книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

Рассмотрим элемент (или необслуживаемое устройст­ во), работоспособность которого можно характеризовать одним определяющим параметром X. С помощью кван­ тования по уровню случайной функции X(t) аппрок­ симируем реальный процесс ухудшения качества марков­ ским дискретным процессом [Л. 2, 15, 29]. Его динамику изучим с помощью дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова [Л. 30], известными величинами в ко­ торых являются интенсивности ухудшения параметра и интенсивности внезапных отказов [Л. 15]. Решение этих уравнений используем при выводе аналитических соот­ ношений для характеристик качества функционирования элемента: вероятности безотаказной работы, плотности этой вероятности, математического ожидания и диспер­ сии времени безотказной работы, закона распределения определяющего параметра элемента и др.

Обозначим через S, такое состояние элемента, когда случайное значение параметра X находится в г-м интер­ вале квантования Ах,, і—0, п; S^eS. Интервалы выбе­

рем так, чтобы So, Sn-і были состояниями исправной ра­ боты, a S n — состоянием отказа, вероятность пребывания элемента в S r м состоянии обозначим через Pj(t).

При постепенном отказе элемента изображающая марковская система последовательно проходит через всю цепь работоспособных состояний, при внезапном отказе элемента она может из любого работоспособного состоя­ ния за один переход попадать в состояние отказа, поэто­

характера реального процесса появления отказов может наблюдаться три случая: а< различны, а,- равны и неко­ торые щ равны. Методы решения системы (2-1) во всех этих случаях подобны, поэтому мы изучим подробно только первый случай.

В начальный момент времени і» = 0 элемент может находиться в S r м работоспособном состоянии с вероят*

20

ностью Pi, поэтому при решении системы (2-1) целесо­ образно использовать начальные условия

Применяя преобразование Лапласа к системе (2-1) при начальных условиях (2-2), получим изображение

k = \

где

п

я'Ы = П ( а* - а*')-

іфк

Используя (2-4), получим:

_______-2 ■•• VqPq___________ 1 Ч/

(2 -5 )

Сумму j+ 1 постоянных коэффициентов при (s + cxj)“1 обозначим через Кц, тогда формула (2-5) примет про­ стой вид:

Применяя обратное преобразование Лапласа, полу­ чим:

1=о

Найдем основные характеристики качества функцио­ нирования элемента. Вероятность безотказной работы Р(і) определим как суммарную вероятность пребывания элемента в работоспособном состоянии

P(t) = Z P t (t).

і=О

Группируя в (2-6) слагаемые, имеющие сомножители

—a,.t

е, получим:

•Зная вероятность безотказной работы, нетрудно оп­ ределить остальные характеристики надежности. Плот­ ность вероятности

22

и постепенных отказов, поэтому обобщенное показатель­ ное распределение (ОПР) (2-9) является одним из наи­ более общих распределений времени безотказной рабо­

пределение с параметром Я«; если внезапные отказы от­ сутствуют (Лі = 0), из выражения (2-9) следует распре­ деление класса гамма-распределений (при большом п оно сходится к нормальному). Если внезапные и посте­ пенные отказы независимы, распределение (2-9) явля­ ется композицией экспоненциального и гамма-распреде­ лений [Л. 33].

Обобщенное показательное распределение — это рас­ пределение длительности любого сложного случайного процесса, который в начальный момент времени с веро­ ятностью Р{ находится в і-й стадии и в своем развитии может проходить через одну, через две или через п ста­ дий, продолжительности которых экспоненциально рас­ пределены. Поэтому область применения ОПР достаточно широка. Например, это распределение удобно использо­ вать и для описания длительности различных процессов технического обслуживания (см. §2-3).

Кратко проанализируем характеристики ОПР. Вначале

23

различно, в зависимости от соотношения параметров щ

и Рі. Если отношения Р іЛг 1 и аосіі-1, і—1, п—1 невели­ ки, то f(t) имеет максимум, координата которого умень­ шается с увеличением этих отношений (наибольшее зна­

коэффициент си в показателе экспоненциальной функции наименьший, следовательно, при t>T0 изменение f(t) близко к изменению экспоненциальной функции.

В начальный момент времени интенсивность отказов

Л(0) равно нулю, если, например, Яг- = 0 и Рп_1= 0, что соответствует поведению интенсивности отказов гаммараопределения. С ростом t функция Л(^) может возра­

ния, его можно применять для описания появления от­ казов элементов и необслуживаемых устройств в раз­ личные периоды эксплуатации: при приработке, при нор­ мальной работе, при износе и старении. Следует отме­

тить, что с ростом отношений сц и вариация

времени безотказной работы растет.

Пример 2-1. Для иллюстрации свойств ОПР рас­ смотрим графики его характеристик при п = 2. Если сіон^ссі, то

И

fl (і)

24

Если ао=аі=сс, то, решая систему (2-2), получим:

Отсюда следует, что при сингулярном начальном рас­ пределении вероятностей Р0=1, Р і= 0 , f(t) стремится к гамма-распределению. При любых других начальных распределениях вероятностей величина f(0) не равна нулю.

На рис. 2-1 показаны графики Р,(Я0Г) (-0> /, (Ѵ)Ѵ*

(2), Л ,(Ѵ )Ѵ ' (5) ПРИ Я0= Ю - 3-4-1, Ѵ " ' =10, Я.Я-1= 2,

1)1V ^10, =

Перейдем к отысканию закона распределения опре­ деляющего параметра X элемента или необслуживаемо­ го устройства. Как правило, одномерный закон распре­ деления X(t) близок к нормальному. Поэтому исполь­ зуем ряд Грама — Шарлье для разложения искомой плотности вероятностей со[х(/)] в ряд по полиномам Эрмита.

Введем нормированный случайный процесс

который в любой момент времени имеет нулевое мате­ матическое ожидание и единичную дисперсию, если про­ цесс X(t) не подвергался квантованию. В выражении

(2-14)

точки зрения соответствия получаемых с помощью кванто­ вания числовых характеристик процесса выборочным средним характеристикам. Например, применяя метод наименьших квадратов, оптимальные значения у* можно

Довольно часто для упрощения вычислений можно полагать, что Уг= Уз==у, тогда для нахождения у0Пт не­ обходимо решить только одно уравнение типа (2-16) и Х*і опт = Хі+ у о п т Л -Ч (уопт может быть отрицательной, по­ ложительной и равной нулю). Более подробно вопросы оптимизации квантования рассмотрены в § 2-7,

26

Ряд Грама—Шарлье для плотности вероятностей

Z(t) имеет вид [Л. 34]:

.о, [г(*)]=Ф<»>(г) - 4 ф(4) (г) +4ф<6)и-•••>

где А — коэффициент асимметрии; Е — коэффициент экс­ цесса распределения тоц функция Лапласа

2

2 du, ф т { г ) = * Ш .

О

Аппроксимация интегральной функции распределе­ ния нормированного процесса

Из-за погрешностей квантования процесса Х(і) мате­ матическое ожидание процесса z(t) отличается от нуля, а его дисперсия не является единичной, поэтому с уче­ том квантования

где

(2-19)

(2- 20)

3 2 ( 0 =

Так как значения Ф ^г) табулированы [Л. 2І, 35], тб определение закона '<й [х(/)] сводится к определению ко­ эффициентов ряда (2-17) по формулам (2-18) — (2-21), известными величинами в которых являются оптималь­ ные квантованные значения х*гопт и вероятности Pi(t).

Рассмотрим марковскую модель перемежающихся отказов устройств. В этом случае процесс Х(1) является стационарным [Л. 22, 26] и нас могут интересовать сле­ дующие характеристики: вероятность нормального функ­ ционирования до первого отказа, плотность этой вероят­ ности, закон распределения определяющего параметра, коэффициент готовности устройства, закон распределе­ ния времени пребывания в неработоспособном состоя­ нии (длительность сбоя), математическое ожидание и корреляционная функция определяющего параметра.

Предположим, что интервал [х0, Хі] изменений опре­ деляющего параметра X известен. Выберем промежуточ­

ния Хо, Хі, х2 с положительными и отрицательными про­ изводными соответственно через Ѳо и г)о, Ѳі и т)і, Ѳг и r\z-

Вероятности событий x0<X(t), Xi<X(t)<Xo, x2< X (t)< < x i, X(>t)<x2 обозначим черезPo(t), Pi(;t), Pz(t) и Pz\t)-

Следовательно, вероятности Pi(t) и P2(t) характеризу­ ют вероятность пребывания устройства в момент време­

p \{t) = %PAt) — ^ P 3{t)-

Решая эту систему, можно определить все вышепере­ численные характеристики качества устройства, при функционировании которого имеют место перемежаю­ щиеся отказы.

Используя изображения Р і ( s ) как производящие функции, можно простым способом найти среднюю дли­ тельность нормального функционирования

1 W A + Чо (Чі + Ѳо)(Ч2 + Ѳі) — '']оМД2+Ѳ1) - тЧоЧА

28

to среднюю продолжительность сбоя

. 6г Г7!g ("'ll —Ар) Ч~ воДг^Т — 9оѲіР2 — ѲоРі (Дг + 9і)1 ~Ь

где Рі и Р2— вероятности пребывания устройства в-со­ стояниях Si и S2 при t — 0. Такие характеристики особен­ но важны, например, для самолетных вычислительных устройств, используемых в навигационных системах.

Найдем характеристики качества устройства в со­ стоянии статистического равновесия: коэффициенты го­ товности Кѵ и простоя /Сп, закон распределения опреде­ ляющего параметра и корреляционную функцию процес­ са.

Решая систему (2-22) при условии Р'і (і)=0 и ис­ пользуя условие нормировки для предельных вероятно­ стей, получим:

где

z = ѲоѲіѲ2+ тіоѲіѲг-ртіогрѲг+ Г|оГ]іТ]2.

Коэффициент готовности устройства

димо найти оптимальные квантованные значения х*,-, і —

= 0,3. Выберем x*0=Xö+yÂXi, х*і = Хі-|-уАхі> х*2= х 2+

+уАх2, х*з— х2— уАх2, где Ахі— х0—хі, Ах2= хх—х2, и най­ дем оптимальное значение у из условия совпадения ма­ тематического ожидания тх и выборочного среднего т*х процесса (методом моментов), тогда

29