книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

ионы переходных металлов, так как, по нашему мнению, этот вопрос больше подходит для книги о поляронах. Глава о прово­ димости по примесям не является исчерпывающей; она включена потому, что проводимость по примесям — это наиболее полно исследованный процесс проводимости в хаотическом поле. Мы

Г Л А В А 1

В В Е Д Е Н И Е

Предметом настоящей книги являются те свойства некристал­ лических веществ, которые обусловлены движением электронов, в частности электропроводность и оптическое поглощение. К не­ кристаллическим веществам относятся жидкие металлы и полу­ проводники, стекла и аморфные напыленные пленки. С некри­ сталлическими телами тесно связано также описанное в настоящей книге явление проводимости по примесям в полупроводниках, когда электрон движется прямо (посредством туннельного эффек­ та) от одного атома примеси или точечного дефекта к другому. Независимо от того, является ли среда, окружающая примесные атомы, кристаллической или нет, атомы примеси распределены хаотически, так что проводимость по примесям представляет собой простой пример движения электронов в непериодическом сило­ вом поле.

Книга начинается с описания двух теоретических представле­ ний, необходимых для объяснения этих явлений. В гл. 2 приве­ дена теория невзаимодействующих электронов в жесткой некри­ сталлической системе атомов. Под жесткой системой мы понимаем модель, в которой пренебрегают влиянием фононов и искажений решетки типа поляронов, вызываемых электронами. Для многих явлений, описанных в настоящей книге, это законно; например, сопротивление жидкого металла определяется главным образом рассеянием электронов вследствие неупорядоченного расположе­ ния атомов, а сопротивление неупорядоченного сплава обычно рассчитывается без учета энергии, которая может быть передана атому при рассеянии электрона (см. 3.1).

Ограничиваясь жесткой системой атомов, мы должны прежде всего выяснить, какие из понятий, связанных с кристаллом, можно использовать в случае некристаллических веществ. JlejJBoe понятие, одинаково пригодное для кристаллических и некристал-...

лэтеских веществ,— это плотность состояний, которую обозначим.., N.(E). Величина N{E) dE означает число состояний в единице объема, допустимых для электрона с заданным спином и с энергией

12 Глава 1

распределения Ферми. Плотность состояний в принципе может быть определена экспериментально, например, по фотоэмиссии (7.7.1). Согласно имеющимся опытным данным, ход плотности состояний в жидком или некристаллическом теле, вообще говоря,

и в запрещенной энергетической зоне в полупроводниках могут появиться локальные состояния. На фиг. 2.1 показаны возможные типы функции плотности состояний.

С другой стороны, описание состояний индивидуального элек­ трона, применяемое в кристаллах, не всегда пригодно для некри­ сталлических тел. Если в кристаллическом теле пренебречь влиянием фононов, то каждый электрон описывается волновой

где и (г) имеет периодичность решетки. Волновой вектор к есть квантовое число для электрона. Фононы или примеси обусловли­ вают рассеяние, и поэтому следует ввести среднюю длину свобод­ ного пробега L ; например, если в единице объема имеются N ато­ мов примеси, каждый с дифференциальным сечением рассеяния / (0), то средняя длина свободного пробега определяется выраже­ нием

о

В этой формуле принято, что поверхность Ферми является сфери­ ческой, так что / (6) не зависит от начального направления движе­ ния электрона. Однако для зоны проводимости и для валентной

и в зоне проводимости жидких инертных газов. Тогда волновой вектор к все еще является хорошим квантовым числом, и поверх­ ность Ферми еще можно определить. Поскольку жидкость или аморфное твердое тело не имеют выделенных осей симметрии, поверхность Ферми должна быть сферической. Действительно, при большой длине свободного пробега функция плотности состоя­ ний может быть найдена из модели свободных электронов. Это

Если же в жидком или аморфном теле атомный потенциал (или псевдопотенциал) достаточно велик, то он должен вызывать силь-

С нашей точки зрения, в этом заключается наиболее суще­ ственное различие между теориями кристаллических и некристал­ лических тел. В последнем случае часто получается, что элек­ троны обладают энергиями, для которых kL ~ 1. Как мы увидим в следующих главах, это имеет место для носителей тока в боль­ шинстве аморфных и жидких полупроводников. При таких усло­

что при достаточно сильном взаимодействии носителя тока с ато­ мами должно произойти нечто новое. Губанов [216] 3 ) и Баньяи

[42]впервые предположили, что вблизи краев зоны проводимости

ивалентной зоны в большинстве некристаллических тел состояния

локализуются; понятие локализации будет играть большую роль в настоящей книге. Локализованные состояния не представляют собой ничего необычного; это просто «ловушки», и наиболее прямое_ доказательство их существования в аморфных телах, получено измерениями времени переноса инжектированных носи­ телей тока (см. 7.4.3). Если температурная зависимость дрейфовой подвижности описывается активационным законом, то можно сделать вывод о существенной роли ловушек. Новым в случае аморфных тел является то, что может иметь место непрерывная плотность состояний N (Е), причем в некотором интервале энер­ гий все состояния являются ловушками, иными словами, локали­ зованы, и подвижность при нуле температуры обращается в нуль,

даже если волновые функции соседних состояний перекрываются.

Эти представления получили общее признание в теории про­ водимости по примесям в легированных и компенсированных полу­ проводниках, которую полностью поняли лишь в начале 1960-х годов. Атомы примеси в этих веществах находятся в слу­ чайных положениях, и, кроме того, вблизи каждого атома элек­ трон подвержен действию случайного потенциала, что обсуж­ дается в гл. 6. Наше понимание локализации в этом случае бази-'

14 Глава 1

руется на работе Андерсона [18], которая является центральной для нашей темы и обсуждается в гл. 2. В случае проводимости по примесям всякий раз, когда электрон движется от одного центра к другому, он испускает или поглощает фонон; процессы с погло­

нальную со0 '8 . При этом процессе электрон перескакивает между парами локализованных состояний, каждый раз поглощая или испуская фонон.

Распространение идеи локализованных состояний на некри­ сталлические полупроводники несколько рискованно, но пред­ ставляется весьма вероятным, что также, состояния в большинстве случаев действительно существуют вблизи краев зоны проводи­ мости и валентной зоны. Если это так, то можно определить энергию Ес, которая "отделяет область энергий, где электроны локализованы, от области, в которой они не локализованы. Эта энергия впервые была введена Моттом [365], и представление о ней обсуждается в гл. 2. Для энергий, лежащих по одну сторону от Ес, перенос заряда возможен только путем термически активи­ рованных перескоков, включающих взаимодействие с фононамиг так что подвижность стремится к нулю с температурой. В области энергий по другую сторону от Ес даже при абсолютном нулетемпературы может происходить диффузия, и коэффициент диф­ фузии не содержит энергии активации. Поскольку подвижность |л

сти (см. фиг. 2.17). За исключением случая низких температур,, носцтели заряда во многих некристаллических полупроводниках находятся в нелокализованных состояниях в интервале энергий" порядка кТ выше Ес; справедливо это или нет при заданной тем­ пературе, зависит от интервала энергий локализованных состоя­ ний у края зоны.

В гл. 2 выводятся формулы для термо-э.д.с. Поскольку эффект Холла оказывается аномальным, наиболее надежным методом

х ) При очень низких температурах предсказана и обнаружена в неко­ торых случаях (см. гл. 2, 6, 8) зависимость вида ехр (— const/Т1 ^'1 ).

определения того, являются ли носители тока электронами или дырками, служит измерение термо-э. д. с.

Гл. 4 посвящена фононным эффектам. Последние могут быть трех видов.

а) Фононы могут рассеивать электрон, описываемый нелокализованной волновой функцией, внося вклад в сопротивление точно

сти по примесям.

в) Фононы могут захватываться электроном и образовывать полярон малого радиуса. Такие процессы, как образование полярона, при котором захватывается несколько фононов, так что взаимодействие между электроном и фононом нельзя считать малым возмущением, играют роль в проводимости по примесям и в других явлениях во всех полярных полупроводниках. Поэтому в гл. 4 описано поведение поляронов в кристаллических полу­ проводниках с узкими зонами как введение к родственным проблемам в некристаллических телах.

В гл. 5 рассмотрен переход металл — диэлектрик как в кри­ сталлах, так и в некристаллических веществах. Для включения

по примесям корреляционные эффекты, обусловленные отталки­ ванием между парой электронов на одном и том же атоме, часто играют существенную роль и предсказания одноэлектронной теории становятся качественно неверными.

б) Многие исследования перехода металл — диэлектрик свя­ заны с измерением проводимости по примесям, и потому их можно понять только в рамках теории, рассматривающей движение элек­ тронов в непериодическом поле.

Переход металл — диэлектрик представляет собой существен­ но многоэлектронный эффект, а теория многих тел или по крайней мере учет взаимодействия между электронами существенны во многих других проблемах. В частности, вводя локализованные состояния, мы сталкиваемся с тем, что благодаря члену е2 /г1 2 энергия ионизации и электронное сродство для того же состояния неодинаковы. Поэтому во многих случаях, вероятно, лучше определять квантовомеханические состояния как занятые одно­ кратно, а не дважды. Именно таким образом рассматривается проводимость по примесям в гл. 6. Фактически применение теории многих тел к предмету настоящей книги едва началось.

Последние четыре главы содержат подробное описание свойств ряда некристаллических полупроводников, а также попытку описать их в рамках моделей, выдвинутых в настоящей книге.

Г Л А В А 2

Т Е О Р И Я Э Л Е К Т Р О Н О В В Н Е К Р И С Т А Л Л И Ч Е С К О Й С Р Е Д Е

2.1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей главе вводятся некоторые теоретические понятия и формулы, связанные с рассмотрением электронных процессов в некристаллических телах, особенно электропроводности и опти­ ческого поглощения. Там, где это не оговорено особо, обсуждение ведется в рамках того же приближения, которое обычно исполь­ зуется в зонной теории кристаллов, причем взаимодействие e2/ri2 между электронами учитывается лишь постольку, поскольку оно может быть включено в усредненное поле Хартри — Фока.

Как отмечено в гл. 1, существует одно понятие, которое одина­ ково применимо как к кристаллическим, так и к некристалличе­ ским телам. Это — плотность электронных состояний, обозначае­ мая N (Е) ж определяемая так, что N {Е) dE — число состояний в единице объема для электрона системы с заданным направлением спина и с энергией в интервале между Е я Е -\- dE. Эта функция существует независимо от природы состояний. Тогда при темпе­ ратуре Т число электронов в интервале энергий dE для каждого направления спина равно

N (Е) f (Е) dE,

где / (Е) — функция распределения Ферми

Уровень Ферми £ является функцией Т и стремится к предельному значению ЕР, когда Т —>- 0. Энергия Ер отделяет заполненные достояния от незаполненных.

Как мы отметили в гл. 1, зависимость N (Е) следует рассма­ тривать для двух различных случаев. В первом случае рассеяние электронов каждым атомом мало и электроны описываются волно­

„/ д а

поверхность Ферми сферическая и плотность состояний электро­ нов для каждого направления спина дается формулой для свобод­ ных электронов

Эти условия обычно выполнены в жидких металлах и будут обсуж­ даться в следующей главе, где мы увидим, что т — не обязательно масса свободного электрона.

не может быть меньше, как впервые заметили Иоффе и Регель [257]. Ниже в этой главе будет показано', что при сильном взаимо­ действии имеется вероятность локализации состояний. Этот слу­ чай проиллюстрирован на фиг. 2.1.