Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

18.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава. 2

Отсюда следует, что при больших R средняя разность AW между энергиями состояний вблизи уровня Ферми дается выражением

	ДW = 3/4яЯ3N (EF).	(2.40)
Рассматривая скачки носителей тока с энергиями		вблизи EF,
следует различать две	области Т.
а) Область высоких температур. Здесь множитель ехр ( — 2 a R )
обеспечивает перескок	электрона лишь иа малое	расстояние,

т. е. к одному из ближайших центров. В модели Андерсона вели чина W порядка ширины зоны, но меняется при смещении уровня Ферми. Согласно вычислениям Миллера и Абрахамса [350, 351] (см. также гл. 6), величина W будет минимальной, когда зона заполнена наполовину. Энергия активации не зависит от темпе ратуры.

б) Область низких температур. Здесь W определяется выра

жением	(2.40) и частота перескоков равна
	v$o„ ехр { -	2аЛ -	[ (	)	ДW	(EF) кТ~]~1} .
Наиболее вероятны		скачки	при		таком значении R,		что
		2a =			mnR*N(EF)kT,
откуда	получаем для частоты			перескоков
	v 4 0 H e x p ( - ^ ) ,		Д « 2 , 1			Ы ^ Г Г -	(2-41)

Таким образом, мы ожидаем, что логарифм проводимости пропор ционален Г- 1 /*. Примеры такого поведения приведены в гл. 6 и 8 как для аморфных, так и для кристаллических веществ (с беспоря дочным распределением центров). Адкинс, Фрик и Гамильтон [5] наблюдали аналогичную зависимость в аморфном углероде.

Обратимся теперь к ситуации,	когда	состояния при Е	= EF
не локализованы и величина (а)	при Т	= 0 конечна. Это	имеет

место для ряда систем. Упомянем здесь проводимость по вырож денным примесным зонам в кристаллических полупроводниках и сошлемся на работу Катлера и Ливи [114], посвященную Ce2 S3 (гл. 6). Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что, как только состояния делокализуются, проводимость имеет при близительно то же значение (2.31) г ) , что и вычисленная по модели Андерсона, а именно ( а ) Е = Е ~ 0,06ег /7шЕ . У нас нет теоретической модели, которая позволяла бы с уверенностью предсказать

г ) Это весьма удивительно, особенно если принять во внимание тот факт, что в двух приведенных примерах величины аЕ различаются приблизи тельно в 15 раз.

Теория электронов в некристаллической среде

такой	результат, и поскольку в модели Андерсона значение
(G)E=E„	несколько зависит от координационного числа, никогда
	С

нельзя ожидать точного согласия с опытом. Однако, если допустить применимость метода Андерсона к системам, подобным двум упомянутым выше, где можно менять концентрации электронов, так что EF смещается из области, где состояния локализованы, в область, где они не локализованы, и, значит, пересекать крити

ческую энергию Ес,	можно ожидать, что при Т =	0 величина	(а)
меняется скачком	до приведенного выше конечного значения.
При таких температурах, когда кТ порядка энергии скачка			W,
также следует ожидать резкого изменения (а),		поскольку ниже
Ес проводимость	зависит от фононной частоты	v $ 0 H . Тесно	свя

занная с ним проблема скачка подвижности обсуждается в следую щем разделе.

Наконец, мы приняли повсюду в этой главе, что корреляцион ный член e2/ri2 несуществен. Как будет показано в гл. 5, при низкой концентрации электронного газа может произойти лока лизация, вовсе не связанная с беспорядком. Более подробное обсуждение этого эффекта отложим до гл. 5.

2 . 9 . 2 . "АМОРФНЫЕ П О Л У П Р О В О Д Н И К И ; СКАЧОК ПОДВИЖНОСТИ

Рассмотрим теперь случай, когда величина (аЕ) пренебрежимо мала при Е = EF и ток переносится электронами (или дырками), возбужденными в зону проводимости (или валентную зону). Введем подвижность ц и подчеркнем то существенное обстоя тельство, что как локализованные, так и нелокализованные состоя ния в зоне могут проводить ток.

Рассмотрим сначала вклад, вносимый в проводимость носите лями тока с нелокализованными волновыми функциями. Соглас но (2.11), он равен

< т = - J < c r B ( 0 ) > ^ - d S ,

поскольку

полупроводнике

- (

- E F ) / k T t

э^го\дает

a = a

„

e x p [

- f

]

(2.42)

где

О"О =

<О-(0)>В=ЕС .

Здесь оо — ранее

вычисленная величина

порядка 350 О м ^ - с м - 1

при z = 6. Подвижность

можно определить

только

тогда, когда

известна величина N (Ес).

Поскольку число электронов с энергия

ми

выше Ес

равно

N(Ec)kTexV[-^^l],

52		Глава	2
подвижность	L i c при Ес	равна
	leN	(Е) K l	]Е=ЕС'

Чтобы получить порядок величины, полагаем, что ширина зоны

определяется выражением В

= ffilmR2,

что дает значение порядка

эВ, и

затем

принимаем

vV (Ее)

0,2/R3B;

коэффициент 0,2

выбран для того, чтобы энергия Ес

лежала на несколько десятых

электронвольта выше края зоны. Тогда находим u.c =

0,3eU/mkT?a

m 12 с м 2

- В - 1 - с - 1 при комнатной температуре, но возможно и дру

гое значение. Эта формула позволяет

нам

записать

подвижность

форме,

характерной

для

диффузионного

движения:

где

v O T — электронная

частота,

которая

зависит

от

принятого

значения

N (Ее),

но по порядку

величины

равна

Другой вывод формулы типа (2.43)

см. в

работе

Коэна

[100].

При Е =й; Ее

проводимость осуществляется перескоками;

пре

небрегая

множителем

e~2aR,

можно

записать

"перескок =4"

v4>°a (^f")

х Р (

— .

(2 -44)

при

Г ф о н

— фононная

частота,

обсуждаемая

гл.

Величина

V <J>OH

п 0

порядку не выше

10 1 2

с -

1 .

Вблизи

Ее

можно принять

кТ.

Таким

образом,

можно ожидать падение

подвижности

в 103

раз, когда энергия Е проходит значение Ес (или Ev

в валент

ной зоне). Это падение подвижности названо скачком подвияшости и впервые описано Коэном х ) . Если на фиг. 2.12 АЕ < 5 кТ, сле дует ожидать, что при комнатной температуре ток переносится

электронами (или дырками) в делокализованных		состояниях.
Как впервые указал Штуке [481—483], для многих полупро
водящих стекол график зависимости I n о	от ИТ хорошо		описы
вается прямой в значительном интервале	температур, и		тогда 2 )
а = Се-Е1*т.			(2.45)
Величина С часто лежит в пределах 103 —104		О м - 1 - с м - 1 .	Обзор

экспериментальных данных приведен в гл. 7. Для объяснения

этой	величины следует допустить, что уровень Ферми закреплен
*)	На конференции в 1968 г. (См. также [101, 368].)
2 )	Впервые на этот вид зависимости указал проф. Б. Т. Коломиец с сот

рудниками в серии статей для стекол различного состава (см. [636—638]).—

Прим. перев.

Теория электронов

некристаллической

среде

на

своем

значении

Ер,

соответствующем

нулю

температуры.

Так

будет

в случае,

если

вещество

является

истинным

соб

ственным

полупроводником

кривые

плотности

состояний в

зоне

проводимости

в валентной

зоне

имеют

одинаковую

форму вблизи краев

зон, или, иначе (см. 2.10), когда вблизи

середины

запрещенной

зоны плотность

состояний

велика,

на

пример, вследствие структурных дефектов. Электроны забра


сываются в состояния					с энергией больше Ее (фиг. 2.17). Тогда
проводимость			имеет		вид
(2.42).		Другой		вариант М(Е)\
объяснения формулы(2.45)
состоит		в допущении, что
Ее — ЕР		меняется		линейно
с	температурой,
Ес	— Ер =		Е (0)	-	уТ;

при этом также получа ется линейная зависимость In а от ИТ вида (2.45), причем

Е(0)

С = a0ev/fc,

InJUL

О-0=(СТ (0))р=Ес-

Если

подвижность

на

границе

падает приблизи

тельно в 1000 раз, а ток при

комнатной температуре пе

реносится

электронами

Ф и г.

2.17.

Скачок подвижности, пока

нелокализованных

состо

зывающий

резкое

падение

подвижности

яниях, то, как мы виде

при

Е <

Ес.

ли,

АЕ

— интервал энер

гий,

котором

состояния

локализованы,-

не

может

быть

больше,

чем приблизительно

0,2

В.

В действительности во всем температурном интервале следует

ожидать

три

составляющие

проводимости,

т. е.

о = С ехр ( -

* , )

ехр ( -

§ )

+ С2 ехр ( -

) .

(2.46)

Здесь С «

103

О м - 1

- с м - 1 ;

эта величина уже обсуждалась.

Второй

член обязан электронам, возбужденным на край зоны, и для него

Ci ж 1	О м - 1 - с м - 1 и Et	= Е — АЕ +	AW; последний	член обу
словлен	перескоковой	проводимостью	электронов с	энергией,

54	Глава	2
близкой к Ер,	так что С 2 <С Ci	и £ 2 €	при очень низких

температурах ехр (—Е2 /кТ) следует заменить на ехр (—const •Г"1 /*). На фиг. 7.7 в гл. 7 схематически представлено ожидаемое пове

дение а, а в следующих главах даны некоторые примеры. Величина у имеет важное значение. В принципе она может

быть определена по изменению ширины оптической запрещенной зоны с температурой или из измерений термо-э. д. с. (гл. 7). Вели чина у может быть частично связана с тепловым расширением, но в веществах, в которых щель обусловлена структурой, кри сталлической или аморфной, зазор может меняться с возраста нием Т даже при постоянном объеме. Более подробно этот вопрос обсуждается в гл. 3.

Следует заметить, что независимое от Т значение С может встре чаться и в кристаллических полупроводниках. Для этих веществ

число		электронов		в	зоне	проводимости или		в	валентной зоне
в	единице объема			равно
подвижность \|л равна ет/тп*. Можно записать								т — L/v, &/2m*vi =
=	кТ	и L да a (ЛкТ),			где /	составляет несколько			электронвольт.
Таким		образом,	в случае решеточного				рассеяния
						eaJ
Коэффициент в			проводимости поэтому				имеет	вид
					„	( 2 я ) 3 / 2 e4Jm

и не содержит Т. Более того, он того же порядка, что и в случае носителей тока у скачка подвижности в аморфных полупроводни ках. Это сходство случайно: большая эффективная плотность состояний у скачка подвижности приблизительно компенсирует уменьшение подвижности.

Следует подчеркнуть, что подвижность (х (Ее), которая может быть выведена из а0 в выражении (2.43), не совпадает с дрейфовой подвижностью, определяемой при инжекции электронов или дырок

в	аморфный	полупроводник.	Если инжектировать электроны
в	вещество с высоким сопротивлением и если глубоких			ловушек
мало и они		влияют слабо, то	при низких температурах	следует

ожидать перескоки между локализованными состояниями, тогда как при более высоких температурах дрейфовая подвижность определяется захватом на ловушках.

Представляет интерес теоретическая оценка интервала энер гий Д.Е. Мотт [371] предположил для халькогенидных стекол, селена, теллура и других веществ, в которых я-орбитали образуют

Теория электронов в некристаллической среде

валентную		зону, что в		формуле (2.33) можно принять U0m			J .
Это	дает	значение	А.Е	порядка 0,1		эВ.
			2.9.3. Т Е Р М О - Э . Д . С .
В	этом	разделе	мы	дадим	сводку	формул, необходимых	для
интерпретации термо-э. д. с.					Последнюю можно выразить через

аЕ. В 2.2 мы ввели аЕ для разупорядоченной решетки при нуле температуры и показали, что при конечной температуре

Можно также обобщить эту формулу на случай перескоковой проводимости. Если р есть вероятность того, что электрон за единицу времени перескочит в другой узел, то можно записать

						aB =	tPRN{EF),
и	формула		для	а сводится к (2.36). В				этом случае		термо-э. д. с.
S	можно		найти		из	уравнения	[116]
Доказательство				следующее. Если			F — поле, то ток dj,				переноси
мый		электронами			с	энергиями	от Е	до	Е + dE,	равен
						dj=-aB(-^)FdE.
Свободная энергия, переносимая этим током, равна — {Е											— EF)dj/e,
что		дает
			-	(Е -		E F ) 4 = ± - g - Ge		(Е -	E F ) F dE.

Интегрируя это выражение, получаем полный поток тепла, пере носимый электронами, равный /П, где П — коэффициент Пельтье, так что

	П '" = Т -			^s-§L(E-Ep)dE.
Поскольку S = П/Т, отсюда следует формула (2.47).
Теперь легко вывести следующие формулы. Если подвижность
такова, что ток	переносится	электронами с				энергиями, близкими
к EF, получим	известную	формулу			для	металлов
	s ^ J f	L	\	^ n		(2.48)
	3	е	L	dE	JE=EF	v	'

независимо от того, осуществляется ли проводимость перескоками или нет. В случае перескоковой проводимости, когда а имеет вид

56	Глава. 2
о"з ехр ( — W/kT),	S дается выражением
S = J^±\kT^A-^f\		.	(2.49)

3 е L

dE J E = E „

Применение этой формулы к сульфиду церия (гл. 6), к аморфному M g — B i (гл. 3) и к стеклам, содержащим ионы переходных метал лов (гл. 6), обсудим ниже. Следует подчеркнуть, что полученные формулы справедливы только при кТ <С Ер.

Если в параболической зоне находится невырожденный элек

тронный газ, то
~(т)	к Х у I n Г + const.	(2.50)
~(т)
Если кТ больше ширины зоны, то

			5 = ( 4 ) 1 п Т ^ Г '			С 2 -5 1 )
где		с — отношение чнсла электронов к числу атомов.				Форму-
лу		(2.51) вывели	Хейкс и Юр	[234]. Она находится в		согласии
с	экспериментом		для стекол,	содержащих	ионы ванадия V 4 +
п	V 5 + (гл. 6).
		Для полупроводников, в которых можно ввести понятие сред
ней		длины свободного пробега		L , получим	обычную	формулу

* - T ( - V t + f + ' ) •

где	г = d (In x)ld (In E ) , а				т — время	релаксации. В			случае
аморфных		полупроводников,			еслн величина		О"Е принимается			рав
ной нулю		при Е < Ее,		а при Е > Ес		ведет	себя	как о0	+	&Е,
то	можно	найтп [116]
		S = —к	[Е°кТЕр	+ 1 + Ч л е н ы		порядка		Г ) .	(2.52)
		е

В случае многих видов проводимости некристаллических веществ, как, например, проводимость в примесной вырожденной, зоне, средняя длина свободного пробега оказывается порядка расстояния между атомами и проводимость должна зависеть от Е как IN (EF)]2 [формула (3.16)]. Поэтому можно ожидать, что для термо-э. д. с. хорошо выполняется соотношение

(2.53)

Таким образом, заполненная наполовину примесная зона должна дать нулевое или малое значение термо-э. д. с. В случае перескоковой проводимости [формула (2.49)], поскольку величина сг0 пропорциональна N (Е), первый член в (2.49) будет иметь ана-

Теория электронов в некристаллической среде	57
логичный вид. Следовательно, термо-э. д. с , обусловленная	при

месной проводимостью по донорам, будет р-типа, если компенса

ция	К меньше, чем '~ , 1 /	2	(гл. 6). Изменение знака термо-э. д. с.
при	низких температурах		— обычное явление, которое может быть

интерпретировано как изменение механизма проводимости от

переноса заряда возбужденными носителями (либо			в нелокализо-
ваиных, либо в	локализованных	состояниях) к	проводимости
по какой-либо	зоне дефектов.	Примеры приведены в гл.
6 - S .

2.10.ПЕРЕСКОКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ

Мы уже рассмотрели при нулевой температуре величину о (со) — проводимость при частоте со. Она вычислена с помощью формулы Кубо, удобной для расчета оптических переходов между занятыми и- свободными уровнями в веществе. При низких частотах вели чина сг (со) обычно выводится другими методами, основанными на уравнении Больцмана. Так, например, если ток переносится электронами в нелокализованных состояниях, проводимость при частоте со дается формулой Друде

где N — эффективное число свободных электронов в единице объема, а т — время релаксации. Следует подчеркнуть, что, пока обмен энергиями с фопопами не играет существенной роли (кото рую он играет в случае перескоков), формула (2.54) должна следо вать из формулы Кубо — Гринвуда (2.10). Мы видели также, что формула Друде справедлива только при kL i; ее, конечно, нельзя применять к свободным носителям вблизи критической энергии Ее [371].

Если состояния локализованы, проводимость осуществляется перескоками и а (0) стремится к пулю с Г; мы уже видели, что при абсолютном нуле величина о (со) пропорциональна со 2 . Следует ожидать, что проводимость будет зависеть от частоты, если веще ство неоднородно в макроскопическом смысле. Например, если вещество с проводимостью о0 содержит области с пониженной


проводимостью		с г в , которые	занимают		долго / объема тела, то
элементарный		расчет показывает,		что	при со <С 16я 2 с г 0 с г в			про
водимость пропорциональна			оп, а	при со0 >		а0	проводимость
равна а0 . Внутри интервала			4я У а0ов		<С со <С а0		проводимость
растет	с частотой пропорционально			со 2 . Фольгер		[525] дал		обзор
таких	механизмов.

58	Глава 2
	2.10.1. Д Е Б А Б В С К А Я ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ ПРИ
	ПЕРЕСКОКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ
В	этом разделе мы покажем, как вычислять проводимость

и угол потерь, обусловленные термически активированными пере скоками из одного локализованного состояния в другое. Это служит примером дебаевской теории потери энергии, имеющей следующую схему [192].

Допустим, что вещество содержит п узлов в единице объема, в каждом из которых диполь D имеет два возможных положения

сэнергиями W\, W2, так что

AW=Wi-Wz.
Если диполь составляет угол 0 с полем F, поляризация,		произво
димая полем, может быть	вычислена и равна
FD%	cos 2 Q/kT
и величина cos2 9, усредненная по всем направлениям,		равна 1 / 3 .

Тогда, согласно исследованиям Дебая, если т — среднее время

перехода из верхнего	состояния	в нижнее,		то
, ^ _	гсОа	1	( 0 2 Т		, , , г ,
aW-	TkTi + exp^W/kT)		1 +	<D«T« •	^ • 0 0 >
В аморфных телах	мы имеем	дело с	ситуациями, в		которых

о ( о ) следует усреднить по некоторому интервалу значений &.W.

Если вблизи AW = 0 имеется		N (W)	dW пар с AW	в интервале
dW, то, поскольку
1
j	(1+х)'1	da; =	In 2,
о
находим
° М	=		•	(2-56)

Возможно, следует усреднить также по т. Предположим, что про цесс релаксации включает переход электрона через барьер высо той £/, так что

T	1= v $ 0 B e x p		(/--йг) U \ ,
а В (U) dU — число барьеров		высотой от U до U -f- dU. Тогда
	dx	_	dU
	х	~	кТ '

так что среднее от со2т/(1 -f- ш2 т2 ) равно

Теория	электронов		в некристаллической среде				59
Если величина	В (U)	постоянна,				это дает
		•j	nkTB	(U) со
и
а (со) «		0,3/iJV (W)			В (U) D2kT®.		(2.57)
Проводимость пропорциональна				Г	и	со.

Большинство процессов, в которых а усредняется по некоторому интервалу значений т, дают значение ст(со), приблизительно про порциональное со. В случае некристаллических тел наиболее важный из таких процессов — это термически активированные перескоки электронов между локализованными состояниями. Мы уже обсуждали вклад этого процесса в проводимость на

постоянном токе и вернемся к нему в гл. 6.	Если два	центра
с энергиями, отличающимися иа A.W, находятся на расстоянии R
друг от друга, то вклад в а дается выражением	(2.56) с D	= еЛ;

если это выражение усреднить по всем ДИ7 , оно дает (2.57). Здесь т — среднее время туннелирования, облегченного фононом:

4 = , у Фоне - 2 а К .

Заметные вклады в проводимость дают центры с энергиями, отличающимися приблизительно на кТ или меньше от уровня Ферми, так что, если в единице объема содержится п центров, то

o(a)=0,2n2D2[N

(W)]2kT

j-JgL-^AnRtdR.

Полагая

— = 2adR,

т.'

видим, что основной вклад в интеграл дают значения R вблизи критического радиуса R , где сот « 1. Величина Л ш определяется выражением

Таким образом,

а (со) = 4р (In 2) е2кТп2 [N (\¥)}2а~5 [ i n ( ^ ~ ) ] 4 со, (2.59)

что можно записать в виде

а (со) « 2,5е2

) ' акТаТ* [ i n ( - ^ - ) ] * .

(2.60)

Следует заметить, что эта формула выведена при двух допуще ниях.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ