книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

если кХі=Ь.х, то А х ~ ( с — b)N~l и ag мИН== {с — Ь) 0,5 X ' X Y I F 1, при N — 1 о*мИа = (с — Ь) ]/0 ,5 , при N —юо

ag мин - 0 .

С ростом N соотношение а^сП1убывает как функция

( У N )~У Этот результат нетрудно было предвидеть из

физических соображений. Следовательно, для детерми­ нированного процесса вне зависимости от времени опти­ мальные квантованные значения должны выбираться как средние арифметические двух соседних уровней кванто­ вания.

Пример 2-10. Рассмотрим нормальный - случайный процесс X(t) с одномерной плотностью

(х—т ) а

2а2

где в общем случае математическое ожидание и диспер­ сия являются функциями времени. Подставим значение плотности в формулу (2-113), проделав необходимые промежуточные преобразования, получим:

70

Используя (2-114), найдем:

(2-118)

Для иллюстрации на рис. 2-11 показаны графики нор­ мированной среднеквадратичной погрешности aga~l кван­ тования случайного нормального стационарного процес­

фиксированными уровнями. Кривые рис. 2-11 асим­ метричны. При малых дисперсиях квантуемого процесса

71

жения к математическому ожиданию процесса в целом приводят к меньшим погрешностям квантования. При больших дисперсиях квантуемого процесса наблюдается противоположная картина — нормированная среднеквад­ ратичная погрешность растет медленнее в области -у> >Уопт и, следовательно, ошибки в выборе квантованных значений в сторону их удаления от математического ожи­ дания процесса в целом приводят к меньшим погрешно­ стям квантования.

стороны от уопт наблюдается для процессов с малой дис­ персией — она максимальна для детермированных про­ цессов. Следовательно, оптимизация квантования особен­ но важна для процессов с малой дисперсией.

При квантовании реальных процессов ухудшения вы­ ходных параметров устройств, к сожалению, отсутствует априорная информация о характере одномерного закона распределения и о характере закона нестационарное™. Поэтому приходится прибегать к итерационным адаптив­ ным процедурам оптимизации квантования — первона­ чально по «следам» квантуемого процесса определяют

оптимальные квантован­

Перейдем к рассмотре­

нию особенностей марков­ ской аппроксимации процессов изменения качества. Пре­

жде всего о самой возможности такой аппроксимации. С теоретической точки зрения «любой случайный процесс

может быть превращен в марковский; для этого достаточ­ но в понятие состояния включить всю предысторию раз-

72

витйя системы» [Л. 3]. Однако при практическом приме­ нении марковской аппроксимации модели реальных не­ марковских процессов могут оказаться настолько слож­ ными, что их исследование представляет определенные трудности: необходимость решения систем дифференци­ альных уравнений высокого порядка, низкая точность оценки характеристик процессов и т. д. Следовательно, о возможности марковской аппроксимации целесообраз­ но судить с двух позиций: насколько точно марковские модели отражают реальный характер случайных процес­ сов и насколько сложны сами модели и получаемые ре­ шения задач.

Исследования многих авторов показывают, что раз­ витый математический аппарат теории марковских про­ цессов позволяет успешно решать многие задачи анали­ за и оптимизации качества.

Оставаясь в рамках марковских однородных моделей, • трудно исследовать реальные процессы изменения каче­ ства устройств, продолжительности пребывания которых в различных состояниях распределены по произвольным законам — растет порядок дифференциальных уравнений, описывающих динамику процессов. Поэтому приходится прибегать к марковским неоднородным моделям, у кото­ рых интенсивности переходов являются монотонными (возрастающими или убывающими) функциями време­ ни, и изучать динамику процессов с помощью дифферен­ циальных уравнений с переменными коэффициентами.

К таким же уравнениям приводит изучение нестацио­ нарных режимов функционирования устройств, когда ин­ тенсивности переходов являются немонотонными функ­ циями времени-— в таких исследованиях принципиально невозможно использование марковских однородных мо­ делей.

Трудности применения марковских неоднородных моделей определяются трудностями решения систем дифференциальных уравнений с переменными коэффи­ циентами.

Можно указать достаточно большое число способов построения марковских моделей [Л. 18, 30, 33] и оценки их соответствия реальным процессам. Например, если время пребывания устройства в состоянии Si распреде­ лено по экспоненциальному закону с параметром щ, то процесс изменения состояний строго марковский и одно­ родный. Экспоненциальность распределения можно оце­

73

нивать по гистограммам с использованием различных критериев согласия, по постоянству параметра й і , п о сте­ пени близости к единице коэффициента вариации време­ ни и т. п. Если время пребывания устройства в состоянии распределено по произвольному закону с монотонной интенсивностью, то состояние Si можно рассматривать

как последовательность Sij ( /= 1, ѵ) фиктивных состоя­ ний, время пребывания в каждом из которых экспонен­ циально распределено с параметром а. Параметры а и V аппроксимирующего гамма-распределения определяют методом моментов, методом наименьших квадратов, ме­ тодом квантилей, комбинированными методами так, что­ бы получить в определенном смысле наилучшее соответ­ ствие. Проще всего параметры аппроксимирующего рас­ пределения подбирать методом моментов, в качестве контрольной характеристики целесообразно выбирать интенсивность — она является обобщенной характеристи­ кой распределения.

Таким образом, задача построения марковских моде­ лей по существу сводится к такому выбору числа состоя­ ний и интенсивностей переходов, чтобы по определенным критериям наилучшим образом отразить структуру ре­ альных процессов.

Мы рассмотрели особенности, приводящие к методи­ ческим погрешностям анализа качества. Конечно, суще­ ствуют и другие причины ошибок, общие для методов анализа, — это и неточность исходных данных, и ошибки приближенных вычислений, и др.

В заключение следует отметить, что применяемый ме­ тод анализа качества обладает рядом достоинств. Он позволяет: учитывать реальную структуру системы; оце­ нивать влияние условий эксплуатации; определять эффективность действий обслуживающего персонала; изучать характеристики качества элементов и необслужи­ ваемых устройств; получать количественные характери­ стики качества как функции времени; исследовать влия­ ние различных видов отказов — внезапных, перемежаю­ щихся и постепенных, обусловленных износом, старением и разрегулированием аппаратуры; прогнозировать каче­ ство функционирования систем для состояния статисти­ ческого равновесия; оценивать эффективность различных видов технического обслуживания; исследовать стабиль­ ность параметров схем; оптимизировать качество функ­ ционирования по определенным образом выбранным це- \

74

левым функциям; достаточно просто получать исходную статистику и использовать информацию, накопленную для известных методов анализа надежности.

2-8. Выводы

1. Применение для анализа качества систем кванто­ вания по уровню случайных функций и марковской аппроксимации реальных процессов дает возможность, сохраняя требуемую точность оценки характеристик ка­ чества изделий, перейти от достаточно сложных методов теории случайных функций, позволяющих связать изме­ нение характеристик качества с изменением параметров изделий, к более простым методам теории массового об­ служивания.

2.Достоинством марковских моделей взаимосвязан­ ного появления внезапных, постепенных и перемежаю­ щихся отказов является возможность приближенного определения по интенсивностям пересечений случайными функциями уровней квантования одномерных законов распределения и корреляционных функций параметров изделий.

3.Марковская аппроксимация позволяет строить мо­ дели, адекватно отражающие все виды технического об­ служивания, интенсивности проведения которых являют­ ся монотонными функциями времени. Анализ случайных процессов технического обслуживания устройств показы­ вает, что основную роль играет наименьшая интенсив­

ность проведения операции мин(цг), г —1, т, которая

н

в основном и определяет вероятностные характеристики этих процессов. Поэтому, например, грубой оптимисти­ ческой оценкой среднего времени технического обслужи­

вания может служить величина [мин ([%•)]-1.

и

4. Марковские модели изменения качества обслужи­ ваемых систем позволяют учесть влияние всех основных эксплуатационных факторов, например учесть отказы устройств даже во время их неиспользования, проведение профилактического обслуживания в периодах неисполь­ зования и др.

Для приближенной оценки характеристик качества обслуживаемых систем целесообразно использование ма­ тричного метода, позволяющего упростить вычислитель­

75

Г л а в а третья

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ

3-1. Постановка задач

В гл. 2 мы уже отмечали, что более общими моделями реальных процессов изменения качества, в которых ин­ тенсивности переходов зависят от времени, являются марковские неоднородные процессы (МНИ) *. Необходи­ мость применения таких моделей обусловлена тем, что, во-первых, во многих практически важных и интересных задачах продолжительности пребывания устройств в раз­ личных состояниях распределены по законам, которые существенно отличаются от экспоненциальных; во-вто­ рых, при случайном нестационарном изменении парамет­ ров режимов эксплуатации изделий зависящие от этих параметров интенсивности внезапных отказов, ухудшения параметров, технического обслуживания и другие также являются случайными нестационарными процессами.

Динамику МНП описывают дифференциальные урав­ нения А. Н. Колмогорова с переменными коэффициента­ ми. Поэтому исследовать качество функционирования изделий, эксплуатируемых в динамических случайных режимах, можно лишь решив ту или иную систему таких уравнений.

Трудности решения систем дифференциальных урав­ нений со случайными переменными коэффициентами из­ вестны [Л. 42]. Если решение дифференциальных уравне­ ний с постоянными коэффициентами можно получить целым рядом удобных методов, в случае уравнений с пе­ ременными коэффициентами таких общих методов не существует. Поэтому, следуя общепринятым подходам к решению дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, мы также будем применять различные точные и приближенные аналитические методы, учитывая характер коэффициентов и уравнений. Во всех задачах этой главы мы будем использовать инженерный метод, изложенный в § 2-6.

1 В дальнейшем для сокращения записи везде будет использо­ ваться термин «интенсивность марковских моделей»,

77

Дадим краткую характеристику содержания гл. 3.

В § 3-2 анализируются зависимости интенсивностей марковских моделей от параметров режимов эксплуата­ ции изделий и рассматриваются математические модели, описывающие динамику этих режимов. Параграф 3-3 по­ свящается канонической регуляризации — методу иссле­ дования дискретно-непрерывных процессов, который, в частности, позволяет исследовать качество изделий при случайной ступенчато изменяющейся нагрузке. В § 3-4 изучаются модели ухудшения качества элементов, интен­ сивности перехода которых являются монотонными функ­ циями времени. С их помощью исследуется поведение интенсивностей отказов.

Вопросам анализа качества изделий, эксплуатируе­ мых в периодически изменяющихся режимах, уделяется внимание в § 3-5. Рассматриваются случаи однотипных распределений времени до пересечения случайным про­ цессом ухудшения качества уровней квантования и слу­ чай неоднотипных распределений. Последний имеет ме­ сто тогда, когда с течением времени эксплуатации изде­ лий в динамическом режиме существенно изменяются их свойства. Характер изменения законов распределения определяющих параметров изделий, эксплуатируемых в нестационарных режимах, изучается в § 3-6. Определя­ ются также зависимости моментных функций от измене­ ния параметров режима. Нестационарные режимы тех­ нического обслуживания рассматриваются в § 3-7. Каче­ ство обслуживаемых изделий, эксплуатируемых в неста­ ционарных режимах, исследуется в § 3-8. Использование одного из основных свойств МНП с сообщающимися состояниями позволяет получить точное решение систе­ мы дифференциальных уравнений с переменными коэф­ фициентами и, следовательно, получить точные аналити­ ческие выражения для вероятностных характеристик ка­ чества. Последний параграф посвящается, как обычно, выводам по результатам, изложенным в гл. 3.

3-2. Интенсивности марковских моделей

идинамика режимов

Вэтом параграфе мы рассмотрим достаточно уни­ версальные и в то же время относительно простые мно­

гопараметрические функциональные формы для описания зависимостей интенсивностей от параметров режима и

уделим внимание математическим моделям случайных процессов изменения параметров режима, чтобы в даль­ нейшем с учетом нестационарное™ режима иметь воз­ можность представить в аналитическом виде зависимости интенсивностей от времени.

Сущность предлагаемого аналитического представле­ ния состоит в том, что используется параболическая аппроксимация интенсивностей в области реального из­ менения параметров режимов. Если аналитический вид интенсивности известен, то применяется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей номиналь­ ному режиму, с удержанием трех членов. Если из опыта известен график интенсивности или ее значение при определенных дискретных значениях параметров режима, то для получения аналитического вида интенсивности применяется чебышевская аппроксимация [Л. 40]. В при­ ближенном аналитическом представлении интенсивности текущие значения параметров режимов рассматриваются как случайные процессы, записанные в форме В. И. Чер­ нецкого [Л. 43].

Эксперименты показывают, что интенсивности обычно являются аналитическими функциями параметров режи­ ма. Поэтому их можно представить в виде ряда Тейлора в окрестности точки, соответствующей номинальному ре­ жиму, например,

т ______

у = у ( ^ ^ : 0) + J ] ^ (* ^ о) X

ь=і

т______

X X - - И ) - И Х V и . - - * . ) ■ +

в (3-1) достаточно удержать два-три первых члена. Это объясняется тем, что точность определения исходных ста­ тистических данных, получаемых для определения ин­ тенсивностей, обычно невелика — их погрешность при­ мерно 10—15%. Применение отрезка ряда из первых трех членов, как правило, дает погрешность аппрокси­

79