книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

Это не означает, что величина а равна нулю для всех конфигура­ ций ансамбля; например, одна из возможных конфигураций жидкости — идеальный кристалл, и в нем нет состояний, локали­ зованных в том смысле, как описано выше, но мы утверждаем, что для совокупности N атомов может существовать область энергий электрона такая, что доля конфигураций, для которых величина а не равна нулю, стремится к нулю при iV->- оо. Другими словами, математическое ожидание а стремится к нулю. Итак, определю! локализацию следующим образом: для ферми-газа невзаимодействующих электронов с энергией Ферми Е выпол­ няется соотношение

l i m <<тя(0)) = 0.

2.3. ФОРМУЛА КУБО — ГРННВУДА

Выведем теперь формулы для величин сг (со) и а (0). Пред­ положим, что собственные функции электрона с энергией Е в непе­ риодическом поле суть -фЕ (х, у, z) и нормализованы па один электрон в объеме Q. Предположим далее, что иа электрон дей­ ствует переменное поле F cos at, так что потенциальная энергия равна ex-F cos at. Тогда вероятность того, что электрон в единицу времени перейдет из состояния с энергией Е в любое из состояний с энергией Е + Йсо, равна

х ) Формула (2..5) справедлива лишь в том случае, если г|з — собственные функции осциллятора с собственной частотой со. В действительности же функ­ ции гр совсем иные. Поэтому приведенный здесь вывод выражения (2.6) вызы­ вает возражения. Корректный вывод формулы для проводимости можно найти в работах Кубо и др. [642] или Гртшвуда [205].— Прим. перев.

скорости потери энергии в единице объема. Чтобы найти а (со),

Второй член в фигурных скобках содержит энергию, испускаемую при переходах вниз. Усредним теперь | D |2 по всем начальным и конечным состояниям. Выражение в фигурных скобках сводит­ ся к

Назовем это выражение формулой Кубо — Гринвуда.

Теперь необходимо показать, что если рассеяние мало и сред­ няя длина свободного пробега L велика, полученные формулы при­ водят к выражению, выведенному с помощью кинетического уравнения, а именно

где S& — 4л/ър — площадь поверхности Ферми. Метод доказа­ тельства предложен Моттом [371]. Предположим, что применима модель свободных электронов и что существует такая длина сво­ бодного пробега, что kFL Э- 1- Если определить объем v, равный объему сферы радиусом L , так, что

то фазы волновых функций в этих объемах не будут коррелированы. Таким образом, если определить б как

то величина D будет равна сумме Qlv вкладов, равных б, но со случайными знаками. Поэтому можно записатьх )

1 ) Последнее выражение справедливо только при Й > у. При достаточно большом L и большой концентрации п электронов (в металлах или сильно ле­ гированных полупроводниках) это условие ие выполняется. Например, при L = 1 0 _ 0 см и п = 2,5 - 10 1 7 с м - 3 £2 да v,— Прим. перев.

•

что совпадает с (2.12) с точностью до множителя 2. Нельзя надеять­ с я получить правильный числовой множитель таким грубым методом.

Средняя длина свободного пробега зависит от механизма рас­ сеяния; методы ее вычисления обсуждаются в следующей главе.

Эдварде [150], исходя из предположения о слабо рассеиваю­ щих потенциалах, также вывел формулу Больцмана на основе формализма Кубо — Гринвуда. Он непосредственно доказал, что •формула (1.2) с величиной / (0), определяемой в борновском приближении, следует из формулы (2.10).

Распространение этого метода на проводимость при частоте о дает формулу Друде

(2.14)

Таким образом, оказывается, что проводимость обусловлена опти­ ческими переходами с нарушением правила отбора по к; это возможно вследствие конечной длины свободного пробега и выте­ кающей отсюда неопределенности к. Мы не будем выводить эту •формулу, но отметим, что если k t и к2 — волновые векторы до и после рассеяния, то приведенный выше метод пригоден только

где и — скорость у поверхности Ферми, так что вывод перестает

2.4. ОТСУТСТВИЕ ПРОВОДИМОСТИ В СЛУЧАЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ; ЗАКОН ю 2

В предыдущем разделе мы воспользовались формулой (2.1) Кубо — Гринвуда для вычисления проводимости в характерном для металла случае, когда плотность состояний конечна при энергии Ферми и kL ^> 1. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда потенциальная энергия V (х, у, z) уже не является малым возмущением в уравнении Шредингера

у2 Ф + ж ( £ - т = о .

Предельный случай — приближение сильной связи, при котором кристаллическая решетка потенциальных ям создает узкую поло­ с у уровней, как показано на фиг. 2.2, а. Это имеет место в случае d-зоны переходного металла или доноров, создающих металличе­ скую примесную зону в полупроводнике (гл. 6). Пусть ямы

\

24 гГлат 2

настолько удалены друг от друга, что перекрытие атомных волно­

Предположим, что функции ф сферически симметричны («-функ­ ции). Тогда, если W0 — энергетический уровень электрона в изо­ лированной яме, то энергия электрона в простой кубической

1С "

-

N(E)

в нашей книге много раз. Его точное выражение зависит от формы

Полученные для двух ям результаты позволяют предположить, что в случае бесконечной системы будут возникать хаотические флуктуации амплитуды (и фазы) функции при переходе от ямы к яме и что по мере возрастания величины U J J эти флуктуации усиливаются (фиг. 2.3, в). Несомненно, это имеет место. Однако если значение U 0 / J очень велико, интуитивно ясно, что волновая функция изолированной ямы будет слабо возмуще­ на всеми другими ямами и, следовательно, будет спа­ дать экспоненциально с расстоянием (фиг. 2.3, в

иг). Возникает существен­ ный вопрос: происходит ли это в действительности,

иесли да, то при каком значении С/0 //? Кроме того, если отношение U 0 / J до­ статочно велико, то проис­ ходит ли это со всеми волно­ выми функциями системы или только с некоторыми?

электрон помещен в одну из ям. Что произойдет при £ - > -оо? Имеется ли конечная вероятность того, что электрон диффунди­ рует на большое расстояние при абсолютном нуле температуры, или вероятность найти электрон на большом расстоянии г убывает как ехр (—2аг) и в таком случае диффузии нет? Андерсон нашел, что диффузии нет, если U 0 / J больше некой константы, которая зависит от координационного числа z и которая при z = 6 при­ близительно равна пяти (см. подпись к фиг. 2.5). Это означает, что если UQIJ > 5 , то волновые функции всех электронов системы будут типа показанных на фиг. 2.3, в, т. е. экспоненциально убывающими с расстоянием г от ямы

х ) Это справедливо только в приближении ближайших соседей, т, е. если пренебречь интегралами перекрытия между более далекими ямами.— Прим. перев.

в начальном состоянии в большом объеме радиусом Да: с энергией,

ных локализации Андерсона, внимание сосредоточено на величине а (0). В отсутствие диффузии проводимость а также должна обра­ щаться в нуль для всех энергий в зоне. Можно исследовать сгЕ

Очевидно, при некоторых конфигурациях, а именно тех, в кото­ рых все или большая часть значений U малы, величина 0 не обращается в нуль.

в случае бесконечного числа ям или они дают вклад, стремя­ щийся экспоненциально к нулю для больших N. Этот вопрос был подробно исследован Моттом [371]. Использованный метод вклю­ чал оценку проводимости при частоте со, а (со), и было показано,

Вкачестве предварительной оценки рассмотрим две доста­

точно удаленные друг от друга ямы а и Ъ, для которых величины

состояние занято, а верхнее свободно и если оба состояния разли­ чаются по энергии на Йсо, то вероятность того, что в единицу вре­ мени поле F cos со£ вызовет переход из одного состояния в другое, равна [ср. с (2.4)]

\F*(2-^)\xab\*n{Eb).

При таких расстояниях, когда отношение В/А [выражение (2.22)]

с расстоянием. Следовательно, заметный вклад в интеграл обу­