Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 274 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

зависят от времени, например

	з	з
	м-х=	3^=^] хіотРі т х .	(2-27)
	1=0	і= о
Корреляционную функцию Кх (т) процесса X(t)			приб
лиженно	найдем	следующим путем. Аппроксимируем
процесс	X(t) случайной последовательностью		прямо

угольных импульсов с детерминированной амплитудой А = хМакс—хтш. Длительности импульсов выберем, рав ными длительностям положительных выбросов X(>t) за уровень тх, а интервалы между импульсами выберем равными длительностям отрицательных выбросов за уро вень тх. Функцию Kx(t) найдем с помощью обратного преобразования Фурье от спектральной плотности А(ш) случайной последовательности прямоугольных импульсов с постоянной амплитудой (Л. 35]

^	/уЛ__	2 (хмэкс Хмнн)2^	n c [ i - S i ( » ) ] [ i - . 6 i H ]
	У ,	W2 (л + ^)	1 — И h И	’
где	(to)	и І2(со)— характеристические функции		дли

тельностей положительного и отрицательного выбросов X(t) за уровень тх. Например,

СО
^ И = J eimt	ve-^dt =
о
где р — интенсивность	пересечения		процессом		уровня
тх с положительной производной.
После необходимых преобразований
2 (Хмакс ' ‘ Хмин)а Д*				eia>t d(o=
(К+	р)[со2+ (7 +	(J.)2]
(Хмаке	Хмиң)2 рХ	—
О + р )2
Уточним Хмакс и xMHH с помощью			числовых характе
ристик (2-27).
Обозначим Хмако==tnx-\-kax, хмш= тх—kax,					восполь
зуемся условием Д х ( 0 ) = <г2х, тогда					(2-28)
k=m?=l’					(2-28)

Следовательно, для приближенной оценки качества при перемежающихся отказах устройств достаточно по

отрезку реализации процесса статистическим путем опре делить требуемые интенсивности пересечения, а затем с помощью полученных соотношений вычислить искомые характеристики.

Итак, в данном параграфе рассмотрены некоторые основные типы марковских моделей появления отказов элементов и необслуживаемых устройств, построенные с помощью квантования по уровню выходных случайных функций. Достоинство этих моделей в том, что они по зволяют связать изменение качества устройств с измене нием их параметров, учесть взаимосвязанное появление внезапных и постепенных отказов, оценить различные характеристики качества устройств при перемежающихся отказах. При построении моделей на вид случайных функций, характеризующих изменение параметров эле ментов и необслуживаемых устройств, не накладывается никаких ограничений. Они могут быть линейными, вы пуклыми вверх или вниз, иметь точки перегиба и т. п. С учетом точности исходных данных сложность структу ры моделей можно оптимизировать по требуемой точно сти расчетов характеристик качества.

Отличительная особенность рассмотренной марков ской аппроксимации заключается в том, что вероятност ные характеристики качества элементов и необслуживае мых устройств оценивают по минимуму статистики о времени пересечения случайными функциями фиксиро ванных уровней квантования. Вопросы получения и об

работки статистических данных будут рассмотрены в
гл.	7.
2-3.	Модели технического обслуживания систем

Техническое обслуживание обычно изучают метода ми теории массового обслуживания и теории восстанов ления [Л. 3, 6]. Эти методы позволяют при некоторых упрощающих анализ предположениях определять веро ятностные характеристики длительности обслуживания: вероятность завершения технического обслуживания за фиксированное время, плотность этой вероятности, ма тематическое ожидание, дисперсию времени обслужива ния и др.

Наряду с этими характеристиками значительный ин терес представляют и те, которые получают с учетом

влияния обслуживания на характеристики качества об служиваемого устройства. Очевидно, что в таких иссле дованиях необходимо применять вероятностные модели, в которых фиксируют значения определяющих парамет ров устройств до и после обслуживания.

Кроме того, большинство реальных видов техничес кого обслуживания, как правило, включает не детерми нированное, а случайное число операций, которое зави сит от технического состояния устройства, поступающе го на обслуживание, вида обслуживания, характера отказов, наличия запасных частей и необходимого инст румента, квалификации обслуживающего персонала и т. п. Поэтому необходимо привлекать и математические модели со случайным числом операций. Рассматривая это число как параметр рандомизации [Л. 27, 28], в дальнейшем такие модели будем называть рандомизи рованными моделями технического обслуживания, а са ми процессы — рандомизированными.

В этом параграфе мы рассмотрим простую вероятно стную модель технического обслуживания, которая, учи тывает изменение определяющего параметра устройства в процессе обслуживания [Л. 15], и рандомизированную модель [Л. 27, 28]. Предполагая длительности отдельных операций экспоненциально распределенными величина ми, с помощью решения дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова, описывающих динамику обслужива ния, найдем аналитические соотношения для вероятно стных характеристик процессов обслуживания.

Рассмотрим восстановление работоспособности уст ройства после отказа, включающее т последовательных операций: отыскание неисправного узла или элемента, приготовление инструмента и необходимых деталей для ремонта, разборка неисправного узла, ремонт, сборка отремонтированного узла, настройка и т. п. Предполагая интенсивности проведения отдельных операций извест ными, найдем вероятность К(т) восстановления устрой ства за фиксированное время т, плотность н(т) этой ве

роятности, математическое ожидание Тѵ и дисперсию времени восстановления.

Обозначим через S* такое состояние отображающей марковской системы, когда выполнено і операций вос

становления і = 0,т. Дифференциальные уравнения для вероятностей Р%{х) пребывания системы в 5 г м состоя

нии имеют вид [Л. 15]:

Р 'г- ( т ) = - !ггЧіРІ.(т) + !х,Р,_1(х), i = ÖTiH, (2-29)

где (іі — интенсивность проведения й"і операции восста новления, ііг= 0 при т < / ^ 0.

Как правило, отсчет ведется от момента времени, когда не выполнено ни одной операции восстановления, поэтому можно считать, что в начальный момент време ни т = 0 система находится в 50-м состоянии и начальные условия для решения системы (2-29) определяют сингу лярное распределение

РІ К ) = 5ог.	1 = О, Ш,	(2-30)
где бог — символ Кронекера.	Могут представлять	инте

рес и другие начальные условия, например, в которых предполагается, что в начальный момент времени уже выполнено k операций восстановления. Однако даль нейшее решение такой задачи аналогично, достаточно лишь учесть, что в этом случае процесс включает т' = = т—k операций. Очевидно, можно использовать и бо лее общие начальные условия, которые определяют не сингулярное распределение

	Рі і \ ) =		Рі\ і =Ö T ^;			т
						2	^ = 1.	(2-31)
						/=о
Прямое преобразование Лапласа системы (2-29) при
начальных условиях (2-30) дает:
РА*)				P /o \--- ----------üi______				. •••>
	s + [X.’			ll	(s +		fAi)(s + [A2)
				_____ M*1ia2• • •			- l______ .
	P m - 1 ( S )	=
				(s +	(T,) (S +	m )	. .. (s -f- Jj.m)	’

Л /„\_-______ РчР'Й ,. , fAw______

* m l 6 /

s (s _i_ JJ,,) (s -(- |J.2) . . . ( s + |Tm)

Вероятность восстановления устройства ветствует вероятности попадания марковской состояние Sm, следовательно,

(2-32)

V{x) соот системы в

			in	т
		V (х) =	р т (х)— 1 ■ V	д - ! Ѵ П	14	(2-33)
			U	* ■	H-t —
	т	т	i = 1	M i
	т	т
г д е	Е	П	= ' ■
	і = і	іфі
3 - 3	8 5					33

Плотность распределения вероятности восстановле

ния

	Ѵ-І—Н	■pp	(2-34)
(=і і^ і

интенсивность восстановления
W(т) =	О(х)		(2-35)
	1 -Ѵ(х)

Используя выражения (2-32) как моментные производящие функции времени пребывания системы в со

стояниях S0, Sm-1, найдем математическое ожидание времени восстановления

Ш-І

				(2-36)
І — О	s —о
Дисперсию времени вычислим		с учетом соотношения
<4Ѵ= т2— Гу, где т2— второй начальный момент				вре
мени восстановления, тогда
< = 2 БП(нч - H-J		ц*	V’	(2-37)
І=І ІФІ
коэффициент вариации	времени	восстановления		kv =

= ОѵХѵ~1-

Функция (2-34) является плотностью распределения суммы т случайных длительностей операций восстанов ления, каждая из которых распределена по своему эк споненциальному закону. Это распределение класса гамма-распределений.

В самом деле, если использовать приведенную интен

сивность	проведения	отдельной	операции	р.=
	то	распределение	(2-34) приводит

к гамма-распределению с параметрами и, т. В настоя щее время в исследованиях процессов широкое распро странение получил закон Эрланга первого порядка, ко торый является частным случаем гамма-распределения,

когда т=2. Такой подход использует гипотезу о том, что восстановление включает две обобщенные операции; отыскание и замену неисправного элемента.

Перейдем к рассмотрению модели, учитывающей из менение определяющего параметра устройства при об


служивании. Предположим,							что		Ѳ	S1
обслуживание состоит				из		после
довательно связанных во времени
восстановления,		после			которого
устройство	работоспособно						и
определяющий		параметр				прини
мает значение лучше критическо
го, и регулировки или настройки
устройства,	после		которой			опре
деляющий	параметр			принимает
наилучшее значение. Такой							про
цесс часто наблюдается, напри
мер, при восстановлении					работо			Рис.	2-2. Граф	обслужи
способности	приемника				радиоло
								вания.
кационной станции,			когда			после

устранения неисправности приходится настраивать отре монтированный приемник для получения максимальной чувствительности. Во многих случаях после ремонта сложных устройств возникает необходимость в их регу лировке или настройке.

Для упрощения анализа изучим процесс с четырьмя

состояниями т = 2,	п —2.	Это соответствует случаю,	ког
да различают две	градации выходного параметра,		на
пример уровень прогноза		(уровень предотказа) [Л.	74]

и уровень отказа, а восстановление состоит из. отыска ния и устранения неисправности.

Граф обслуживания приведен на рис. 2-2. Ветвь SoS2 графа отражает то, что с некоторой вероятностью опре деляющий параметр может принять наилучшее значение и непосредственно после восстановления — без дополни тельной регулировки или настройки. Используем прави ло Б. В. Васильева [Л. 30] и составим дифференциаль ные уравнения для определения вероятности того или иного состояния системы

Р \ (т) =	— 0Р. (%) -f f\P2 (т);
Р \ (х ) =	— (f t, +	(2-38)
		f tР) * СО + f t - P s СО;
. P's СО =	— f t P 3	СО»

где Р3(т ) — вероятность того, что за время т не будет выполнена ни одна операция обслуживания; Р2(т) — вероятность того, что за время т неисправный элемент будет обнаружен; Рі(т) — вероятность того, что за время т работоспособность устройства будет восстановлена и параметр примет значение выше уровня отказа; Ро(х)— вероятность того, что за время т работоспособность устройства будет восстановлена и параметр примет наи лучшее значение; рз — интенсивность отыскания неис правного элемента; р4 и ро — интенсивности замены не исправного элемента; Ѳ— интенсивность регулировки устройства.

В начальный момент времени процесс находится в состоянии S3l поэтому начальные условия для решения

системы (2-38): Рі (0) = б ,з , ( = 0,3. При таких условиях найдем изображения тех вероятностей, которые потре буются в дальнейшем:

	Ps (s) =		- J —		; Р 2(s) =		7-т ----^ ---- -— г ;
	зѴ ’		s + H's		2W		(s +		Ps)(s +	Po + Pi)
	p	fc\ —		____________ _________________
		1		(s 4 - Р г ) 0 + .u o + Р і ) 0 + 8)
Вероятность восстановления соответствует вероятнос
ти того,	что	за	время		т процесс			покинет		состояния Sг
и 5 3
У(т) =	1 — \Р2СО +			Р3(х)1=		1 -		а3е~*" -			;
											(2-39)
плотность этой			вероятности
	и (х) =				+ (р0+ р .)					,	(2-40)
где	ö, =	1 ------д -^ -г — ; а» =							------ —------;
			ЬЧ 4" "Ь ^2				"		— Н0—Н1
среднее время восстановления
	=	1 ^	2 (S) +		^3 (S)]s=0		—				(2-41)
дисперсия времени восстановления
			2	2ах I		2аг			_2		(2-42)
											(2-42)

Вероятность завершения обслуживания R ( x ) — ве роятность достижения определяющим параметром наи-

лучшего значения — определим как вероятность попада ния процесса в состояние 50

R to = 1 - [^o М + Р>W - Рз W] = 1 - а # ™ -

	-	але~м			^	- até~^\		(2-43)
плотность этой вероятности
г (х)=^а ,е		I	I	„	\ „		I	„ — 8 *
	2 + ( ц 0+			и ,К е '			'Н-ва,<Гв\ (2-44)
где
а — а Л________ _________
3	1 '	(0о	+	0 і		= 7 ^ : а4 — «а +
					—ü)(60 — 0 2)
0 і 0 г								Н іИ г
(На — Но — Ні)(Ѳ — Но — Н .)					’ 05	(На — 6)(Ио + H i — Ю ’
интенсивность обслуживания 1ЕГ (т) =							г (т) [1 —/?(т)]-1.
Математическое		ожидание				времени		обслуживания
тг	% Р і И			— ,		л____		(2-45)
				—		Мно + н.)
Как и следовало ожидать, среднее время обслужива
ния складывается		из	среднего			времени		восстановления

и некоторой части среднего времени регулирования, ве личину которой определяет соотношение между р0 и 0 4.

Если 0=	const,		то	при	pou.71— Д), хг— мгѵ+0_1, при
—1	тГ	МГѵ.
000 !	тГ	МГѵ.
Дисперсия времени улучшения параметра
	2 ___ і ) /		Д \|	I	Щ	I	#5	(2-46)
	г _	\	ні		4" Ні)2	'	Ѳ2	(2-46)
	г _	\	ні		4" Ні)2	'	Ѳ2

вариация этого времени Ѵг= огхг

Пример 2-2. Для иллюстрации свойств описанного про цесса технического обслуживания рассмотрим характери стики распределения (2-44) при следующих значениях параметров: 0О= 1 «г-1, 01= 1,2 02= 1,4 ч~\ 0 = 0,4 ч~1.

Использование формул для среднего времени восстанов ления и обслуживания, а также для вариации этих ве

личин дает: ту = 1,34 ч;		Ѵѵ=0,343; тг=2,63 ч;	Ег=0,865.
На рис. 2-3	показаны	графики г{ха)сг1 (1),	WT{ax)arx
(2) и R(ax)	(3), где ß=O,25(0o+0i + 02+ 0 ) = 1		ч_1.

Анализ влияния отдельных параметров распределе ний (2-40) и (2-44) показывает, что основную роль игра ет наименьшая интенсивность, которая в основном и определяет параметры процессов восстановления и обслуживания. Например, в рассмотренном восстановле

нии такой величиной является р0=мині![р,0, ць цг], поэтому и-

грубой «оптической» оценкой среднего времени вос

становления	может служить
величина	т*н = \|До_1^ 1 ч

(точное значение ту=1,34 ч).


В улучшении			определяюще
го	параметра наибольшую
роль играет			величина		Ѳ=
=	мин {цо, Ці,		Ц2, Ѳ],	поэтому
грубой		«оптимистической»
оценкой		среднего		времени
улучшения может				служить
величина		хг=в~~2,54 ч
(точная		оценка тг=2,63			ч).

С ростом т интенсивность об служивания (интенсивность улучшения определяющего параметра при обслужива нии) Wr{t) --- >~МИ'Н[|Ло, |М, |І2,

Ѳ]. В рассмотренном .приме ре WT{%)— *Ѳ = 0,4 ч-1.

Перейдем к рассмотрению рандомизированной моде ли технического обслуживания. По известным распреде

лению числа операций и интенсивностям их проведения найдем вероятность завершения технического обслужива ния за фиксированное время, плотность этой вероятнос ти, математическое ожидание, дисперсию и вариацию времени обслуживания.

Обозначим через я к вероятность того, что процесс со

стоит из k операций, k = l, т. Условную вероятность пре бывания процесса в состоянии в момент времени т обозначим через Pt (т//е), следовательно, Рт(т/т) — условная вероятность завершения технического обслужи вания. Эта вероятность по-прежнему определяется из формулы (2-33) с тем лишь отличием, что теперь уже интенсивности проведения операций обслуживания зави сят от к.

Вероятность завершения технического обслуживания определим по формуле полной вероятности [Л. 28]

R Ы =	ял -Sn
k=\	1=1 l^i

P i	(k)	_ e—V-Ak)i	(2-47)
P i (k)	— P i ( k )

плотность этой вероятности

f(x)

M-t (k) — H-i (k)

p-Pi{k^

(2-48)

ps (^) Pi ik)

k = \

i=.\

\ф і

■

среднее время обслуживания

P i

(k )

(2-49)

s7 ,-“fts7 n

k — \

i —1 }Фі

дисперсия времени обслуживания

а ? = 2<S-Sli1 1P i

рі W

(2-50)

Ю -

P i (*)]

P i ( k )

'-k= l

i —I ІФІ

вариация этого времени Ѵг= згт—I

Пример 2-3.

Для

иллюстрации свойств

рандомизиро

ванного технического обслуживания

рассмотрим процесс

с т — 2 и р, (1) =

24_1, р, (2) =

4^_1,

р2(2) =

3<г-1.

Для

него

/г (х )= г 1[

і - е- л(|)т] +

Жз(2)Л .

(2)

- М 2 ) і _________ Нч (2)

— Рг (2)

Ра (2) — р, ( 2)

г (і )= щрЛ 1)е~м1)т +

P t (2)

P i

(2)

-|Л ,(2)Т _|_

Р ,

(2)

р 2 (2)

- ^ ( 2 ) ,

(2) — Я-, (2)

"И М 2 ) - М 2 )

На рис. 2-4 показаны графики г(х)

при сингулярных

распределениях

числа

операций: m = l,

я2= 0 (1),

я і=

= 0, я2=

1 (2)

и при равномерном

распределении

я і =

= я2= 0,5

(3) . Как видим, с вероятностной точки зрения

рандомизация приводит, к рассмотрению смеси т гамма-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 274 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ