книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

(5-19)

третий центральный момент и коэффициент асимметрии

« 4 ( w ) = 2 ( ^ ) Ѵ , ( й ) . = 0 ^опт/ (5-20)

четвертый центральный момент и коэффициент эксцесса

этому вначале целесообразно приближенно определить

зом начальные точки, можно более точно вычислить мо­ менты высших порядков и закон распределения Топт.

Итерационное соотношение (5-10) используем в удоб­

190

в т о р а я п р о и зв о д н ы е т:011Т по рг- и м ею т в и д :

записываются в виде громоздких аналитических выраже­ ний, имеют простой характер и вычисляются относитель­

на

Алгоритм вычисления моментов и плотности распре­ деления оптимальной периодичности ПО следующий:

192

^HoinOl P's (tout)j ^4 ( т о я т ) * А, E ' >О) (tОЕт)> (5-25)

где і= 1,4; /, k = 1,2.

Предлагаемый, метод вычисления плотности распре­ деления Tout является приближенным по двум основным причинам. Во-первых, в качестве исходного аналитиче­ ского выражения для определения Топт используется приближенное итерационное соотношение (5-10), по­ грешности которого во многом определяются выбором исходных точек Ть %г; во-вторых, при определении плот­

членов ряда. Первая погрешность может быть уменьше­ на за счет оптимального выбора Ті и Тг. Рассмотрим, как это можно сделать.

Для оптимизации выбора ті и Тг составим систему уравнений из условия симметрии этих точек относитель­ но истинного значения т0пт и из условия обеспечения от­

А» ( Ч ) — А (x2) — A 0 ( x ,) + A (x,)

Исключив из системы тг, получим трансцендентное уравнение относительно Ті:

. _____________ 2 [т (хр^) — xt] [Хр (х,) — К (т,)]______________

А0 [2т (х0ПІ) — Xj] — Л [2т (х0ПІ) —•х,] — Л» ( \ ) + А (х,)

Для проведения первой итерации выберем такие на­

чальные точки 'И,1, для которых R [■с(,І)]>0, R Н г'К О .

=если /?[t}l,] < 0 . Итерационный процесс будем

т] распределены по нормальному закону и имеют следу­ ющие математические ожидания: т (ц) = 1,3 • 10~3 ч-1;

т(Хо) =0,39-10“3 ч_1; т(ап) = 3 ,9 -ІО”3 ч~1, т (ап)=62,4Х

ХІО-3 ч_1. Коэффициент вариации всех параметров оди­ наков и раңен 0,2. Требуется определить моменты и за­ кон распределения т<шт.

т[А(/;)] — т[х( t ) ( t )], т[Ао(t)]=

= f_1{0,0625 + /—т{\п у ( Ш

m[x(t)]= (1,3+Зе~ш ) ехр (—0,3/+0,0625е-ш ) +

+ 3,33 + m[L (0) ]—1,3е~°-зг{3,33 + m[L (/)]} +

_|_ео,зг m[L'(t)];

m[y{t)] = exy (—0,31+ 0,0625е-да) + 3,33 + m[L (0) ]—

- е - ° '3ЧЗ,33 + m[L(t)]}.

По формуле (5-22) находим т (топт) =0,565. Зная при­ ближенное значение т(%0Пт ), уточним выбор начальных точек ті и х%, фиксируя погрешность определения от(топт) величиной ßm = 5%.

Для вычисления оптимального значения \ из формулы

(5-28) выберем начальные точки xi(J)= 0,5w (xonT) = 0,282;

194

=—1,89; (в (х0ПТ) = з - 1(х0ПТ)[Ф'(г)—0,0787ф(')(2)], где г =

——0 Q5g4— . Переходя от нормированных значении ха­

рактеристик периодичности к действительным, получим:

kkb*(Топт) — ttl (Топт) V 1=442 Ч) О* (Топт) =45 ч.

Анализируя полученные результаты, можно заметить, что предложенный мотод выбора оптимальных исходных значений ту и х% обеспечивает заданную точность опре­ деления моментов и закона распределения т0пт — в рас­ смотренном примере Ті и х% практически перекрывают всю область существования т0Пт-

Таким образом, в этом‘параграфе рассмотрен метод приближенного определения плотности распределения оптимальной периодичности профилактического обслу­

с заданной доверительной вероятностью строить также и интервальные оценки т0Пт.

5-6. Выводы

1. При проведении профилактического обслуживания во многих случаях целесообразно учитывать и отрица­ тельные последствия профилактик. Рассмотренная в § 5-1 постановка задачи оптимизации периодичности профилактического обслуживания с учетом послепрофилактических отказов позволяет минимизировать среднюю интенсивность отказов изделий.

2. Метод приближенного аналитического определения интенсивности отказов изделий с учетом послепрофилак­ тических отказов, описанный в § 5-2, позволяет реализо­ вать графический способ определения оптимальной пе­ риодичности. Формула (5-6) для выигрыша от оптими­ зации профилактического обслуживания дает возмож­ ность определить, как уменьшается среднее значение интенсивности отказов при переходе к оптимальной пе­ риодичности профилактического обслуживания.

3. Построенный в § 5-3 итерационный алгоритм обла­ дает высокой скоростью сходимости и позволяет опреде­ лять оптимальную периодичность проведения профилак­ тического обслуживания с требуемой точностью. Приме­ нение алгоритма дает возможность исследовать зависи­ мость режимов оптимального профилактического обслу­ живания от параметров процесса возникновения внезап­ ных, постепенных и послепрофилактических отказов. Этот алгоритм легко программируется и может быть использован для построения номограмм, упрощающих инженерные расчеты.

4. В § 5-4 дан анализ двух важных для практичес­ ких применений модификаций модели оптимизации, учи­ тывающей послепрофилактические отказы, получены аналитические соотношения, необходимые для использо­ вания итерационного алгоритма (5-3), рассмотрены об­ разцы номограмм для определения оптимальной перио­ дичности и примеры иллюстративного характера.

5. Метод приближенного определения закона распре­ деления оптимальной периодичности, рассмотренный в § 5-5, позволяет учесть случайную вариацию парамет­ ров процессов возникновения внезапных, постепенных и послепрофилактических отказоів. Он может быть исполь­ зован и для получения интервальных оценок оптималь­ ной периодичности с заданной доверительной вероятно­ стью.

196

Г л а в а шестая

ОПТИМИЗАЦИЯ СИНТЕЗА КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

6-1. Постановка задачи

ных данных, повышенной сложностью математических моделей, не­ определенностью взаимосвязей целевых функций и ограничений, сложностью аналитических и «слепотой» машинных методов реше­ ния, трудностями анализа и обработки результатов решения опти­ мальных задач и т. п. Даже если решения оптимальных задач получены, они еще не позволяют непосредственно синтезировать вы­ сококачественные изделия, так как лишь определяют условия дости­ жения теоретического оптимума. Практическое значение оптималь­ ных решений в том, что они показывают, к чему надо стремиться при создании изделий. Так как любой процесс управления проекти­ рованием и производством изделий представляет, по сути дела, разработку, сравнение и выбор лучшего варианта из множества до­ пустимых, полученные решения позволяют объективно и обоснован­ но выбирать этот вариант.

С теоретической точки зрения решения задачи оптимизации син­ теза качества электронных систем целесообразно осуществлять в следующей общей постановке [Л. 85]. По каноническому или не­ каноническому представлению векторного случайного процесса, используемого для прогнозирования изменения выходных парамет­

с помощью тех или иных аппроксимаций необходимо найти анали­ тическое представление целевого функционала

ивыбрать характеристическую функцию К(Ф), математическое

ожидание которой М[%(Ф)] определяет требуемую вероятностную характеристику качества. Применяя простейшую, например, степен­ ную аппроксимацию, определить аналитический вид ограничений

ожидание которой MpPfC)] определяет требуемую вероятностную характеристику ограничений. В формулах (6-1) — (6-3) А — матри­ ца, элементами которой являются элементарные случайные величи­ ны (ЭСВ), характеризующие процессы ухудшения выходных пара­ метров изделия; В — матрица, элементы которой ЭСВ, характери­ зующие техническое обслуживание; D — матрица, элементы которой являются случайными мешающими параметрами, например погреш­ ностями представления (6-1); Е — матрица, элементами которой являются экономические ЭСВ.

197

В прямой задаче оптимизации синтеза качества электронных систем при известных вероятностных характеристиках неуправля­ емых переменных D, Е необходимо найти такие оптимальные веро­ ятностные характеристики А, В (моменты, законы распределений), которые обеспечивают экстремум М[%(Ф)] при условии выполнения ограничений для Л4рР(С)]. В обратной задаче требуется найти та­ кие оптимальные вероятностные характеристики А, В, которые обеспечивают экстремум Af[lF(C)] при условии, что математическое ожидание Л4,[%(Ф)] соответствует заданному по техническим . усло­ виям.

Основной недостаток такой общей постановки прямой и обрат­ ной задач оптимизации синтеза в том, что пока еще трудно полу­ чить решения для большинства практически интересных задач. Учитывая то, что в теории надежности еще не накоплен достаточ­ ный опыт решения таких задач, мы не будем рассматривать много­ целевые и многоэкстремальные задачи, хотя пути их решения отча­ сти уже наметились [Л. 66 ]. Мы выберем относительно простую, но достаточно абстрактную математическую модель оптимизации, хорошо отражающую сущность многих инженерных задач проек­ тирования и производства и в то же время доступную теоретиче­ скому исследованию современными математическими методами.

Будем рассматривать задачи, в которых выходные параметры независимы и для прогнозирования их изменения справедлива име­ ющая очевидный физический смысл полиномиальная аппроксимация

целевых функционалов будем выбирать скалярные величины, по­ рождающие такие характеристики качества, как среднее время без­ отказной работы, вероятность безотказной работы, коэффициенты готовности, простоя, надежности, технического использования и т. п. В роли ограничений будем рассматривать различные состав­ ляющие приведенных годовых расходов (1-3).

В § 6-2 с использованием идей метода оптимума номинала [Л. 67] рассмотрена задача оптимизации моментов начального рас­ пределения выходных параметров изделий с точки зрения обеспече­ ния максимальной прибыли заводу-изготовителю, найдены условия существования оптимальных решений для относительно простого случая, когда прибыль представляет ступенчатую функцию выход­ ных параметров, особенности отыскания оптимальных моментов показаны на примерах.

В § 6-3 описан метод вероятностного анализа характеристик качества проектируемых устройств и показано его место в задачах оптимизации синтеза. С помощью марковской аппроксимации изменения определяющих параметров разработан приближенный ме­

и уравнениям связи выходных параметров с внутренними. В каче­ стве примера дан расчет вероятностных характеристик генератора низкой частоты по заданным вероятностным характеристикам эле­ ментов фазовращающей цепи.

198'

В § 6-4 рассмотрены задачи оптимизации синтеза качества невосстанавливаемых элементов, решения которых полезны при обос­ новании оптимального выбора начальных значений и стабильности параметров, расчете оптимального состояния производства, опре­ делении ожидаемого качества изделий при фиксированных затратах на проектирование, производство и эксплуатацию, ограничениях веса, габаритов и других параметров, при определении тех мини­ мальных вложений, которые необходимы для обеспечения заданного

втехнических условиях качества, и т, д.

В§ 6-5 получены решения задач оптимизации синтеза качества обслуживаемых изделий,, которые могут найти применение при обосновании оптимального выбора'выходных параметров, при опти­ мизации ремонтопригодности и эксплуатационной технологичности, при составлении оптимальных регламентов технического обслужи­ вания, определении максимально возможного качества изделий при ограниченных приведенных годовых расходах, при определении тех минимальных приведенных годовых расходов, при которых дости­ гается заданное в технических условиях качество изделий, и т. п.

Использование результатов вероятностного анализа § 6-3 по­ зволяет прогнозировать оптимальное техническое обслуживание

ривать весь динамический диапазон оптимальных режимов техни­ ческого обслуживания. Задаче прогнозирования оптимального об­ служивания изделий посвящен '§ 6 -6 .

В § 6-7 показаны особенности применения итерационного мето­ да динамического программирования для оптимизации синтеза ка­ чества обслуживаемых изделий. Этот метод может применяться в тех случаях, когда имеется более полная информация о технико­ экономических показателях проектируемого усройства.

Вопросам расчета экономической эффективности процедуры оптимизации синтеза качества изделий уделяется внимание в § 6 -8 . Особенностью является учет неодновременности производства раз­

6-2. Оптимизация начальных значений выходных параметров проектируемых устройств

Оптимизация начальных значений выходных параметров про­ ектируемых устройств является простейшим видом оптимизации синтеза для случая, когда в формуле (6-4) п = 0. Тогда распределе­ ние aw является начальным распределением і-го выходного пара­

199