книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

Бринкман и Райе [68] исследовали степень корреляции, суще­ ствующей перед возникновением магнитного порядка, и нашли, что она высока: только 5—10% атомов заполнены двумя электронами.

N(EF)

,I Уменьшение а —»

WlJg- -

Ф и г. 5.5. Завпсттмость плотности состояний на уровне Ферми от постоян­ ной решетки а в модели Хаббарда.

Благодаря этому проводимость кристалла будет низкой и посколь­ ку площадь ферми-поверхности не изменяется [329], Бринкман и Райе пришли к заключению о том, что эффективная масса носи­ телей возрастает вследствие корреляции.

5.6.ВЛИЯНИЕ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИХ СИЛ

Ни модель Нисимуры, ни модель Хаббарда не учитывают вли­ яния дальнодействующих кулоновских сил, которое было отправ­ ной точкой для первоначального подхода Мотта [360, 361, 367]. Для случая примесного полупроводника мы учтем взаимодействие электрона и дырки в виде члена — е2 /иг1 2 , где к — диэлектрическая проницаемость чистого полупроводника. Как мы уже обсуждали, свободная пара носителей типа показанной на фиг. 5.1, г не может существовать в основном состоянии, поскольку потенциальная энергия V (г) на больших расстояниях г ведет себя как

благодаря чему возникает возможность образования связанного состояния электрона и дырки с энергией связи порядка m.*e4 /2/i2 x2 . Следовательно, малая концентрация свободных носителей оказы­ вается невозможной; концентрация п должна быть конечной. Кулоновское взаимодействие заменится экранированным потенциалом

V ( r ) « — - J e x p ( — yr),

а концентрация электронов и константа экранирования у должны быть настолько велики, чтобы в экранированной яме не помеща­ лось связанное состояние. Используя распределение Томаса —

Ферми, можно получить выражение для константы экранирования

Условие отсутствия связанных состояний в экранированной потен­ циальной яме г ) имеет следующий вид [362]2 ):

уан > 1 , 0 . . ., где ан — боровский радиус

ft2%

Отсюда получается следующее выражение для числа атомов в еди­ нице объема, при котором происходит переход металл — неметалл:

Этот результат очень близок к величине, вытекающей из формулы Хаббарда (5.4) [369]. Он хорошо согласуется с экспериментальны­ ми данными для концентрации доноров, при которой происходит переход в легированных полупроводниках, как это показано в гл. 6.. Приведенный выше вывод очевидным образом предсказывает раз­ рывное изменение концентрации носителей п, когда а проходит через значение, соответствующее переходу. Согласно моделям Хаб­ барда и Нисимуры, изменение концентрации должно быть непре­ рывным. Однако можно получить п непрерывное изменение кон­ центрации в приведенном выводе, если допустить, что в точке пере­ хода диэлектрическая проницаемость к обращается в бесконечность. Как мы увидим ниже, это возможно.

При экспериментальном определении поведения кристалла вблизи точки перехода могут возникнуть трудности. Дело в том, что при Т = 0 можно изменять параметр решетки кристалла толь­ ко за счет изменения давления, и может оказаться, что энергия перехода металл — неметалл велика, как это показано на фиг. 5.6, а, где двум фазам соответствуют два минимума на кривой зави­ симости свободной энергии от объема. Переход будет происходитьтолько при таком давлении, когда оба минимума окажутся на од­ ной горизонтали (фиг. 5.6, б), и при этом весь интервал значений: удельного объема между точками А и В окажется недоступным для наблюдения. Ситуация может осложниться также изменением кри­ сталлической структуры при переходе.

г ) В любой одномерной яме имеется связанное состояние. Поэтому можно считать, что существование одномерного металла невозможно. Это заключение подтверждается анализом Либа и B y [317].

2 ) В работе Гультена и Лаурикайнена [254] получено значение 1,19 вместо 1,0.

а именно возникновение новых электронных «карманов» на поверх­ ности Ферми, которое может происходить при уменьшении объема системы. Они нашли, что свободная энергия зависит от объема как (у — У 0 ) 6 / 2 - Эта зависимость также может быть иллюстрирована фиг. 5.6; здесь возможно равновесие двух фаз ниже критической точки. В этом случае переходы без разрыва можно наблюдать

'о V

А

(1

Ф п г. 5.6. Зависимость свободной энергии от удельного объема для не­ металла.

а — при давлении, равном н у л ю ; б — при давлении, при котором происходит фазовый переход; vo — значение удельного объема, при котором возникает переход металл —

неметалл.

только при температурах выше критической точки. С другой сто­ роны, как мы обсуждали в 5.1, существует много случаев перехода Вильсона, когда разрывное поведение отсутствует.

Во всяком случае, проблема непрерывного изменения v или а интересна с теоретической точки зрения и ее можно исследовать на примере примесного полупроводника. В настоящее время неиз­ вестно, будет ли в этой модели происходить разрывное изменение концентрации п как функции а или нет. Кон [283] предложил модель, в которой при изменении а не происходит разрывного изменения п. Однако модель Кона приводит к возникновению вбли­ зи точки перехода бесконечной последовательности переходов вто­ рого рода, благодаря чему п [и е2 , определяемая согласно (5.4)] непрерывно обращается в нуль. Мотт и Дэвис [377] указали, что в этой модели возможно обращение в нуль диэлектрической вос­ приимчивости х на неметаллической стороне перехода, вследствие чего концентрация п на металлической стороне будет равна нулю в непосредственной близости от перехода. Мы обсудим этот вопрос ниже.

При переходе может происходить изменение параметра решетки или ее структуры, поэтому модель жесткой решетки будет опре­ деленно справедлива только в случае примесных полупроводников с большой диэлектрической проницаемостью, аналогичных гер­ манию. В этом случае параметр а изменяется за счет изменения концентрации доноров. Силы, действующие на решетку со стороны электронов в примесной зоне, несомненно, будут пренебрежимо малы; имеется, однако, дополнительная сложность, связанная со

144 Глава 5

случайным распределением положений атомов примеси. Этот при­ мер мы рассмотрим в 5.10.

5.7. КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ ВИГИЕРА

Прежде чем рассматривать переход, обсудим работу Вигиера 1540], в которой изучался электронный газ, погруженный в «желе», т. е. в однородный континуум равномерно распределенного поло­ жительного заряда. Вигнер предсказал, что при малой плотности электронного газа происходит его кристаллизация, при которой электронный газ переходит в непроводящее состояние. В этом со­ стоянии каждый электрон описывается локализованной волновой функцией типа ехр {(—г/г0 )3 }, где r„ ~ 1/п. Решетка, которую обра­ зуют локализованные электроны, антиферромагнитна. Перекры­ тие узельных волновых функций мало, так что вклад члена е2 /г1 2 в случае вигнеровского кристалла меньше, чем в случае металла. С другой стороны, однако, вследствие локализации возникает член кинетической энергии, по порядку величины равный %2л2/тг1. Оценка концентрации п, при которой происходит кри­ сталлизация, является довольно грубой [362]:

n^aH = 0,08.

Для вигнеровского «кристалла» можно установить следующие свойства. В приближении Хартри — Фока система подобна изо­ лятору Мотта — Хаббарда; волновые функции электронов с про­ тивоположными проекциями спина показаны на фиг. 5.7. Потен­

циальная энергия электрона в центре каждой ямы имеет величину

Ч2агг, где

4я

а = - г р е ,

здесь р — плотность заряда «желе». Свободные носители возника­ ют лишь в результате активационного процесса, энергия которого Е порядка пЧ^/к. Когда температура кТ поднимается до величины порядка Е, то происходит определенная разновидность фазового перехода системы в состояние невырожденного электронного газа. Более детально теория этого явления не разработана..

Кристаллизация Вигнера не наблюдалась на опыте, поскольку трудно получить материал, обладающий свойствами желе. Им мог бы быть в принципе германий с высокой концентрацией доноров и акцепторов, почти компенсирующих друг друга, так что параметр компенсации К близок к единице, 1 — К <С 1. Этот материал будет хорошим приближением к пределу желе, если рас­ стояние между центрами мало по сравнению с боровским радиу­ сом ан.

В кристаллах с неравными концентрациями носителей обоих знаков возникает явление, близкое к вигиеровской кристалли-

в реальной решетке антиферромагнетизм представляется более вероятным. Некоторые примеры будут рассмотрены в 5.10. Мы пред­ лагаем в качестве догадки следующую картину изменений, которые происходят при уменьшении плотности электронов. Сначала уста­ навливается волна спиновой плотности типа оверхаузеровской. Ее амплитуда возрастает с а. Волновое число таково, что плот­ ности, на которых существуют разрывы энергии, разделяют к- пространство на две зоны, причем ферми-поверхность проходит через обе зоны. С ростом а разрывы энергий возрастают, а кон­ центрации электронов и дырок все более и более убывают, как это имеет место вблизи переходов Мотта.

5.8. ЭКСПТОННЫЙ ИЗОЛЯТОР

Как отмечалось в 5.1, переход металл — неметалл для кубиче­ ского двухвалентного металла будет иметь место, если какойлибо параметр, влияющий на ширину запрещенной зоны (например, постоянная решетки), изменяется непрерывно. Мы назвали такой переход переходом Вильсона в соответствии с вильсоновской клас­ сификацией [541] твердых тел на проводники и изоляторы в духе модели невзаимодействующих электронов.

Вблизи перехода на металлической стороне концентрации электронов и дырок будут малы. Мотт [362] указал, что это невозможно; кулоновское притяжение электронов п дырок, энергия которого равна — е 2 /хг, приведет к образованию пар с энергией связи

(5-7)

Мотт высказал соображение, что переход в такой системе будет сопровождаться скачком концентрации. Состояние, в котором существует небольшое перекрытие двух зон, т. е. состояние, кото­ рое могло бы соответствовать полуметаллу, если бы не образова­ ние электронно-дырочных пар, называется жситонным изолятором. Оно весьма интенсивно изучалось теоретически. Как впервые отме­ тил Нокс [280], аналогичная ситуация может возникнуть в полу­ проводнике с конечной шириной запрещенной зоны ЬЕ, если АЕ окажется меньше, чем энергия связи экситона (5.7). В этом случае экситоны будут образовываться спонтанно.

Эти концепции были детально разработаны Келдышем и Копаевым [275], Де Клуазо [127], Коном [283], Гальперином и Райсом [224] и другими. Названные авторы изучили бозе-конденсацшо экситонов, т. е. электронно-дырочных пар, которые образуют неме­ таллическую систему, называемую жситонным изолятором. l i e давая детального обзора этих исследований, отметим только два обстоятельства.

что сопротивление при 4,2 К возрастает от —10~° до Ю - 1 Ом-см, когда давление повышается примерно до 30 кбар (фиг. 5.8). Кривая зависимости сопротивления от температуры при нормальном дав­ лении имеет горизонтальный участок в области низких температур. Здесь носители тока образуют, по-видимому, вырожденный элект­ ронный газ, обусловленный ионизацией посторонних примесей. Различные проявления экситонных эффектов невозможно наблю­ дать, пока материал не будет надлежащим образом очищеи. Диэлек­ трическая проницаемость решетки, вероятно, очень велика, поэто­ му требуется высокая степень чистоты.

Рогачев [437] получил экспериментальные данные, свидетель­ ствующие о том, что в германии может наблюдаться металлическая

Л7*Г"

ния создается высокая концентрация электронов и дырок. Резуль­ таты приведены на фиг. 5.9. Переход, который имеет место при п « 3 - Ю 1 3 с м - 3 , возникает при несколько меньших концентрациях, чем это можно было ожидать. Рогачев полагает, что линия рекомбинационного излучения, связанная с экситоном, сохраняет свою форму при концентрациях электронов вплоть до ге~ 101 7 с м - 3 . В этой связи представляется вероятной аналогия с примесной зоной, «погруженной» в зону проводимости (см. 6.5). Электроны «примесной» зоны в данном случае обусловлены не примесями, а дырками. Можно предположить, что на горизонтальной части кривой (фиг. 5.9) электронно-дырочный газ невырожден даже при температуре 4 К. Тогда частота столкновений электронов с дырка­ ми будет пропорциональна концентрации п, а проводимость не

будет зависеть от п. При более высоких концентрациях наступает вырождение, и зависимость сопротивления от температуры должна быть пропорциональна Г 2 согласно формуле Бейбера

где А0 — сечение столкновения; если оно не зависит от концентра­ ции /г, то проводимость пропорциональна EFlvE, т. е. п. Как видно из кривой йа фиг. 5.9, проводимость в действительности растет быстрее, что может быть связано с уменьшением А0 при увеличении концентрации.

5.9. МОДЕЛЬ КОИА ДЛЯ ПЕРЕХОДА МОТТА

Как мы уже видели, из простой модели перехода, в которой пренебрегается влиянием дальнодействующих кулоновских сил, вытекает необходимость существования области малых значений концентрации вблизи точки, где щель Хаббарда обращается в нуль.

Ф н г. 5.10. Фазовая диаграмма вблизи перехода металл — неметалл, соот­ ветствующая теории Кона.

Состояние электронов описывается функцией (5.1), а состояние дырок — функцией (5.3). Следовательно, любые выводы относи­ тельно эффектов конденсации в случае двухвалентных металлов или полуметаллов, у которых электрические свойства зависят от кристаллической структуры, будут справедливы и для другого случая, а именно для перехода металл — неметалл в цепочке одно­ валентных атомов (переход Мотта).

Как для перехода Мотта, так и для любого другого перехода металл — неметалл Кон [283] предположил, что существует беско­ нечная последовательность фазовых переходов второго рода, схо­ дящаяся к точке перехода металл — неметалл, как это показано на фиг. 5.10. При нулевой температуре эти переходы происходят в точках А2, В2 и т. д. без разрыва по концентрации. При этом