книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

X x a(l)—

Вероятность безотказной работы

Р (t) = 0,748 {exp (0,2Э1е-°'О1МЗ( -

2,8.IO"3*) +

+ 2- IO '3 [L0 (0 е- 2'8-10- 3/ -

L0 (0)

плотность

вероятности

f (t) =

0,748 {(2,8+ 3,62е-°.0І243() exp( — 2,8-10~3/ +

+

0,291е-°'01243<) + 2 [2,8 • 10-3L0 (t) — L \ (f)] -

_ - 4 fi A ü - h

__8-lO -3Lo(0)e_4,10" 3<} 10-3.

На

рис.

5-1

показаны

графики

Л(т) (/),

А а(ъ)

(2) и

Я0 + Kß ап

(5), нормирующий множитель

ѵ = 1 0 _3 ч~1.

Оптимальная

нормирован­

A

ная периодичность ТІО бло­

ков

1

радиооборудования

iV

тОпт= 0,54

с учетом масшта­

ба torn = 540

ч,

W = 21,4%.

При

построении

графиков

использовались

три

члена

1

ряда

(5-3), что дает

макси­

“T

мальную погрешность

оцен­

ки ,f(t)

менее 0,4%.

задача

Таким

образом,

3

T

'

r

оптимизации

ПО

изделий

tonm

1

с учетом

послепрофилакти-

о,г

о//-

as

о,8

Рис. 5-1. Определение

т0Пт.

ческих

отказов

сводится к

приближенному

расчету

(5-4), (5-5) и построению

P(t),

f(t)

по

формулам

графиков

A(t)

и

Ао(/)

для

определения т0пт, W.

А0 (t) <^1іш A (t) мин (a0, a,).

(5-7)

Ло(т1)> Л ( т 1),

Ao(t2) < Л (т 2).

(5-8)

Изменение функций в этом интервале

аппроксимиру­

ем хордами А1В1 и АгВ

Абсцисса

точки N x пересече­

ния этих хорд дает первое

приближение

т(1)

для т011Т.

Используем

как т2,

тогда

пересечение

хорд АгВ 3 и

АМі в точке N2 дает второе

приближение

Анало­

гично нетрудно

получить

и все

последующие приб­

лижения.

А р ( 'b )

А р м и и

То п т 11

А р м и и

А (Тң)

ЧиіТ

Армии

Ар (тг)

т2 — топт

Л (т2)

А 0МиН

откуда для первой итерации

t^'onT= (Мітгг+ЛІгТі) (Мі + ЛІг)-1, A^Whh=

= [А(т2)М3+ Л (т,)М4](Ms+ МО -i,

(5-9)

где

Мі = Ло(ті)

Аоміті

Мг=Ломіш

Ао(то)',

Afз—Тонт—гі

М 4 =

Т г T o u t -

После

получения т(1)

и Л(І)

с помощью

соотноше-

ний типа

J

ОЯТ

0 мин

и все

последующие

(5-9)

находят

-с<2>,

Л (2)

онное соотношение

(О

Т(П

1)

[А/

0

П

ОПТ ОПТ

1Л

) - Л '0 (х<і>)]

(5-10)

ОПТ,Л-'оС#7'))

хО)д/ (М)\

■о т ІѴ 0 Ѵ*опт'

получаемое так же, как

и выражение (5-9), с учетом

того, что А'о(т) =т~1[А(т)—Ло(т)].

три частных случая: 1) Х0 = 0; г]0=Л1 = Л1 2)

А0 = 0, ц0ф

3)

т|о==Tji=== Л• Рассмотрим более

подробно

р \ (0 = - -

(ч +

Яйе ѵ

) Р 0 (0 .

Р \ (0 =

-П[Р>(0 -

Л (01-

(5-11)

_

—іпі + Х о- 1 (е

п _ ] )

, а

Отсюда

Р0 (£) — <?

п п

Р ’Лі) =

—*,(+Ка~~1(е

(5-12)

-П [е

п п

-

Р М -

u{t)v'{t) + v{t)u' {t) + w(t)v{t)^ne -^+ Ѵ п

-а

f—1)

(е

П

;

v{t) [u' (0 +

-4«(0l = O*

следовательно, u(t) =

e

a.

=

0

(5-13)

Так как

интеграл

в выражении (5-13) через элемен­

X -1 е~аих

00

1

/\тт * —

п п

іS=1 4г(сГ

С учетом этого

ряда

ѵ(і) = це

а% { t - * : '[ L ( t ) - L ( 0 ) } } ,

(5-14)

следовательно,

p i (t) = це (¥+>п п

] {t - \

1\L (t) — L (0)]};

где

—а

t

-о'+Ѵ п >

V » е

п

Ч - ч Р - * ;1[L(f)-£(0)]}

*>(*) = *

/

—at ~гпап *е

-(і'+ Ѵ п ’>

{tn +

Ке

* ) е

+

f(0 = e ”

+ Т )(Ѵ - I ) - ! « " 1h ^ ( 0 - ^ L ( ° ) -

- L ’{t)]},

A(t) =

x{t)y~1(ty,

Л ,(0 =

[^ + Яда“ 1 -ln j/tf)]* " 1.

г д е

^

_I —

х (0 — і7!4 " n )ß п

+ ^ ( ^ — 1) —

-

ч®“ 1[т{1(0 -

-Ф (0) -

и (о];

y(t) =

e

а% е

+ т, {t - а” 1[L (0 -

L (0)]}.

Для определения т0ПТ полезны предельные соотноше­

ния lim Л (t) = lim Л0(£) = Я„,

1ітА(^) = 1ітЛ0(<)=т]. Выиг-

f-> О

І- * 0

ПО

00

t-¥ 00

рыш от оптимизации

Г=[1-Ло(Топт)гі-1]100%:

(5-16)

Оптимальная периодичность в этом случае определя­

ется с помощью выражения

(5-15)

и итерационного со­

Пример 5 - 2 .

Определим г 0п т

при

следующих исход­

ных данных: + = Â 'n= 1 • 10~3

ч_1,

ахіх= 10-10—3 ч~4.

Используем

нормирующий

множитель ѵ = 1 0 _3 ч-1,

тогда нормированные

параметры

т) =

Яп= 1 ,

aD= 1 0 . В

выражении (5-15)

Л0 (і) = [0,1 + 1 —■Ыу (£)] А 1,

л+)=(1 +

+

e - lot)ee-le~l0t +

t -

1 - 0 , П е ~ 1Н -

0,525 ■l0 - 3g -20i+

+

0,0102, у (t) =

<?°'1е_ш+ 1-

0,01ér10t- 0,25- 10-3é r 20t+

_(■) .. 0 , 5

- 1 ( 0 , 0 9 1 + 0 , 1 0 6 )

, _

n c Q 0

опт

1

- 0 , 0 9 1 4 - 0 , 5 - 0 , 1 0 6

4

’

В этой

точке

Л0 (0,683) =

0,392;

Л (0,683) =

0,415;

Л'о (0,683) =

0,0337.

Используя

какт2 на второй итера­

ции, получим т(2) =0,628. Аналогично

т(3) = 0,620,

т(4> =

опт

опт

опт

= 0,621; Следовательно, уже

на второй итерации т0ПТ

определено

с требуемой в инженерных расчетах

точно­

стью.

P(t) = e

а

\е

п

+

+ "П[% 1+

^ (0)] — не

[А0 1Ң- L (*)]|;

f(t) = e

“ и

' {(т|+Я0 +

Япе “П<) Х

X *

+ Ѵ І Ѵ + М 0 )]-

— (у -Ь К) "4е Гоі [^o1“Ь ^ (0] +

+ -че~Х°іЬ'(Щ,

Л0(*)=

=

fof +

AnaT’ — lfl у Ш Г 1;

(5-17)

— (>0І—> <х~ 1е

)

■«(0 = (1 +

А. +

Аив ““ ) И

п

} +

+ ^ [Я -' + 1 (0)] - 7! (Ч +

Я0) е ~ ^ [Я"1+

+

^(01 + 7\в

l°*L'(t)\

-Ѵ+Ѵ"“1«Г“»*

L (0)] —

у (t)= е

4" 71[%

- * - ѵ і ѵ Ч ц о і ;

—к

—іаЧ

(Ѵ П

«=s г?(Х0 4 -іап)

П р е д е л ь н ы е

с о о т н о ш е н и я

д л я

Л (t) и А Д /) и м е ю т

в и д :

lim Л (t) == lim Лв (t) = Яв -f- %

Нт Л (t) — lim А0 (t) — 1 \.

t - *0

t - ±со

tf-»oo

Пример 5-3. Определим

т0пт при следующих норми­

рованных интенсивностях:

Т] = 2; Ао=0,2; Яп—1,48; >ön=

= 5,92, v=2- ІО-3 ч-i.

Выберем ті=0,6, тг—1,0,

тогда

ті< т 0Пт<Т2. Исполь­

зуя систему (5-17), получим:

L(0 =

0,0816ér2’9et +

5,2-10-V :5'93t-fO ,29-10-3<r8'9t;

L (0) =

0,0871;

U(f) =

- (0,242й- 2'86t + 0,0307ér5-93* +

+ 2 ,5 8 .1 0 - 3e - 8'9t);

P(t ) = e - (°'2S+Vy{t);

f{t) = e^°-2s+^ x (ty

x(t) = (l,l

+ 0,741e-2’9n)X

X e _0'u+0'25e‘ 2,s8' +

10,4 - l , l r ° . 1( [10 + L(/)1 +

+ e°'u L' (ty

у (f) = e - M t +

0,25е-2'9в( +

10,4 - е~°-и Ь {ty

В моменты Ті и Тг интенсивности имеют следующие

значения:

Л(0,6) =0,526;

Ло(0,6) =0,608;

Л'оСО.б) =

= —0,136;

Л(1,0) =0,598;

Л0(1,0) =0,568;

Л'0(1>0) =

= 0,02.

Используя выражение

(5-10), получим

Х ^ = 0,922;

хопг ^ 0,862;

-с1^ = 0,831. Таким образом,

погрешность на

щее: если

«„Я“ 1— ѵоо,

то

Топт— ИЗ,

W7— Я00%; если

аДп-і— ИЗ, то

(0,

Я0

-j- Яд <

т);

_

Т°пт

1,00,

Я0

-(- Яд > т);

^ ^

( ( ! _

Ю°%,

Я0 + Яд< т|;

Е сли Л-цЯд1—>00,

ТО Тодт—►ОО,

W —*0;

вСЛИ XnXQ >0,

ТО

0,

Я0 <

7J,

оо,

Я0>7],

W -

(1

— Я0т)_1)

ІООѴо, Я0 <

ij;

о,

xa>fi.

100

00

90

SO

70

SO

50

W

30

го

10

0_

Рис. 5-6. Номограмма для определения

выигрыша

от оптимизации при Хо¥=0.