книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

проксимирующих полиномов вполне удовлетворяет ре­ альным требованиям к точности решения задач.

Примером применения полиномов четвертого порядка служит случай, когда интенсивности проведения опера­ ций ТО параболически зависят от параметра х (числен­

= 5 [ft O')— ft w i* .

Интеграл в уравнении (3-104) в элементарных функ­ циях не выражается, поэтому вычислим его приближен­ но. Выделим интегрируемую часть, тогда

120

ке М, вблизи которой нас интересует поведение харак­ теристик ТО. Перемещая М, нетрудно построить реше­ ние на всем интервале. Удерживая три члена ряда, по-

e~^ dx =

тов в зону управления (нагрузка диспетчера).

При обслуживании самолета диспетчер последова­ тельно выполняет две обобщенные операции: обрабаты­ вает информацию о положении самолета и управляет

121

его движением. Каждая из этих операций складывается из большого числа более мелких, поэтому их продолжи­ тельности можно считать нормально распределенными случайными величинами. Параметры этих нормальных законов нелинейно зависят от нагрузки диспетчера. При­ меняя параболическую аппроксимацию этих зависимо­ стей, найдем интенсивность обслуживания самолетов диспетчером. Расчеты показывают, что в зависимости от класса аэропорта и времени суток интенсивность прибы­

одного диспетчера) нагрузку диспетчера можно пред­ ставить в виде

x ( t ) = —26,12+61,2 t—27,78 t2, сам-чг1, 8 < ^ < 1 4 .

Параметры распределений продолжительностей реги­ страции и управления зависят от этой нагрузки следую­ щим образом:

ті(х )60 _1= —0,07 +0,037 X—0,6 -10~3 х2, мин;

01(х)6О_1 = 0,024+ 0,6 • 10~3х—0,12 • 10_3х2, мин;

гпз(х)60~і= —0,602 + 0,794л:-—1,468-10“2 х2, мин;

<72(х)60_1= 0,74+2,66 • 10_3х + 1,867 • 10~3х2, мин.

Интенсивности регистрации и управления самолетом

Для момента времени t — &4 параболическая аппрок­ симация дает:

р.і(т)=0,052—165,5т +4,32ІО3т2;

Рг(т) =4,4 • ІО-2—0,251 т + 0,1945 т2.

Ясно, что основную роль в процессе управления игра­ ет интенсивность Р2(т), так как ее величина значительно меньше. Поэтому вероятность завершения обслуживания

122

диспетчером самолета, поступившего в зону в момент времени t = 8 ч\

Ѵ{%) = 1—ехр[—(0,44 • 10 -4 —0,1255 т2+0,0648 т3)],

плотность этой вероятности

о(т) = (0,44 • ІО-3—0,251 т + 0,1945 т2)ехрХ

X [— (0,44 • 10- 3т—0,1255 т2+ 0,0648 т3)],

интенсивность обслуживания

W (т) = 0,44 • 10-3—0,251 т + 0,1945 т2.

Следовательно, время обслуживания самолета, посту­

если нагрузка превышает максимально допустимую. Более точный и подробный анализ вероятностных ха­

рактеристик обслуживания можно привести, построив семейства кривых Ѵ{%, t), v(x, t) и W (x,t), параметром которых служит момент t поступления самолета в зону управления.

Полученный результат в данном примере легко было предвидеть — по сути дела, мы отыскивали закон распре­ деления суммы двух нормально распределенных величин, в которой моменты одного из слагаемых намного отли­ чаются от моментов другого. Пример показателен с дру­ гой точки зрения. Он иллюстрирует метод учета влияния изменения условий работы обслуживающего персонала на интенсивность обслуживания.

Итак, в этом параграфе рассмотрены модели ТО для случаев однотипных и неоднотипных распределений про­ должительностей операций, показаны особенности при­ менения моделей с полиномиальными некратными интен­ сивностями. Описанные модели могут найти применение для анализа и других видов массового обслуживания. Их можно обобщить, если рассматривать масштабные коэффициенты рц в выражениях (3-100) —(3-102) и коэф­ фициенты полиномов (3-103) как случайные параметры.

123

3-8. Качество обслуживаемых систем, эксплуатируемых в нестационарных режимах

Для анализа качества обслуживаемых изделий могут применяться лишь модели, в которых интенсивности име­ ют один порядок роста, так как только в этом случае наступает режим статистического равновесия, который имеет место в реальных условиях. Мы используем моде­ ли с частным видом таких интенсивностей — с кратными интенсивностями. С их помощью можно получить точные аналитические выражения для характеристик качества. Построим два вида моделей, в одном учтем АР изделий, в другом, более общем, учтем, кроме того, ПО.

Рассмотрим модель первого вида. Пусть Хо(т) = A o s (t ) ,

г)о(т) = tio s(t.), t)i (t ) = t]i s (t ) , p ( t ) = j i s (t ) известны. Тре­

буется определить характеристики качества восстанавли­ ваемого изделия: вероятность исправной работы, вероят­ ность простоя на АР, коэффициенты готовности и про­ стоя, моменты «ли закон распределения определяющего параметра и др.

Динамика изменения качества изделия описывается системой

Решение неоднородной линейной системы (3-110) бу­ дем искать в два этапа: вначале найдем решение соот­ ветствующей однородной системы, а затем методом ва­ риации постоянных определим конечный вид решения.

Решение однородной системы будем искать в виде

(3-111)

124

где 6(х) = j s (х) dx. Подставим (3-111) в однородную сй-

стему и получим:

Система (3-112) имеет ненулевое решение лишь тог­ да, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия получим:

алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы (3-112)

Из второго уравнения найдем:

и подставим с'і(т) в первое уравнение, тогда

c>t{x)= -!!± V L .e '* (Ч

Л \ / ________ CL.

(3-116)

С 1\'Ь/ ) = ---------- — а.

125

Интегрируя выражения (3-116), получим;

Рассмотрим предельное поведение вероятностей

126

Особенностью решения задачи является то, что, не­ смотря на изменение во времени интенсивностей ухудше­ ния определяющего параметра изделия, интенсивностей внезапных отказов и интенсивности восстановления, ре­ жим статистического равновесия наступает и оценку качества изделий, эксплуатируемых в нестационарных режимах, по истечении времени переходного процесса можно производить, как и ранее, с помощью коэффици­ ентов готовности и простоя. Важно также и то, что в этом случае одномерный закон распределения опреде­ ляющего параметра изделия не зависит от времени. Интересно отметить, что такое явление имеет место да­ же в том случае, когда s(t) является периодической функцией.

Следовательно, с помощью выражений (3-117) можно оценивать характеристики качества изделий как в пе­ реходном, так и в установившемся режимах. Например,

3) т ^ О Д а(х) = ( 2 / ^ ) - 1, Ѳ(х) = / х .

Постоянную времени то переходного процесса оценим как время первого достижения вероятностью Р«(т) уровня

Х-ЮО

Так как Цор-1, тцр-1, А-ор^-СІ, то из выражения (3-113) следует, что ѵ і^ р , а ѵгѴіСІ, поэтому То в ос­ новном определяется величиной ѵ* Приближенную очень простую оценку то легко получить, раскладывая в (3-117) £-■»»8(4 в рЯД Маклорена с удержанием двух членов, тогда

127

(3-124)

P3(T) = 1 — P0M — P1W — P2('t)-

При решении однородной системы вероятность Р2(т) отыскивается в виде ре~гв <т), поэтому

г= аі(Вг—Рз) +аг(Рз—ßi) +«з(рі—ßz);

а, = (гц + ѵ— 'öi) (g— 6 i),

ß i = T]o(^— 6 i ) , P i = P = T )0 V ,

где бі являются корнями кубического уравнения б3—(ро+ Р+Л0 + рі + ѵ + І)б2+ [ |( р 14-ѵ) +

~Ь (т)і+ ѵ + £) ('По+Ло+ р)]б + ^(рі+ѵ) (ро+ ^о + р) =0.

Так же, как и ранее, приближенная оценка постоян­ ной времени переходного процесса

Ѳ(то) =,0,9[мин (бь б2, б3)]-1.

Постоянные интегрирования Сі в системе (3-124) определим, как обычно из начальных условий. Напри­ мер, если р і(0)= д0і, то определяют из системы урав­ нений

р і(г).

Таким образом, как для переходного процесса, так и для состояния статистического равновесия, нами получе­ ны выражения для вероятностных характеристик процес­ са изменения качества профилактически обслуживаемо­