книги из ГПНТБ / Мотт, Н. Электронные процессы в некристаллических веществах

случай очень низких температур, когда это условие не выпол­

симость часто наблюдается на опыте. С другой стороны, возможны

скими переходами; следует ожидать, что вторая формула ( а ~ со 2 )

подробно этот вопрос обсуждается в гл. 4. Следует отметить, что проводимость (2.60), так же как и (2.25), содержит множитель {NIUQ)2, пропорциональный квадрату плотпостп состояний на поверхности Ферми. Поллак [420] определил таким образом плотность состояний для различных проводящих стекол и получил высокие значения NIU0 порядка 5 -101 9 с м ~ 3 - э В - 1 , такие же, какие следуют из других данных [186]. Это заставило Дэвиса и Мотта [122] предположить, что многие стекла имеют вблизи середины запрещенной зоны дефектную зону, возможно обусловленную оборванными связями. Подчеркнем, что хвосты зоны проводимо­ сти и валентной зоны, о которых говорится в работе Коэна, Фрицше и Овшинского [101], считаются ловушками, обусловленными флуктуациями полей, плотности или состава [473]. Если имеется пик плотности состояний, он должен быть обусловлен какими-то более специфичными дефектами, как, например, оборванными связями. Более подробно этот вопрос обсуждается в гл. 7.

2.11. ОПТИЧЕСКИЕ МЕЖЗОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Для локализованных или нелокализованных состояний вблизи энергий Ее или Ev можно принять, что Ак/к « 1, так что обычные правила отбора для межзонных оптических переходов нарушают-

Вероятность совпадения по энергиям трех узлов, конечно, мень­ ше, чем двух узлов, поэтому г|3 > TI2 . С другой стороны, вероят­ ность тройного совпадения больше, чем вероятность двух некорре­ лированных двухузельных совпадений, значит, т)3 ><2т)2 . При­ чиной является то, что вероятность тройного совпадения энергий больше квадрата вероятности двойного совпадения. Подробный расчет дает т|3 = 4т)2 /3. Таким образом,

чески. Оно также применимо в том предельном случае, когда перекрытие атомных волновых функций в соседних узлах доста­ точно мало (неадпабатический режим в случае образования поляронов малого радиуса, ср. гл. 4). В случае больших значений перекрытия (адиабатический режим [154]) все еще справедливо, что энергия активации холловской подвижности меньше энергии активации подвижности, входящей в проводимость; в действи­ тельности в некоторых случаях она может приближаться к нулю. Однако величина холловской подвижности может быть сравнима или даже меньше, чем подвижность проводимости.

Эффект Холла наблюдался прп поляронных перескоках (гл. 4), но попытки обнаружить его при перескоковой проводимости по

на один или два порядка величины меньше подвижности проводи­ мости;

получающегося, если принять шесть электронов на атом (гл. 3). При проводимости по примесям с «металлической» концентра-

*) См. обсуждение Баньяи и Алдеа [43], Алгайера [12], Бёра и Хайзлипа [58], Бёра [57].

Теория электронов в некристаллической среде 65

числа нелокализоваыиых состояний стремится к нулю при Z—>- оо, причем под локализованной волновой функцией понимается функ­ ция, убывающая экспоненциально в пространстве. Этот удиви­ тельный результат справедлив для всех энергий электрона и для любой величины рассеивающего потенциала, как бы слаб он ни был. Гальперин [222] подробно исследовал математическую стро­ гость доказательства.

Из тех же самых аргументов, что и в трехмерном случае, должно следовать, что {аЕ (0) > обращается в нуль для всех зна­ чений Е в пределе, когда Е = Ес. Гальперин ([222], стр. 173) считает это не доказанным строго, так как аргументы Борланда не дают, что скорость затухания экспоненциальной волновой

Ф и г . 2.18. Беспорядочное расположение рассеивателей в одном измерении.

функции не зависит от I и не стремится к нулю при I—*- оо. По-ви­ димому, локализованные волновые функции не зависят от того, что происходит на большом расстоянии, поэтому весьма вероятно, что (оЕ (0)) всегда обращается в нуль.

Ландауэр [304] рассмотрел проводимость конечной одномерной системы и нашел, что она конечна, но стремится экспоненциально к нулю при I —>- сю. Коэн [100] и Эконому [147] приходят к подоб­ ному заключению. То же самое,-мы полагаем, должно наблюдать­

путем мы покажем, как получаются эти результаты. Рассмотрим волну eihx, падающую на беспорядочную систему рассеивателей, изображенную, на фиг. 2.18; среднюю длину свободного пробега L можно вычислить известными методами. На расстоянии, в несколь­

няется только для больших значений | А | и | В |. Отсюда следует,

слева от системы. В общем случае такое решение возрастает с х, однако анализ Борланда показал, что имеется одно значение г\,

5—01142

Г Л А В А 3

Ж И Д К И Е М Е Т А Л Л Ы , П О Л У М Е Т А Л Л Ы И П О Л У П Р О В О Д Н И К И

3.1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей главе прежде всего рассматриваются жидкие металлы. Однако при обсуждении будут затронуты другие систе­ мы, такие, как аморфные металлические пленки, жидкие инертные газы с инжектированными электронами и сильно легированные полупроводники, у которых рассеяние каждым центром сравни­ тельно мало, и средняя длина свободного пробега может быть велика. В гл. 2 были исследованы системы, в которых естественно было исходить из приближения сильной связи и узких зон, так что влияние атомов нельзя было считать малым возмущением; мы нашли тогда, что в некристаллических веществах при изве­ стных условиях волновые функции локализуются и потому прово­ димость осуществляется термически активированными перескока­ ми. При увеличении ширины зоны или уменьшении беспорядка и случайных полей достигается такое положение, когда волновые функции на уровне Ферми уже не локализованы, а распростра­ няются по всему объему, так что проводимость остается конечной при Т = 0. Мы привели некоторые оценки величины проводимо­ сти в момент, когда такое состояние только что наступило. В этой главе мы будем исходить из противоположного предельного слу­ чая. Волновые функции электронов опишем плоскими волнами,, а рассеяние атомами будем считать малым. Когда рассеяние на атомах возрастает, существенно оценить, дают ли эти два описания проводимости результаты, согласующиеся друг с другом в про­ межуточной области.

Влияние атома на волновую функцию электрона проводимости в металле, конечно, не всегда мало. В натрии, например, волновые функции имеют две сферические узловые поверхности вокруг каждого атома, подобно атомным волновым функциям 3s.

Возможность рассматривать сопротивление жидких металлов по теории возмущений зависит от использования псевдопотенциа­ лов, или модельных потенциалов. При этом условие ортогональ­ ности функции г|з волновым функциям внутренних оболочек, ведущее к возникновению узловых сфер, заменяется добавкой отталкивающего потенциала остова. Его можно выбрать так, чтобы получить правильные значения энергий атомных состояний или фазовых сдвигов. Если фазовые сдвиги малы, можно пользо-

5*

в принципе можно использовать для определения рассеяния каждым атомом, но правильные численные результаты можно тогда получить, только применяя теорию многократного рассея­ ния. Несмотря на усиленную разработку теории [39, 48, 310, 311, 440], насколько нам известно, численный расчет влияния многократного рассеяния на сопротивление не был произведен.

Начнем с рассмотрения периодического поля, в котором потен­ циальная энергия электрона равна V (х, у, z). Решения уравнения Шредингера имеют вид волны Блоха eihxuk (х, у, z), и вблизи поверхности Ферми, например в полуметаллах, эти решения и соответствующие им поверхности постоянной энергии могут быть совсем не такими, как для свободных электронов. Однако рассеяние электронов, а значит и электросопротивление, обуслов­ лено фононами. Поэтому рассеивающий потенциал имеет вид

2 ( a n - g r a d y n ) , 71

где Vn — потенциал вблизи атома п, а а п — смещение этого атома, вызванное рассматриваемым фононом. Это смещение мало, за исключением области очень высоких температур. Матричный эле­ мент, описывающий рассеяние из состояния к в состояние к', равен