книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

мации 2—5% во всей области реальных отклонений па­ раметров.

Пример 3-1. Зависимость интенсивности отказов при­ емно-усилительных ламп (ПУЛ) от нестабильности на­ пряжения накала Хі = ипи~1в0 на интервале [0,9; 1,1] опи­ сывают законом 12-й степени [Л. 44]

тырех членов приводит к погрешности не более 4%. Рассмотренный для наихудшего случая пример и не­

которые результаты применения параболической аппро­ ксимации показывают, что она обеспечивает требуемую точность в инженерных расчетах. В общем случае этот вывод справедлив и для интенсивностей ТО. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать линейные и пара­ болические зависимости интенсивностей марковских мо­ делей от параметров режимов.

Динамика режимов функционирования радиоэлек­ тронной аппаратуры описывается различного вида слу­ чайными процессами. Разнообразие условий эксплуата­ ции порождает необходимость применения большого чис­ ла различных моделей стационарных и нестационарных процессов. Мы используем наиболее удобное, на наш взгляд, неканоническое аддитивное представление слу­ чайных процессов, предложенное В. И. Чернецким [Л. 43].

Сущность его заключается в том, что случайный про­ цесс представляют в виде суммы двух детерминирован­ ных функций времени, одна из которых зависит от слу­ чайных параметров. Первая функция отражает измене­ ние математического ожидания процесса, т. е. основную закономерность, вторая — случайное изменение парамет­ ра относительно математического ожидания, которое

рассматривают как стационарный процесс с нулевым ма­ тематическим ожиданием.

В отличие от канонических разложений [Л. 21], кото­ рые являются линейными формами и используют теоре­ тически бесконечное число случайных величин, некано­ ническое разложение использует нелинейные функции

80

ограниченного числа случайных аргументов, позволяет представить случайный процесс в компактной аналитиче­ ской форме и обеспечивает абсолютную точность в рам­ ках корреляционной теории [Л. 43].

Записывая случайный процесс изменения параметра режима в неканонической форме, получим:

X (t) =m(t) -гАХ (t) =m(t) + Л1sin ш/+/42 cos at, (3-2)

где m(t) — математическое ожидание Х (/); А и А2 и ш — независимые случайные параметры. В соответствии с тео­ ремой В. И. Чернецкого М[А^\— М (Л2]= 0, D[Ai]= = D[/42]= D\X(^)]; законы распределения Ai и А2 произ­ вольны; закон распределения со определяет нормирован­ ная корреляционная функция г(т) стационарной добавки АХ (О [Л. 43]

—00

Параметры представления (3-2) определяют вероят­ ностными и статистическими методами по семейству реализаций процесса. Для стационарной части АХ({) параметры А\, А2 и со определить нетрудно, используя полученную из опыта корреляционную функцию этого процесса. Определение аналитического вида математи­ ческого ожидания имеет ряд особенностей, на которых целесообразно остановиться более подробно.

Прежде всего следует отметить, что в исходных дан­ ных сглаживающая кривая m(t) может быть представ­ лена в двух различных формах: в виде аналитической непрерывной функции — полином, рациональная дробь, периодическая функция и т. п., и в виде последователь­ ности m(ti), отражающей результаты наблюдений в мо­

менты времени ti, г'=0, п. Для удобства расчетов эти обе формы желательно свести к одной, имеющей простое аналитическое выражение. Такое представление дает аппроксимация зависимости m(t) обобщенным полино­ мом Фурье |Л. 40], обладающим наименьшим квадрати­ ческим отклонением по сравнению с другими полинома­ ми того же порядка.

Если известен аналитический вид т ( /) , то аппрокси­ мирующий обобщенный полином Фурье

где cpft(0 — система функций, ортогональных на отрезке аппроксимации {а, b]\ k = 0, п,

j ?!(<) d t

а

Если известна последователіность tn(ti), i = 0, п, то аппроксимирующий обобщенный полином Фурье

т

Qm(0 = s CkPh(t), (3-6) ft=о

где Pk (t) — система ортогональных полиномов, а

т

Вид координатных функций в (3-4) и ортогональных полиномов в (3-6) определяется характером m(t)'. Если функция m(t) непериодическая, то в качестве ортого­ нальной системы функций в (3-4) и (3-6) целесообразно применять систему полиномов Чебышева, которые обес­ печивают хорошее совпадение аппроксимирующей зави­ симости и обобщенного полинома Фурье на всем интер­ вале аппроксимации. Если m (t) — периодическая функ­ ция, то в (3-4) применяют гармонические функции и (3-4) является рядом Фурье, а в (3-6) применяют три­ гонометрические полиномы.

При скачкообразном изменении параметра режима (так, например, изменяется нагрузка элементов во вре­ мя коммутаций, при выходе из строя элементов в резер­ вированном соединении и т. п.) для аппроксимации из­ менения математического ожидания удобно применять

82

Так как интенсивности являются коэффициентами дифференциальных уравнений, очевидно, что возможно­ сти исследования динамических режимов ограничены возможностями решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами довольно сложной структуры. Ясно, что общие случаи, в которых учитывают несколько параметров режимов, должны изучаться с по­ мощью вычислительных машин.

Итак, в этом параграфе рассмотрены особенности аппроксимации зависимостей интенсивностей марковских моделей от параметров режимов и особенности аналити­ ческого представления случайных процессов изменения этих параметров. Показано, что приемлемую для инже­ нерных расчетов точность дает параболическая аппро­ ксимация интенсивностей с помощью разложения в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей номиналь­ ному режиму, и что удобным аналитическим представ­ лением является неканоническое разложение В. И. Чер­ нецкого.

3-3. Каноническая регуляризация

Канонической регуляризацией в теории обобщенных функций называют преобразование кусочно-непрерывных и недифференцируемых в обычном смысле функций в обобщенные с помощью введения специальных элемен­ тарных обобщенных функций — единичной, дельта-функ­ ции и т. п. [Л. 45]. В дальнейшем в качестве такой эле­ ментарной функции будем рассматривать

которая равна единице на интервале [хи гң-il Обобщенная эпсилон-функция выполняет роль инди­

катора интервалов непрерывности функций, имеющих разрывы первого рода.

Каноническое разложение по эпсилон-функциям об­ ладает следующими основными свойствами (см. прило­ жение 2):

Таким образом, каноническая регуляризация является линейной и непрерывной операцией. Обобщенные функ­ ции вида

і=і

являются удобной математической моделью дискретно­ непрерывных процессов. Очевидно, что обычная, интег­ рируемая во всей области существования функция явля­ ется частным случаем обобщенной функции (3-17), ког­ да і = 1, Хі — а, %%=Ь, где интервал [а, b] определяет об­ ласть существования обычной функции. Следовательно, методы теории обобщенных функций представляют бо­ лее универсальный математический аппарат, который позволяет успешно исследовать как непрерывные и дис­ кретные, так и дискретно-непрерывные процессы.

85

Для иллюстрации особенностей канонической регу­ ляризации определим надежность полупроводниковых приборов, функционирующих при случайной ступенчато изменяющейся нагрузке. Интенсивность внезапных отка­ зов полупроводниковых приборов

і—О

где Н0— номинальное значение нагрузки; А і — коэффи­ циенты ряда (3-1). При ступенчатом случайном измене­ нии нагрузки

где Ни и tk — случайные величины.

Предполагая для простоты анализа закон изменения надежности транзисторов показательным, определим ве­ роятность безотказной работы, плотность распределе­ ния этой вероятности и среднее время безотказной рабо­

т. е. *(0 также представляет собой ступенчатый случай­

.Если в начальный момент времени транзисторы бы­

ли исправны, то вероятность безотказной работы в мо­ мент времени t\

t

— t X (л:) d x '

86

плотность распределения этой вероятности

ft=l

(3-23)

Так как ки и 4 являются случайными величинами, то и функции (3-21) — (3-23) также будут случайными. Их точечные и интервальные оценки можно приближенно определить, иопользуя метод линеаризации и нормаль­ ную аппроксимацию.

Математические ожидания характеристик надежно­

где дефис обозначает использование математических ожиданий.

Дисперсии этих характеристик

87

где

jZ l —V +»—

/=*+1

X ( e ' > 4 - e - V < - ) e - \ k < n - 1;

88

вательно, вариация амплитуд интенсивностей (в конеч­

8 9