книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

На фиг. 2.7 это показано для плотности состояний, получающейся при потенциале Андерсона. Другие примеры будут приведены ниже.

Мы можем лишь умозрительно рассуждать о поведении вели­ чины (а) п волновых функций в окрестности энергии Ес. Мотт 1368—371] предположил, что при значениях Е, чуть меньших

ния далеки друг от друга, то перекрытие орбиталей мало и вероят­ ность перескоков также мала; с другой стороны, чем дальше элек­ трон может туннелировать, тем из большего числа состояний он может сделать выбор и тем больше вероятность найти состоя­ ние с приблизительно той же энергией. Предположим поэтому, что, когда Е стремится к Ес снизу, энергия активации переско­ ка W стремится к нулю как величина, кратная С/0 а'3 . -Энергия W схематически показана на фиг. 2.8, б. Мы вернемся к этому вопро­ с у в 2.9.

При значениях Е, несколько больших Ес, волновые функции, как мы полагаем, должны иметь вид, показанный на фиг. 2.3, б; знак волновой функции на каждой яме также случаен, но волио-

Будем исходить из формулы (2.10) и предположим, что между волновыми функциями в каждой яме существует случайное соот­ ношение фаз. Тогда

D = Ny%

где N = Q/a3 — число ям в объеме Q, а

здесь интегрирование проводится по одной яме. Трудность задачи заключается в оценке величины б. Примем, что она равна значе­ нию для периодической решетки (т. е. для U0 = 0). Тогда вели­ чина б близка к величине вектора тока, так что (см. копец гл. 2)

< 2 ' 2 8 >

где «г* — эффективная масса в периодической решетке, а к — волновое число г ) . Таким образом,

при координационном числе 2 = 6. Это значит, что для энергии Ег лежащей в середине зоны, металлическая проводимость в момент

г ) Лучшее приближение, возможно, получается, если вместо (2.28) записать

основана на допущении, что некоторые из представлений, выве­ денных из упомянутой модели, особенно представления о локали­ зованных состояниях, энергии Ес и минимуме металлической проводимости а0 = 0,06е2 /ЙаЕ , могут применяться к аморфным и жидким полупроводникам. Однако, прежде чем описывать эти более общие проблемы, мы должны установить, до какой степени адекватно приближение невзаимодействующих электронов (Хартри — Фока) для нашей задачи.

В приближении Хартри — Фока энергия состояния, получен­

металлов и вообще в случае нелокализованных волновых функций это приближение удовлетворительно. Однако как только появ­ ляются локализованные состояния, это приближение становится несправедливым, так как вследствие кулоновского отталкивания е2 /г1 2 между электронами энергия, требуемая для удаления перво­ го электрона из дважды занятого состояния, меньше, чем для удаления второго. Таким образом, необходимо учитывать, что энергия состояния зависит от того, занято ли оно двукратно или однократно. Другими словами, сродство к электрону и потенциал ионизации не равны друг другу.

В случае рассмотренной нами в гл. 6 проводимости по приме­ сям имеет место сильная локализация; разность ei — е 2 между потенциалом ионизации 8i и электронным сродством е 2 велика. Следовательно, в этом случае мы будем иметь только однократно занятые центры. Последние вносят вклад в парамагнетизм, хотя, если волновые функции этих центров перекрываются, между ними возникает связь, по-видимому приводящая к антиферромагнетиз­ му. Об этой связи известно мало.

В случае слабой локализации, как показано на фиг. 2.3, в, разность между электронным сродством и потенциалом ионизации должна быть мала. Число однократно занятых состояний при этом мало и возникает сильная связь между их спинами. Деталь­ ного исследования магнитных свойств такой системы не произво­ дилось, но по мере того, как локализация становится слабее, следует ожидать постепенного появления спинового парамагнег тизма Паули, не зависящего от температуры. Некоторые рассуж­ дения по этому вопросу приведены в 6.9.

Можно сделать еще один важный вывод относительно локали­ зованных состояний. Энергетические уровни зависят от того, занято ли электроном данное состояние или свободно. Числа заполнения окружающих состояний благодаря обменным силам также зависят от заполнения данного состояния. Влияние этих многочастичных эффектов на процессы переноса еще предстоит исследовать.

2.7. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ

До сих пор мы рассматривали простейший возможный неперио­ дический потенциал, а именно модель Андерсона — кристалличе­ скую систему ям случайной глубины. Теперь применим введенные понятия к другим системам. Начнем с плотности состояний. Как отмечено выше, если воспользоваться моделью невзаимо­ действующих электронов, понятие плотности состояний N (Е) пригодно как для кристаллических, так и для некристаллических тел. В предыдущем разделе мы видели, что, если состояния лока­ лизованы, волновые функции неодинаковы для двух направлений спина, но плотность состояний, усредненная по большому числу атомов, будет той же самой. Было установлено также, что в неко­ торых областях энергии волновые функции локализованы, а в других областях нет. В настоящем разделе мы рассмотрим плотность состояний, а также факторы, влияющие на нее, и приведем неко­ торые дальнейшие соображения относительно условий, при кото­ рых происходит локализация состояний. Имеется мало точных доказательств, и поэтому мы будем обобщать то, что можно извлечь либо из теоретических расчетов, основанных на приближениях, либо из экспериментальных наблюдений.

2.7.1. БЕСПОРЯДОЧНОЕ Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е ЦЕНТРОВ

ВПРОСТРАНСТВЕ

Одной из простейших является задача о беспорядочной системе центров, каждому из которых соответствует атомная функция s-типа. Отличие от модели Андерсона заключается в том, что при этом нет случайного потенциала, зато узлы расположены в объеме хаотически. Случай слабого рассеяния, когда центры расположены вплотную друг к другу, рассматривается в гл. 3, посвященной жидким металлам. В настоящем разделе подход опять основан на приближении сильной связи. Такое рассмотре­ ние мы применим к примесной зоне полупроводников без компен­ сации и, следовательно, без случайного потенциала; хотя, если концентрация не лежит достаточно далеко в сторону металла от перехода металл — неметалл (гл. 5.6), трактовка, пренебрегающая корреляционным членом е2 /г1 2 , приведет к ошибочным результатам.

Лифшиц [320] рассмотрел эту задачу, разделив центры на пары таким образом, чтобы расстояние между атомами в каждой паре было возможно малым по сравнению со средним расстоянием между парами. Результаты такого рассмотрения показывают следующее:

а) зона расширяется, причем ее ширина равна максимальному расстоянию между уровнями четного и нечетного состояний пары атомов;

б) если среднее расстояние между атомами достаточно велико, плотность состояний обнаруживает минимум в середине примес­ ной зоны (фиг. 2.11). Это объясняется следующим. Если Е — энергия электрона в изолированном состоянии, то энергия элект­ рона в поле пары атомов имеет вид

Е±1,

где I — энергетический интеграл перекрытия (как в Н^) для двух атомов. Доказано, что, если среднее расстояние достаточно велико, плотность состояний в центре понижается. Вольф и др.

Ф и г . 2.11. Плотиость состоянии в примесной зоне по Лпфшпцу.

J545] измерили величину N (EF) в примесной зоне р-кремния методом туииелирования сквозь барьер и обнаружили минимум плотности состоянпй, который можно интерпретировать, как описано выше х ) .

Мотт [368] привел качественное истолкование условий лока­ лизации в этом случае. Он нашел, что, если волновая функция спадает как ехр (— аг), величина aR должна быть больше восьми (R~3 — число центров в единице объема). Это условие может поте­ рять силу, если зона содержит один электрон на атом, так как тогда вещество может стать непроводящим из-за^члена е 2 / г 1 2 раньше, чем наступит локализация, обусловленная раз\порядочением (гл. 5). Если число электронов меньше одного на атом, как это имеет место в полупроводниках при наличии компенсации, то появляется хаотическое поле (гл. 6).

Плотность состояний и условия локализации в случае, когда каждый центр создает случайный потенциал, уже обсуждались.

х ) Другое объяснение заключается в том, что для значений R, приближа­ ющихся к переходу металл — неметалл, плотиость состояний должна быть мала для одного электрона на центр вблизи уровня Ферми, а значит и в се­ редине зоны; в 6.13 таким путем объясняется магнетосопротивление сильно легированных полупроводников [545].