книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

Пример 2-7. Сравним точную и приближенную интер­ вальные оценки вероятности безотказной работы. Точный доверительный интервал \р*и р*г] определим с использо­ ванием логарифмически нормального распределения (2-62) по заданной доверительной вероятности

что в конечном итоге приводит к вычислению р*, и р*а из соотношения

где м определяют по таблице значений функции Лап­ ласа

60

Полагая асимптотически нормальным распределение ве­

роятности с параметрами (2-78).

Относительная погрешность оценки длины довери­ тельного интервала

экспериментов г, выбора доверительной вероятности у и времени t на погрешность оценки длины доверительного интервала. При г— >-оо б;— ►(); с ростом у растет и «т

что приводит к увеличению б/; с ростом / погрешность монотонно возрастает.

Пусть, например, r = 8, m*it= 1, у=0,9, тогда бг~ 0,07.

Если г;>50, то 6;<с;0,01. При r = 100 6*^0,006, но если Ѵ=0,99, т о б(=0,013. Следовательно, даже при малом объеме выборки (г = 8) погрешность оценки длины дове­ рительного интервала при высокой доверительной ве­ роятности (у=0,99) не превышает 15%.

Однако из-за асимметрии распределения (2-62) при­ ближенный метод дает погрешность в оценке как левой,

Следовательно, использование приближенных довери­ тельных границ дает погрешность оценки длины интерва­ ла 1,22%, левой границы — 7,17% и правой границы — 4,32%- С ростом объема выборки эти погрешности убы­ вают. При очень малых объемах выборки (5<^ г ^ 10)

приближенные оценки дают погрешности 10—20% ■ Рассмотрим особенности приближенной оценки коэф­

фициента готовности. Математическое ожидание и дис­ персия

61

При малых объемах выборок реальное распределение Кг имеет положительную асимметрию, а при увеличении числа экспериментов асимптотически стремится к нор­ мальному с параметрами (2-84). Поэтому приближенно целесообразно оценивать только нижнюю доверительную границу для Кг, так как ясно, что верхней доверительной границей служит 1.

Пример 2-8. Пусть т і= 1 0 _3 ч-1, аі=0,2-10”3 ч-1, г = 7, пі2 = 0,5 ч“1, а2=0,1 ч-1, у = 0,9, тогда ти=0,998003, о/г =1,78- ІО-3, К г м іш = т .к —l,65oft —0,995063.

Использование второго члена ряда Тейлора для

Х Ю - 20/о.

Итак, в этом параграфе рассмотрены простейшие рандомизированные модели изменения надежности и по­ казано, что основной трудностью их использования в точ­ ных методах анализа является отыскание законов рас­ пределения нелинейных многомерных функций. Сущест­ венно упростить анализ и расчетные соотношения позволяет приближенный метод, использующий линеари­ зацию и асимптотическую нормальность функций от ве­ личин, имеющих конечные математические ожидания. Так как погрешности приближенного метода асимптоти­ чески убывают с ростом объема выборок и при числе экспериментов r> 10 не превышают 10—15%, этот метод можно успешно применять для исследования качества изделий с помощью рандомизированных моделей.

2-6. Инженерный метод анализа качества систем

Кроме моделей, рассмотренных в примерах предыду­ щих параграфов, в инженерном анализе качества функ­ ционирования обслуживаемых и необслуживаемых устройств может найти широкое применение еще одна простая рандомизированная модель. Эта модель имеет два работоспособных состояния устройства ( п = 2, каче­ ство функционирования оценивается по уровням прогно­ за и отказа), учитывает взаимосвязанное появление вне­ запных, постепенных и перемежающихся отказов и по­ строена на гипотезе, что АР и ПО состоят из двух (т = ='fe= 2) обобщенных операций с приведенными значе­ ниями интенсивностей ja и £. С помощью этой модели

62

получим аналитические соотношения для инженерной оценки характеристик качества устройств.

Дифференциальные уравнения, описывающие динами­ ку изменения качества, имеют вид:

Для определения характеристик отдельных процессов (ухудшения качества, АР, ПО) необходимо рассматри­ вать переходные режимы. Начнем с определения харак­ теристик ухудшения качества. В этом случае в системе (2-85) необходимо положить ѵ, |, р, Ѳ= 0, тогда в ней останутся первые три уравнения, решение которых при самых общих начальных условиях позволяет найти ха­ рактеристики качества необслуживаемого устройства.

Вероятность безотказной работы

63

Чтобы найти закон распределения и числовые харак­ теристики определяющего параметра, методом наимень­ ших квадратов вычислим оптимальные квантовые значе­ ния х*і из условия

64

и найдем плотность распределения выходного параметра

ским путем найденным интенсивностям пересечения слу- | чайной функцией выбранных уровней квантования с по- 1 мощью соотношений (2-86) — (2-97) можно определить » все основные характеристики качества функционирова­ ния элементов и необслуживаемых устройств.

Перейдем к определению характеристик АР и ПО. Положим в системе (2-85) ло, ль ta, Хь ѵ, I, 0 равными нулю, тогда, учитывая, что вероятность восстановления работоспособности устройства

Чтобы получить характеристики качества функциони­ рования обслуживаемого устройства в установившемся режиме эксплуатации и в дежурном режиме, рассмотрим состояние статистического равновесия. Полагая в систе­ ме (2-85) p 'i(t)— 0 и учитывая условие нормировки, най­ дем:

Характеристики тх, ах, (о(х) определяют по форму­ лам (2-93) — (2-97). Особенностью является то, что они не зависят от времени. Коэффициент надежности обслу­ живаемого устройства, используемого в дежурном режи­ ме, рассчитывается, как обычно:

где характеристики Р(т), Т0 и Кг определяют соответст­ венно по формулам (2-86), (2-89), (2-108).

Полученные в этом параграфе соотношения позволя­ ют по относительно простой исходной статистике оценить наиболее часто применяемые в инженерном анализе ха-

66

X (t) и 1-м квантованным значением я*,

Zi(t)—X ( t ) — x*i, 1 = О, N— 1,

где N — число квантов. В целом погрешности квантова­ ния характеризуют определенными функциями g[zj(£)]. В прикладных задачах широко применяют

г=о

и для простоты анализа используют математическое ожидание этой характеристики

Обычно функция (2-113) в задачах анализа погреш­ ностей квантования является искомой, а в задачах опти­ мизации квантования выступает в качестве целевой функции.

Обозначим х*і =Хі+і—уіАхі (хі+і—1 + 1 уровень кван­ тования) . Очевидно, что погрешности квантования опре­ деляются как самой природой квантуемого процесса, так и тем, как выбраны параметры х*і, Хі+і, А.ѵ,-, уг. В зада­ чах оптимизации квантования эти параметры играют роль управляемых.

Очевидно, что в зависимости от выбора целевых функций и управляемых параметров может быть боль­ шое число различных задач анализа и оптимизации кван­ тования случайных процессов. В дальнейшем нам потре­ буются результаты решения следующей важной задачи оптимизации квантования. Известен одномерный закон распределения квантуемого процесса, уровни квантова­ ния выбраны, требуется найти оптимальные квантован­ ные значения,, которые доставляют минимум функции (2-113). Рассмотрим ее решение.

Более простые решения получаются, если отыскивать

оптимальные значения параметров у,-, 1 = 0, N —1. Под­ ставим значение х *і в формулу (2-113), продифференци­ руем полученную функцию по параметрам у , и, прирав­ няв производные нулю при условии, что вторые произ-

68

водные этой функции больше нуля, получим систему уравнений для отыскания у

Для иллюстрации особенностей решения задачи опре­ делим квантованные значения и минимальные математи­ ческие ожидания суммы квадратов ошибок детермини­ рованного и случайного нормального процессов. При квантовании нестационарных случайных процессов опти­ мальные квантованные значения также зависят от вре­ мени, т. е. уі= уі(і). В дальнейшем для сокращения за­ писи эту зависимость мы не будем подчеркивать. Выбе­

рем для упрощения анализа уі = у , і = 0, N—1.

Пример 2-9. Рассмотрим детерминированный процесс ^ c . Одномерной плотностью такого процесса

является дельта-функция, поэтому

69