книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

расходы на одно ПО являются линейно возрастающей функцией т: сп(т) = сц+фт, ß>0, что обычно и имеет ме­ сто. В этом нетрудно убедиться, подставив сп (х) в фор­ мулу (4-36) и приравняв нулю производную от получен­ ного выражения.

Для отыскания т 0Пт целесообразно использовать ите­ рационное соотношение

Из формулы (4-42) следует, что выигрыш от оптими­ зации сложных устройств тем больше, чем меньше от­ ношение спс_1р и чем больше lim Л it).

t - > C O

Пример 4-4. Время безотказной работы устройства

Условие (4-38) выполняется, следовательно, опти­

поправка к то в первой же итерации менее 2%, то т0пт= =4436 ч, т0птТ-1о=2,66.

ТЭХ оптимального ПО

M [ W - W > ] = 0,0997 руб -* -1, W « 17°/0,

’'опт^’о 1~ 2’^ -

Таким образом, алгоритм расчета ТЭХ оптимального ПО устройства следующий. Статистическими методами определяют интенсивности ухудшения определяющих па­ раметров, интенсивности внезапных отказов, показатели затрат на АР и ПО, проверяют выполнение необходимых условий (4-38), с помощью рекуррентного соотношения

1 5 0

Дифференцируя выражение (4-45) по ѵ, |, р, у и при­ равнивая получаемые производные нулю, после необхо­ димых преобразований получим:

Порядок системы можно уменьшить, определяя у из третьего уравнения и подставляя результат в первое и второе уравнения, тогда

2ргСчо + т ь + * ) ('"Іо + ѵ)

& ( ъ + Ъ + ѵ) + 2-rjo (Tjii+VH.)]2

ъ Р - 2 - ѵ р ’= 0;

C2

2с2тіорІ(гіо+ т]і+ѵ) +riipv(c2g+ 2ciTio+ Civ) +

+т)оцѵ(2сітіо+ 3сіѵ + сзр) + c3riafx2 (По+Лі) +

+Сірѵ3= с 2т]іі2(т]о-|-ѵ);

(сіѵ+ с2%+ с3ц) г)0ѵ —С(г)о+ ѵ).

Лагранжа у = д/іто/дС в данном случае отрицателен, что

152

соответствует физическому смыслу задачи — увеличение УЭР приводит к уменьшению &то.

Вообще неопределенные множители Лагранжа в дан­ ном случае позволяют легко определять целесообраз­ ность дополнительных затрат. В рассмотренном примере увеличение УЭР на А С = 0,1 руб-ч~1 позволяет умень­ шить &TO на Мто = уАС=0,226• ІО-5.

4-6. Оптимизация технического обслуживания систем методами линейного программирования

Методы линейного программирования можно приме­ нять для оптимизации ТО, когда множества состояний марковской модели и стратегий управления конечны, управляемые процессы имеют состояние статистического равновесия, порождаемый процессами эргодический класс единственный [Л. 15]. На практике все эти условия,, как правило, выполняются,

Рассмотрим следующую модель оптимизации ТО. Процесс функционирования и обслуживания устройства отражает марковская модель, описанная в § 3-8. Для со­ стояния статистического равновесия ее вероятностные характеристики полностью определяет матрица интенсив­ ностей переходов. Предположим, что мы располагаем различными стратегиями управления некоторыми или всеми элементами этой матрицы и каждая стратегия приводит в . конечном итоге к определенным расходам. Найдем оптимальные стратегии управления, минимизи­ рующие математическое ожидание УЭР.

Обозначим: dik и cih —стратегия управления и за­

устройства из состояния Si в состояние Sj при условии, что в состоянии Si была выбрана стратегия dir, Dih = = P(d=dik/Si) — вероятность выбора стратегии dih при условии, что в момент очередного KP устройство нахо-

ѵі

дилось в состоянии Sy, S Dih = 1; Яі — предельная ве-

роятность пребывания устройства в состоянии Si. Получим аналитические выражения для целевой

функции и ограничений,

153

Введем вспомогательную вероятность Xik=niDih— предельная вероятность пребывания устройства в состоя­ нии Si, если в нем использовалась стратегия dik. Зада­ ча оптимизации заключается в том, чтобы при заданных сці и dij(k) так выбрать управляемые переменные х& [в конечном итоге, так выбрать ац (k)], чтобы минимизи­ ровать линейную форму

154

Как следует из постановки задачи и вида (4-51) — (4-53), задача является типичной для линейного про­ граммирования. В соответствии ,с основной теоремой ли­ нейного программирования [Л. 59] о том, что оптималь­ ное решение содержит столько положительных перемен­ ных, сколько ограничений выполняется в виде независи­ мых равенств, решение поставленной задачи существует и содержит п переменных, что, как и положено, в точ­ ности соответствует числу состояний.

Однако построение вычислительных алгоритмов имеет ряд особенностей. Например, если применять симплексметод, необходимо учитывать, что в базис и решения не могут входить переменные с одинаковым первым индек­ сом. Так как любая стратегия выбирается независимо, общее число допустимых решений

"п-і

#1= П Ѵі-

<=0

Зная оптимальные значения хщ>пт, нетрудно опреде­ лить ВерОЯТНОСТИ Яіошг И Dihoпт

состоянии определенная стратегия выбирается с вероят­ ностью единица.

Алгоритм оптимизации ТО методом линейного про­ граммирования следующий: выбирают число N состоя­ ний марковской модели, формулируют стратегии управ­ ления ѵі, вычисляют элементы матриц i[af;(&)] и (с,-ь), на­ ходят хікопт, рассчитывают я*опт и D a0Пт, определяют ТЭХ оптимального ТО, математическое ожидание мини­ мальных УЭР, коэффициенты готовности или простоя, числовые характеристики, а в случае необходимости и закон распределения выходного параметра устройства.

Пример 4-6. Предположим, что функционирование и обслуживание непрерывно используемого приемника

155

ные данные оптимизации ТО и показать особенности формализации постановки задачи, рассмотрим возмож­ ные стратегии обслуживающего персонала, когда прием­ ник находится в различных состояниях.

Если приемник находится в So, обслуживающий пер­ сонал считает целесообразным лишь контролировать его работоспособность. Тогда в 50 он располагает только одной стратегией d0 и, следовательно, ѵо=1. Если в мо­ мент KP приемник находится в состоянии Si, обслужи­ вающий персонал может выбирать, например, две страте­ гии: du или di2, лц=2. Он может по-прежнему ограни­ читься KP du и может провести оперативную регулиров­ ку (РГ) без прекращения работы di2. Величина йю (2) является интенсивностью РГ.

Если приемник отказал — находится в S2, обслужи­ вающий персонал может провести АР своими силами — du (а2о (1 )— интенсивность восстановления работоспо­ собности) и может пригласить специальную бригаду — ^22, которая располагает более квалифицированными ре­ монтниками, имеет более совершенную контрольно-изме­ рительную аппаратуру, запасные .детали и все инстру­ менты, необходимые для АР. В последнем случае интен­ сивность АР возрастает, но одновременно растут и затраты на АР.

Если приемник выведен на ПО (S3), имеется только одна стратегия (dsі) — проводить ПО своими силами.

Исходные данные примера сведены в табл. 4-2. Они носят иллюстративный характер, но подобраны из обла­ сти реальных значений. Величины е0і и Сц характеризуют

156

но ожидаемые затраты для каждого состояния, т. е.

В соответствии с основной теоремой линейного про­ граммирования остальные переменные равны нулю, по­ этому

«01*01 + «н*іі + «21*21— 0;

«02*01 + «12*11 + «22*21 = 0 ;

«1 3 * 1 1 + «зз* зі= 0;

* 0 1 + * 1 1 + * 2 1 + * 3 1 = 0 .

Как обычно решим эту систему коэффициентным ме­

Сучетом данных табл. 4-2 получим: х01= 0,905;

~0,0943; 0,0986-ІО-3; х31»0,6104-ІО“3. ТЭХ ТО для такого управления М[С}=0,10768 руб-ч~1-, kv=0,986■ ІО-4; &п=0,6104• ІО-3; йг= 0,9993.

Если относительные квантованные значения чувстви­ тельности приемника у*0= 0,9; у * і= 0,8; у*г~У*г=^, то математическое ожидание и дисперсия чувствительности

Шу~0,8905; о \ = (3,59- ІО-2)2.

Перейдем к улучшению решения. Посмотрим, к чему приведет использование di2. Новое решение

приводит к М[С]=0,0889, следовательно, решение Di не является оптимальным.

157

Попробуем еще улучшить решение и введем страте­ гию й?22. тогда

а М [С]^0,05696, следовательно, D0ni = D3. Для него Хоі=

KP и РГ для второго состояния, проведение АР специ­ ально приглашенной бригадой в третьем состоянии и про­ ведение ПО своими силами в четвертом состоянии.

В рассмотренном примере оптимизации ТО по сравне­ нию с Di приводит к снижению УЭР примерно на 55,3%, увеличению &г на 0,053%, улучшению математического ожидания чувствительности на 0,953% и снижению сред­ неквадратического значения чувствительности на 15,2%.

Пример показывает, что отыскание оптимальных ре­ шений методами линейного программирования относи­ тельно сложная вычислительная процедура, особенно для реальных задач, где велики число возможных состояний изделий и число стратегий в каждом состоянии. Поэтому актуальны также и задачи построения более совершен­ ных вычислительных алгоритмов, учитывающих специфи­ ку оптимальных задач ТО.

Итак, в этом параграфе сформулирована задача оптимизации ТО как задача линейного программирова­ ния, отмечены особенности ее решения. По сравнению с классическими методами оптимизации ТО (см. § 4-2— 4-5) методы линейного программирования требуют не­ сколько большего объема исходных статистических дан­ ных, но зато позволяют оптимизировать процесс с учетом совместного проведения KP, РГ, ПО и АР. Недостатком является то, что учет расходов ведется не дифференци­ рованно— например, затраты, обусловленные отказами изделий, учитываются в неявном виде. Полученные ре­ шения справедливы только для режима статистического равновесия. Последний недостаток не является сущест­ венным, так как для обслуживаемых и восстанавливае­ мых изделий этот режим практически наиболее интересен.

158

4-7. Итерационный алгоритм оптимизации обслуживания систем методом динамического программирования

Модификацией симплекс-метода линейного програм­ мирования, допускающей многократные подстановки [Л. 50], является итерационный алгоритм улучшения ре­ шения, предложенный Р. Ховардом [Л. 51]. Эта модифи­ кация позволяет существенно сократить объем вычисле­ ний и экономить машинное время, за счет этого может быть значительно увеличена размерность решаемых задач.

В соответствии с [Л. 51] рассмотрим управляемый марковский процесс с доходами и расходами. В дальней­ шем, ориентируясь на задачи ТО, будем говорить о рас­ ходах. Предположим, что пребывание устройства в со­ стоянии Si связано с расходами в среднем г« рублей в единицу времени. Величина га может характеризовать, например, убытки от простоя оборудования на АР и ПО. Если устройство переходит из Si в Sj (іФ ]), обусловлен­ ные этим переходом средние расходы равны Гц, руб., за один переход. Величина Гц может характеризовать, например, стоимость отказа устройства во время опера­ тивной работы. Ясно, что в общем случае гц и гц могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Как и ранее, задача оптимизации заключается в вы­ боре таких стратегий в каждом состоянии, которые ми­ нимизируют математическое ожидание УЭР. Итерацион­ ный алгоритм позволяет осуществлять направленный перебор решений. Например, если устройство может нахо­ диться в 10 состояниях и в каждом состоянии может применяться 10 стратегий, то, применяя обычный пере­ бор, придется ІѴі= 1010 раз решать систему алгебраичес­ ких уравнений десятого порядка. С помощью итерацион­ ного алгоритма оптимальное решение находят за не­ сколько, обычно три — десять, итераций.

Следуя [Л. 51], выведем аналитические выражения Для целевой функции для состояния статистического рав­ новесия. Дифференциальные уравнения, описывающие динамику расходов в переходном режиме, составляют так же, как и для вероятностей (см. § 2-2—2-4). Если устройство начинают эксплуатировать из состояния Su

159