книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

Таким образом, при монотонно возрастающей огра­

способности до наступления установившегося режима определяет неравенство

в котором используется целая часть отношений. Полагая ТАс^Т0— ІО3 ч, получим 11 < m<31, т. е. примерно че­

рез 20 проверок можно пользоваться (4-22). Расчеты переходного режима оптимального KP значительно упро­ щаются, если воспользоваться квазиоптимальной перио­ дичностью.

В этом случае

Итак, в данном параграфе получены приближенные аналитические соотношения для расчета переходного и

140

установившегося режимов оптимального KP. Отличи­ тельной особенностью является то, что в них учтены взаимосвязанные внезапные и постепенные отказы, а также дисперсия погрешностей измерений.

4-3. Оптимальная периодичность профилактической замены элементов

Вработах [Л. 17, 18, 54—56] для отдельных случаев показано, что оптимальная периодичность ПЗ элементов (электровакуумные и полупроводниковые приборы, маг­ нетроны, клистроны, модули и т. п.) существует не всегда.

Вэтом параграфе формулируются достаточно общие условия существования и единственности решения транс­ цендентных уравнений, определяющих оптимальную пе­ риодичность ПЗ, о учетом, влияния внезапных отказов, полного и неполного восстановления свойстз элементов после АР и ПЗ. Простой вид этих условий [Л. 53], в ко­ торые входят параметры ФР времени безотказной рабо­ ты элементов и показатели затрат на АР и ПЗ, позволя­ ет легко убедиться в целесообразности поиска оптималь­

ных решений.

Обозначим: F{t) — ФР времени безотказной работы элемента, ср— средние затраты на один АР; сп — сред­ ние затраты на одну ПЗ; %— периодичность ПЗ; с(т) — удельные эксплуатационные расходы (УЭР). Обычно ср и Си измеряют в рублях или часах, а с(т) — руб-ч~1 или в относительных единицах. В последнем случае по физи­ ческому смыслу с (г) является коэффициентом простоя.

Условия существования и характеристики оптималь­ ной ПЗ, итерационные алгоритмы отыскания т0Пт найдем из решения задачи в. постановке, ставшей уже традици­ онной [Л. 15, 17, 18]: F(t), сѵ « са известны, требуется определить т0Пт, минимизирующую математическое ожи­ дание с (т).

141

Дифференцирование выражения (4-25) по х и при­ равнивание производной нулю дает:

Если решение уравнения (4-26) существует и являет­ ся единственным, то существует и оптимальная пери­ одичность ПЗ, минимизирующая выражение (4-25).

Докажем условия существования и единственности решения (4-26) для ВФИ- и ОВФИ-распределений.

Теорема 4-1. Если F(t) есть ВФИ-распределение с не­ прерывной плотностью и

то на интервале [0, оо] решение уравнения (4-26) суще­ ствует.

Доказательство. Обозначим левую часть (4-26) через Ь(т) и исследуем предельное поведение этой функции. Из условия теоремы следует, что она непрерывна, по­ этому .

доказать.

Из теоремы следует, что при ср^ с п оптимальной ПЗ не существует, что вполне соответствует физическим представлениям. Для случая ср = сп этот результат, полу­

142

Доказательство этой теоремы аналогично предыду­ щему с тем лишь отличием, что

lira L (т) == lim Л (т) lim [P{t)dt = мин (а0, аt)T 0. t->co т~>ао «J

Пример 4-2. Пусть время безотказной работы элемен­ та имеет гамма-распределение с параметрами п и а, тог­

При п = 1 и Ср^Сд это условие не выполняется. Теорема 4-3. Если Л(/) ВФИили ОВФИ-распределе-

ний есть дифференцируемая функция и решение (4-26)

Следовательно, L (т) является монотонно возрастаю­ щей функцией, которая при изменении %от 0 до оо толь­ ко один раз пересечет уровень ср(ср—сп)_1, что и требо­ валось доказать.

Когда существование и единственность решения (4-26) установлены, можно приступить к отысканию т0птОбычно эту процедуру рекомендуют выполнять графи­ ческим методом. Сократить объем вычислений и гаран­ тировать требуемую точность результатов можно за счет использования итерационного алгоритма отыскания Топт, построенного по методу Ньютона [Л. 57]:

где для ВФИ-распределений Xo=kcaT0{cp—Со)-1; для

1-» С О

грешности линеаризации L ( t ) . Так как метод Ньютона обеспечивает сходимость более быструю, чем сходимость геометрической прогрессии с любым знаменателем, мень-

143

шим единицы, то требуемая на практике точность дости­ гается за две-три итерации [Л. 57].

После отыскания т0ПТ целесообразно оценить мини­ мальные УЭР по формуле (4-25) и выигрыш W от опти­

мизации ПЗ. При отсутствии ПЗ lim М[с(т)] = сѵТ ^ 1, еле- т-»со

довательно,

= 654 ч, тг=584 ч , тз=574 ч . Вычислительная процедура прекращена, так как последние два значения отличаются менее чем на 2%. Следовательно, тОПт~574. Отметим, что, несмотря на «неудачный» выбор т0 (&=1), итераци­ онный процесс сошелся за три итерации.

Найдем ТЭХ оптимальной ПЗ: М [с5ШН (574)] = = 0,0441 руб -ч -1;

№= 26,5%; ТсштГ'1=0,344.

Целесообразность оптимизации ПЗ очевидна, так как она сокращает средние УЭР примерно на 26,5%.

Перейдем к условиям, характеризующим влияние вне­ запных отказов на решение (4-26). Выберем ОВФИ-рас- пределение типа (4-28), в котором для простоты поло­ жим Хо-=Хі=к, ро=\. Используя неравенства (4-29) и (4-30), получим следующие условия существования опти­ мальных ПЗ при взаимосвязанных внезапных и посте­ пенных отказах:

144

(внезапные отказы отсутствуют или не учитываются), кривая 2 —при Хщ1= 0 ,2 , кривая 3 — при Ят^"1= 0 ,4 . Из условия (4-34) следует, что минимум функции (4-25) неразличим в данном случае при Яі)^1> 7,5. Как видим,

влияние внезапных отказов проявляется в том, что мини­ мум функции (4-25) как бы «размывается», однако, что очень важно, величина т0ПТне изменяется. Сростом числа внезапных отказов растет лишь величина ЛГІСмщ^Топт)]-

На рис. 4-2 приведена типичная зависимость относи­

тельной величины оптимальной периодичности тД“ 1 от

величины СрС_1п (кривая 3). Как и следовало ожидать, рост затрат на АР влечет за собой уменьшение тТ~^, т. е. в такой ситуации целесообразна более высокая частота проведения ПЗ.

Для случая роф і использование неравенств (4-29) и (4-30) дает следующие условия существования опти­ мальной ПЗ для вероятности полного обновления свойств элемента после АР или ПЗ:

Ро> ~ ъ г ^ 7 ’ а» = а>-

Они говорят о том, что проведение ПЗ нецелесооб­ разно, если вероятность полного обновления элемента

полностью обновить элемент при ПЗ, то ПЗ следует про­

146

тельно расширяется диапазон изменения р0, в котором оптимизация целесообразна.

На рис 4-2 (кривые 1, 2) и рис. 4-3 показаны типич­

ные зависимости -сТ ~1и W от ро. построенные при гіо=

= г)і = 2 • 10-3 ч~1, Яо = Лі = 0. Кривые 1 рассчитаны при СрС_1п= 5, кривые 2 — при срс_1п=10. Выигрыш от опти­ мизации существенно зависит от степени обновления элементов после АР или ПЗ.

оптимизировать периодичность ПЗ элементов с целью обеспечения минимума математического ожидания УЭР,

построен итерационный алгоритм определения х и

проиллюстрировано влияние внезапных отказов, непол­

ОГт

Алгоритм расчета ТЭХ оптимальной ПЗ следующий: выбирают целевую функцию, по которой возможна и це­ лесообразна оптимизация; статистическими методами определяют интенсивности ухудшения параметров, ин­ тенсивности внезапных отказов, показатели затрат сѵ, са, вероятность р0; проверяют выполнение необходимых условий (4-27), (4-29), (4-30), (4-34), (4-35), с помощью

147

смысл, использует относительно простые исходные дан­ ные и рекуррентные соотношения, обеспечивающие за­ данную точность. Выигрыш от оптимизации ПЗ оцени­ вается в целом — с учетом взаимосвязанных внезапных и постепенных отказов.

4-4. Оптимальная периодичность профилактического обслуживания систем

При обслуживании сложных устройств (например, приемников и передатчиков РЛС, блоков РНС и т. п.) АР уже не приводит к полному обновлению, поэтому ха­ рактер интенсивности отказов после АР не изменяется. Это обусловлено тем, что из-за большого числа элемен­ тов в устройстве замена одного из них при АР слабо сказывается на суммарной интенсивности отказов. В то же время при ПО таких устройств производится или полная замена всех износившихся элементов, или такая их регулировка, что интенсивность отказов из-за износа элементов падает до нуля — происходит как бы полное обновление устройства после ПО. Ясно, что для слож­ ных устройств, как правило, ср< с п.

Для устройств [Л. 18, 53, 56]

(4-36)

поэтому для минимизации УЭР необходимо решать трансцендентное уравнение

В работе [Л. 18] доказывается, что необходимыми условиями существования и единственности решения (4-37) являются непрерывность, дифференцируемость, строгое возрастание и неограниченность интенсивности отказов на интервале [0, оо]. Последнее условие на прак­ тике для сложных устройств не выполняется, но, как оказалось, оно и не требуется.

148

Теорема 4-4. [Л. 5'3]. Если распределение (2-87) есть ОВФИ-распределение и

то в интервале (0, оо] решение уравнения (4-37) сущест­ вует.

Доказательство. Обозначим левую часть уравнения (4-37) через ЕДт) и исследуем поведение этой функции. Она является непрерывной, так как представляет сумму непрерывных функций. При т-И) Еі(т)-И). Отыскание предела ЕДт) при т-^-оо приводит к неопределенности вида «оо—оо». Применим подстановку Ф(т) = е Ефт).

пересечет уровень спс~\ что и требовалось доказать.

Теорема 4-5. [Л. 53]. Если решение уравнения (4-37) для ОВФИ-распределения существует, то оно является единственным.

Доказательство. Дифференцируя ЕДт) по т, получим

Интересно отметить, что т0Пт определяется из реше­ ния (4-37) и в том более общем случае, когда средние

149