмотрена в работах Туза [513] и Миллера и Абрахамса 1350, 351]. Большинство экспериментальных результатов, относящихся
Проводимость по примесям и примесные зоны |
167 |
к проводимости по примесям, несомненно, описывается этой мо делью, и ниже она будет рассмотрена.
6.2. МОДЕЛИ ТУЗА И МИЛЛЕРА I I АБРАХАМСА
В теории Миллера и Абрахамса предполагается сильная лока лизация носителей, так что волновые функции локализованных состояний почти совпадают с функциями изолированных центров и перекрытие считается малым. Расчет содержит три этапа.
а) Вычисление вероятности р перехода носителя с одного цент ра на другой. Переход между этими центрами происходит с уча стием фоионов, поскольку существует разность WD энергий этих центров. Такая задача рассматривалась в разделах 2.9.1 и 4.3. Ответ может быть получен с помощью выражения (4.7), если поло
жить 1п |
— V 2 e 2 a / x и считать, что к@ |
WD |
^> кТ. |
Это дает |
|||||
|
E\WD |
I e 2 a |
\2 |
/ |
„ |
„ |
WD |
\ |
/ Р |
|
Р = ^ Ш \ - ъ г ) |
|
e x P ( - 2 |
a |
i ? - ^ ) - |
(6-1) |
|||
Здесь |
s — скорость |
звука, |
Ех |
— деформационный |
потенциал, |
р 0 — плотность, R — расстояние между центрами. Волновая функ ция центра предполагалась сферически симметричной, убывающей с расстоянием как ехр (—аг). Радиус центра 1/а гораздо больше
постоянной решетки (1/a ~ 50 А) . Предэкспоненциальный множи |
|
тель в (6.1) для германия составляет около 10 1 2 с - 1 . Как |
указыва |
лось в гл. 4, этот множитель получен из теории довольно |
прибли |
женно и его численное значение может варьироваться в широких пределах. Кроме того, может оказаться, что несправедливы пред положения, положенные в основу сделанных приближений.
б) Усреднение подвижности по всем значениям разности энер гий доиорных уровней WD. В результате усреднения получается энергия активации перескоков е3 .
В работе Миллера и Абрахамса предполагается, что электроны перескакивают только на ближайший центр, поскольку множитель ехр ( — 2 a R ) очень сильно убывает с расстоянием. В этом случае, согласно (2.37), имеем WD ~ IN (EF) 7?ЬН - В разд 2.9.1 подчер кивалось, что такое допущение не справедливо для предельно низ ких температур; в этом случае наиболее вероятны переходы на центры, где минимальна величина разности WD, хотя такие центры и более удалены. В этой области температур, согласно теории, величина In р пропорциональна T~ifi. В германии и кремнии такой
зависимости |
не наблюдалось, однако ее получили |
на |
ЕиО |
(см. 6.12), а также на аморфных материалах, которым |
посвящены |
||
гл. 7 и 8. |
|
|
' |
Предполагая, что перескоки происходят только на ближайший |
|||
центр, для |
случая малых значений параметра компенсации |
К, |
Миллер и Абрахаме получили следующее выражение для энергии
168 Глава 6
активации перескоков 1 ) :
еп- I 1 |
1,35 \ |
,„ „. |
е з = — Ы ~ ~ 5 г Ь |
( 6 - 2 ) |
где i? д и R A — средние расстояния между донорами и акцепторами определенные так, что
^-RhND |
= i, |
RSAN А = 1 . |
Расчет энергии активации е 3 |
для значений параметра К, не |
малых по сравнению с единицей, представляет собой более слож ную задачу. Результаты расчета, выполненного Миллером и Абрахамсом, показаны на фиг. 6.5 сплошной линией 2 ) . Как показано в следующем разделе, в случае малой величины перекрытия энер-
1,5 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
а №
I
а
3
о, г |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
|
к |
|
|
Ф п г. 6.5. Зависимость энергии активации е3 от степени компенсации К, рассчитанная на основании соотношения (6.2) при ND = 2,66 - 10 1 6 с м - 3
(сплошная кривая).
К р у ж к а м и отмечены экспериментальные точки [381] .
*) Это выражение ошибочно. Правильная формула, полученная в работе Шкловского, Эфроса и Янчева [765], имеет вид
. |
е* / 1 |
0,3 \ |
Вопросы перескоковой проводимости по примесям в полупроводниках обсуждаются в недавно опубликованном обзоре Шкловского [762].— Прим. перев.
2 ) Этот расчет нам представляется также неправильным. Обсуждение этого вопроса дано в обзоре Шкловского [762].— Прим. перев.
Проводимость по примесям и примесные зоны |
169 |
гия активации г3 возрастает с уменьшением расстояния между центрами (RD на фиг. 6.6 и RA на фиг. 6.7).
в) Следующий этап расчета состоит в вычислении проводимо сти на основе выражения для вероятности перескока р, которое дается формулой (6.1). Как и в разд. 2.9.1, мы считаем, что только доля электронов, равная RDN (EF) кТ, принимает участие в про водимости. Для не слишком больших и не слишком малых значе
ний |
параметра |
К плотность состояний на поверхности |
Ферми |
N (EF) можно |
считать приблизительно равной (WnRh)'1, |
где |
|
WD |
— средний |
энергетический разброс уровней доноров (см. |
|
фиг. 6.2). Таким образом, коэффициент диффузии равен |
|
Множитель JCT/WD представляет собой долю электронов, эффек тивно участвующих в процессах перескока. Пользуясь соотноше нием Эйнштейна, нетрудно получить проводимость
а = 1 ^ » = 1 ш ф г 0 Ы ) |
« Р ( - 2 о Д | > — ж ) |
. (6.4) |
В расчетах имеется еще один |
этап. Множитель |
ехр ( — a R ) |
очень сильно зависит от R и окончательное усреднение представ ляет собой вычисление сопротивления.сильно разветвленной цепи большого числа сопротивлений. Этот расчет был сделан по-разному
в работах Туза и Миллера |
и |
Абрахамса. Их основной результат |
|||
состоит в том, что множитель |
ехр ( — 2 a R ) |
следует |
заменить на |
||
ехр {—1,09 (aR)3/2}. |
Этого |
не содержится |
в работе |
Т у з а 1 ) . |
6.3. ПРОВОДИМОСТЬ ПО ПРИМЕСЯМ В КРЕМНИИ I I ГЕРМАНИИ
На этих материалах было проведено много измерений. В отноше нии сопоставления теории с экспериментом здесь имеются два пре имущества: хорошо известная структура зон и отсутствие услож нений, связанных с наличием двух предельных значений диэлект рической проницаемости е0 и 8» .
Вплоть до 1960 г. эксперименты с германием и кремнием про водились на образцах, легированных подходящими примесями. Однако для количественного сравнения с теорией желательно, чтобы концентрация основных носителей была постоянной, а изменялась компенсация К или, наоборот, была постоянной ком пенсация, а изменялась концентрация основных носителей. Такие условия были впервые реализованы Фрицше и Куэвасом [187] посредством введения примесей путем облучения медленными ней-
*) В обзоре Шкловского приведено правильное выражение этого экспо ненциального множителя. Оно отличается как от формулы Туза, так и от формулы Миллера и Абрахамса, хотя ближе к формуле Туза. — Прим. перев.