книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

где ( уже играет роль числа неизвестных параметров. Особенности решения выражения (7-11) рассмотрим на примерах оценки реализа­ ции параметров показательного и гамма-распределений.

Отсюда вытекает, что для оценки параметра показательного рас­ пределения необходимо знать реализации числа отказов в любых двух соседних сечениях времени, т. е., как и следовало ожидать, необходимо решить только одно трансцендентное уравнение (7-13). Покажем, что решение уравнения (7-13) существует и является единственным.

Теорема 7-1. Если di+i—d-іФ0, 7=1, 1—1, то Лэ^О [см. формулу (7-ТО)] и решение уравнения (7-13) существует и является единст­ венным для любого і.

Доказательство. Так как первый корень уравнения Л = 0 из рас­ смотрения исключается, необходимо доказать, что существует еще

следует, что Л = оэ, т. е. первая стационарная точка доставляет минимум функции L (Л). Вторая стационарная точка определяется из ре­

шения уравнения 1—L (АА^+Ѵі )—0 при е ~АіАіфй, т. е. Лш=(1—ivJ/iAt'

Непосредственной подстановкой значения Ат в L (Л) нетрудно убедиться, что Ат доставляет L (А) максимум

Так как 1—7ѵ; является малым параметром, то, раскладывая показательную функцию в ряд Маклорена с удержанием .первых трех членов, получим:

Отсюда вытекает справедливость неравенства (7-14), следова­ тельно, решение уравнения (7-13) существует. Так как L(A) имеет

240

всего лиіиь один максимум, то решение (?-13) является и единствен4* ным, что и требовалось доказать.

Для определения корня А* уравнения (7-13) целесообразно при­ менить итерационный алгоритм, построенный по комбинированному

где в качестве первого приближенного значения корня целесообраз­ но выбирать А*і = (1,75ч-2,5) Am. Это обеспечивает сходимость ите­ рационного процесса за две-три итерации.

Пример 7-2. Пусть di=593 шт., 6$=632 шт., /і = 80 ч, #2= 90 ч,

требуется оценить параметр показательного распределения времени безотказной работы устройств.

1-8 -0 ,0 6 5 7

=-------gg------- =0,593ІО“ 2 ч-1, выберем A*,=2A*m = 1,186-ІО -2,

Это трансцендентное уравнение решается также итерационным методом с помощью системы уравнений (7-16).

Пример 7-3. Пусть ѵ[—0,204, At—10 ч, ^ = 80 ч, 12=90 ч. За три итерации получим а^1,01 • 10~2 ч~1.

Реализации параметров а ь щ, получаемые из уравнения (7-11), различны для различных систем точек реализации d(t). Оценку пара-

241

Метров icti, ai по ансамблю систем точек для одной реализации d(t) получают обычным путем. Более точные оценки параметров можно получить, если воспользоваться методом наименьших квадратов. На­ пример, для экспоненциального закона Л можно находить из усло­

вия минимизации

I

где JCi=Vj+AA/.

При малых I трансцендентное уравнение (7-19) решается отно­ сительно просто методом итераций. В качестве исходного значения целесообразно выбирать А*і = (1—Ѵі,)А/-1. При больших I объем вы­

= 1,М 0-Ч -'.

Таким образом, задача оценки интенсивности отказов по реали­

ской обработке. По характеристикам Л (t) с помощью формулы (7-9) находят характеристики N.

Так как в формуле (7-10), по сути дела, используется оценка углового коэффициента d(t) в промежутке At=ti+l—4t, то величину Аt целесообразно выбирать небольшой, чтобы соблюдалась справед­ ливость линейной аппроксимации. С другой стороны, At должно быть таким, чтобы в этом промежутке наблюдалось не менее 10— 20 отказов. Итак, мы наметили пути оценки интенсивностей моделей в условиях частичной неопределенности и характерные особенности этой оценки проиллюстрировали примерами Обобщить и уточнить полученные решения можно за счет использования квантования вре­ мени с переменным шагом, более точных оценок интегралов в уравне­ нии (7-11), рассмотрения случайных моментов наблюдений и т. п.

7-4. Определение параметров математических моделей вероятностными методами

При определении интенсивностей вероятностными методами не­ обходимо .решать следующие две задачи: найти удобное аналитиче­ ское представление исследуемого случайного процесса по известным вероятностным характеристикам и определить корни стохастического уравнения для отыскания интенсивностей. Обе задачи имеют боль­ шое практическое значение и в то же время являются достаточно сложными и интересными задачами теории случайных функций.

Первую задачу чаще всего решают тогда, когда по вероятност­ ным характеристикам строят реализации процессов. Наиболее рас­ пространенными являются канонические и неканонические формы аналитического представления, в которых процессы с той или иной степенью точности отражаются детерминированными линейными или

242

нелинейными функциями некоторой совокупности случайных пара­ метров [Л. 21, 43]. Преимущества и недостатки таких представлений известны. Вторую задачу часто изучали в прикладных исследова­ ниях теории случайных функций. Применительно к анализу надежно­ сти ее решением занимался Б. В. Васильев [Л. 30]. По существу, эта задача близка к задачам отыскания обратных функций.

В этом параграфе мы найдем интенсивности пересечения фикси­ рованных детерминированных уровней линейным, нелинейным и пе­ риодическим сингулярными процессами, установим взаимосвязь между интенсивностями, одномерной функцией распределения и за­ конами распределения продолжительностей отрицательного и поло­ жительного выбросов стационарного процесса; покажем простой путь

Интенсивность Ц; ухудшения параметра на фиксированную ве­ личину &Хі =Хі—Хі+I вычислим по случайному времени пребывания процесса в интервале [хг-, х ж ]

Следовательно, интенсивность ухудшения есть не что иное, как нормированная по величине кванта скорость изменения параметра, ее вероятностные характеристики полностью определяет линейное преобразование (7-26). Ясно, что тип закона распределения т)4 такой же, как и у а,-. Пользуясь методом линеаризации, получим:

Если АХі — Axj = Дх, то

Поэтому при линейной аппроксимации целесообразно квантова­ ние по уровню с постоянным шагом, тогда процесс ухудшения пара­ метра характеризует всего лишь одна интенсивность. Простота и на­ глядность этой характеристики очевидны.

2 4 3

Найдем интенсивность ухудшения параметра при параболиче­

Легко заметить, что формула (7-26) является частным случаем

(7-33), если а2=0, a Axi=Axj=iAx

(7-35)

В отличие от линейной аппроксимации при параболической це­ лесообразно применять квантование с переменным шагом, подбирая Ах; так, чтобы г)і = г|л ==т|. Это существенно упрощает вероятностный анализ качества, так как ухудшение параметра по-прежнему харак­ теризует всего лишь одна интенсивность.

Применяя метод линеаризации, получим:

(7-36)

2

(7-37)

/=о

где

m

(VMt - Ѵ м і+1) f M tMi+1’

244

m

VW - Ѵ Ж + і

Мі = m2,—4m2(x— m0) , Мі+і= m2i—4 т 2(хі+і—« 0) .

Числовые характеристики тіо получают из формул (7-36) и (7-37)

при %2—т0=0.

Перейдем к определению интенсивностей изменения периодиче­ ского сингулярного нестационарного процесса

где йо, йі, й2 и со — независимые случайные параметры. Представим уравнение (7-38) в виде

где я 3 = ]/Г я2 + а |, 47 = arctg a-fl^ .

В установившемся режиме продолжительности положительного Хі и отрицательного т2 выбросов процесса над уровнем х между (26-Н1)-м и (2ä)-m пересечениями соответственно равны

Интенсивности пересечения уровня х с отрицательной г) и поло­ жительной Ѳ производными соответственно

Пользуясь методом линеаризации, нетрудно найти числовые ха­ рактеристики этих интенсивностей. Например,

245

Так же, как и интенсивность ухудшения параметра, найдем интенсивность увеличения или уменьшения параметра на. величину Алу. Случайное время пребывания процесса в интервале [Хі, хш] при пересечении уровня х;+і с положительной или отрицательной производной

\ = ю -’ farcsin (Хг+і—а0) д^-1 — arcsin (Xj — а0)а^~!], (7-47)

деления выбран в соответствии с корреляционной функцией процес­ са, то уравнение (7-38) является неканонической формой его анали­ тического представления. И хотя для вероятностного определения

тистическом анализе методом марковской аппроксимации они играют большую роль.

Для стационарного процесса, который имеет с вероятностью

функция распределения процесса], связана с одномерной функцией распределения следующим важным предельным соотношением:

Ѳ(t , X) _ 1 — F(x)

(7-49)

(*.*)“ fW ’

из которого следует, что в установившемся режиме длительности по­ ложительных и отрицательных выбросов процесса за уровень х имеют один и тот же тип закона распределения.

Действительно, вероятность того, что Х(і) пересечет уровень х с отрицательной производной в промежутке времени At при условии, что в момент То имело место пересечение х с положительной произ­ водной,

а для установившегося режима использование соотношения (7-49) дает:

J f (<x) dz

246

Следоватёльно, законы распределения положительных и отрица­ тельных выбросов стационарного процесса отличаются лишь число­

функцию распределения и законы распределения длительностей поло­ жительных и отрицательных выбросов. Их использование дает воз­ можность упростить отыскание различных вероятностных характери­ стик стационарных процессов.

Так как корреляционную функцию можно приближенно выразить через интенсивности пересечения процессом фиксированных уровней (2-28), то появляется возможность находить в замкнутом виде ана­ литические соотношения между интенсивностями, корреляционной функцией, спектральной плотностью, законами распределения про­ должительностей выбросов и одномерной функцией распределения.

Кратко остановимся на определении интенсивностей ТО. Так как распределение любого процесса ТО, который включает серию после­ довательных операций, можно представить в виде гамма-распределе­ ния с приведенной интенсивностью (2-3), то, вводя ЭСВ — случайное время обслуживания т и ЭСВ — случайное число операций М, не­ трудно определить приведенную интенсивность и ее числовые харак­ теристики, выраженные через характеристики этих ЭСВ:

Таким образом, зная то или иное аналитическое представление процессов ухудшения качества и ТО, включающее ЭСВ, характери­ стики которых могут быть относительно более просто предсказаны, и используя методы, изложенные выше, можно вероятностными мето­ дами определять интенсивности марковских моделей, необходимые для вероятностного анализа качества проектируемых изделий.

7-5. Выводы

1. При оптимизации качества электронных систем целесообразно использовать такие исходные статистические данные, которые обес­ печивают простоту и малую трудоемкость получения статистической информации, возможность применения несложных вероятностных ме­ тодов ее обработки и получения требуемой точности результатов расчетов. В предлагаемых методах анализа и оптимизации качества роль исходных статистических данных играют порядковые статисти­ ки, определяющие законы распределения продолжительностей пре­ бывания электронных систем в различных состояниях: в работоспо­ собном состоянии, на аварийном ремонте, профилактическом обслу­ живании и т. п.

2. Оценка параметров марковских однородных моделей в усло­ виях полной определенности, когда необходимые порядковые стати­ стики известны и план испытаний регламентирован, приводит к хо­ рошо разработанным процедурам оценки параметров экспоненциаль­ ных распределений. Оценка параметров марковских неоднородных моделей в условиях полной определенности производится известными

247

методами математической статистики, разработанными для оценки функциональной формы и моментов различных законов распреде­ лений.

3. Когда часть исходных данных для оценки параметров марков­ ских моделей известна неточно или полностью отсутствует, возни­ кает необходимость такой оценки в условиях частичной неопреде­ ленности Предложенный в § 7-3 метод позволяет оценивать параметры математических моделей в этих условиях.

4. Изложенные в § 7-4 вероятностные методы позволяют опреде­ лить интенсивности марковских моделей по известному аналитиче­ скому .представлению случайных процессов ухудшения определяю­ щих параметров и технического обслуживания. Решение такой зада­ чи необходимо для вероятностного анализа качества проектируемых систем.

Основные выводы

Статистическая оптимизация качества электронных систем (анализ качества электронных систем, функцио­ нирующих в случайных стационарных и нестационарных режимах, оптимизация их технического обслуживания, оптимизация синтеза качества электронных систем и т. п.) является важной, актуальной и недостаточно изу­ ченной проблемой теории надежности.

В книге предложены новые и развиты известные при­ кладные методы статистического анализа, синтеза и оп­ тимизации качества электронных систем с учетом режи­ мов работы, условий эксплуатации и технического об­ служивания. Вероятностно-статистические методы ана­ лиза и синтеза базируются в основном на квантовании процессов изменения определяющих параметров изде­ лий и на использовании теории марковской однородной и неоднородной аппроксимаций. В основе методов опти­ мизации качества электронных систем лежат известные методы математического программирования: классиче­ ские методы поиска экстремумов функций и функциона­ лов, линейное, нелинейное и динамическое программиро­ вание. Технико-экономический анализ и оптимизация произведены с учетом приведенных годовых расходов, включающих как капитальные затраты, так и эксплуата­ ционные расходы.

Прикладной характер и основные особенности пред­ лагаемых методов проиллюстрированы решением ряда численных примеров. Систематическое применение этих

248

нии задач статистической оптимизаций качества элект­ ронных систем. К числу наиболее интересных задач, рассмотренных в книге, следует отнести: определение характеристик качества невоостанавливаемых изделий, эксплуатируемых в стационарных и нестационарных ре­ жимах и имеющих взаимосвязанные внезапные и посте­ пенные отказы; анализ стационарных и нестационарных режимов технического обслуживания, в том числе и ран­ домизированных, включающих случайное число опера­ ций; оценку качества обслуживаемых электронных си­ стем, эксплуатируемых в случайных стационарных и не­ стационарных режимах; описание зависимости от слу­ чайной динамики режимов эксплуатации интенсивно­ стей внезапных отказов, интенсивностей ухудшения и за­ конов распределения определяющих параметров изде­ лий; изучение скачкообразно изменяющихся случайных режимов функционирования аппаратуры методом кано­ нической регуляризации; оптимизацию контроля работо­ способности, периодичности и интенсивностей профилак­ тического обслуживания, аварийного ремонта элементов и устройств; сравнение результатов применения различ­ ных методов оптимизации технического обслуживания изделий: линейного, нелинейного, динамического про­ граммирования, метода неопределенных множителей Лагранжа и др.; определение условий существования и единственности оптимального технического обслужива­ ния; исследование особенностей оптимизации техниче­ ского обслуживания изделий, эксплуатируемых в неста­ ционарных режимах; разработку вероятностных методов расчета и оптимизации качества проектируемых изделий с использованием сингулярной аппроксимации технико­ экономических случайных процессов с помощью элемен­ тарных случайных величин, получение и обработку исходной статистической информации, необходимой для анализа, синтеза и оптимизации качества электронных систем в условиях полной и неполной определенности, и др.

Важнейшими, на наш взгляд, задачами статистиче­ ской оптимизации качества, в том числе и математиче­ ского характера, заслуживающими внимания в после­ дующих работах, являются: исследование марковских неоднородных процессов со случайными нестационарны­ ми матрицами интенсивностей; изучение марковских не­ однородных процессов с нормальными, релеевскими, вей-