книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

Для вычисления математического ожидания и дис­ персии времени безотказной работы используем выраже­ ние (3-36)

ПО

“ B >cos[дгЙ^Г +■*•]-0,5ß2 sin2?“+ß‘C0SЦ ]'

~^[5° +5lSin(-^+Cp»)+

где л'і и Л* — те же, что и в примере 3-4.

Перейдем к рассмотрению моделей с некратными ин­ тенсивностями. Пусть по-прежнему параметр режима Д(т) =da + d sin (Qt + фо), а интенсивности fa{X) —соо + + С10Х+ С20А2, Г]о (^0 = Ооі+ СцХ + С2 1 Х?', pi(Z)+A,i(X) — = Co2+cj2X+ C22X2, где сц — коэффициенты, безразмер­ ные относительно времени и нормированные с помощью V, тогда

flj (т) = Ьоі-Ь Ьц sin (Пт+фо) 4-^2і cos 2 (йт + фо), і ==0, 1, 2, (3-88)

необходимо решить систему дифференциальных уравне­ ний (2-85) с периодическими коэффициентами

111

где

**i+ÈH!_sin 2?0.

Вероятность Pi(x) будем искать в виде ц(т)и(т), тогда u(t)v'(r)+ a(r)u'(x) + a2(x)u(x)v(x)= al(x)Po(r), отсюда

и (t) = Ja, (t) exp | — L0(t) — a2 (t)]) dx.

Этот интеграл через элементарные функции не выра­ жается, а через специальные, например, функции Анго или Вебера [Л. 48], выражается только для установивше­ гося режима. Поэтому используем приближенные мето­

где M = exp {—D—1(ai cos <po—0,5 a2sin 2cp0)];

y ( x ) = ^ ol- ^ - a l ^ e ‘ -£l(^ x +

112

Предельные значения интенсивное™ откйзой

в установившемся режиме интенсивность отказов явля­ ется периодической функцией.

Так как разложение в ряд Маклорена приводит к по­ грешностям в определении характеристик качества из­ делий, функционирующих в периодических режимах, то постоянную интегрирования Cj целесообразно выбирать так, чтобы начальные условия удовлетворялись для той из характеристик, которая используется в последующих расчетах. Например, для /(т) и Л(т) с\ определяется из условия

Особенностью приближенного метода анализа являет­ ся и то, что в случае линейных зависимостей интенсивно­ стей от параметров режима характеристики качества нельзя получить простым приравниванием нулю ко­ эффициентов 02, &20, Ьц, Ь2 , так как изменяется вычисле­ ние / ( т) и и (г). Покажем определение и(т) для этого случая и дадим выражение для Л(т).

При линейных интенсивностях

114

Как и следовало ожидать, при линейных интенсивно­ стях в установившемся режиме Л(т) имеет такой же пе­ риод, что и параметр режима.

Итак, в этом параграфе рассмотрены модели с перио­ дическими интенсивностями, с их помощью получены вы­ ражения для характеристик качества изделий, функцио-

нируюших в периодически изменяющихся режимах, и по­ казаны особенности определения экстремумов интенсив­ ностей отказов в переходном режиме.

Все результаты получены для гармонического изме­ нения только одного параметра режима. Учет большего числа параметров и более сложных периодических зави­ симостей производится аналогично, однако аналитиче­ ские соотношения значительно усложняются. Применение разработанных приближенных методов, а также метода линеаризации и нормальной аппроксимации, позволяет определить все характеристики качества изделий, кото­ рые функционируют в таких случайных нестационарных режимах. Ясно, что из-за большого объема вычислений анализ качества в более общих случаях целесообразно проводить с помощью ЭВМ.

Анализ результатов показывает, что существующий метод оценки {Л. 6] по максимальным и минимальным значениям справедлив для случая кратных интенсивно­ стей и для случая некратных только в установившемся режиме. Для переходного режима, который практически наиболее интересен, такая оценка дает большие погреш­ ности (50—80%).

3-6. Распределения определяющих параметров устройств и динамика режимов

Рассмотрим, как влияют периодические изменения

U 6

=2,75; Й '=179, Ъ \= 2 \Ъ \ =

=1, ф/о=0. Нормированные

Проведем сравнительный графический анализ мо­ ментных характеристик коэффициента усиления для ста­ ционарного и нестационарного режимов.

117

по V безразмерный период изменения температуры и чи­ сла включений). Пунктирные кривые соответствуют ста­ ционарному режиму. В начальный период времени мо­ ментные функции коэффициента усиления по току тран­ зисторов для стационарного и нестационарного режимов отличаются незначительно. Для нестационарного режима математическое ожидание и дисперсия несколько меньше на всем интервале сравнения, а коэффициенты асиммет­ рии и эксцесса — несколько больше. Отличия характери­ стик, обусловленные в основном нелинейной составляю­ щей 5(т), с ростом времени все более увеличиваются. Проявляется действие динамического закона изменения надежности, сформулированного Н. М. Седякиным [Л. 81], — в периодическом режиме ресурс транзисторов вырабатывается быстрее.

Итак, в этом параграфе рассмотрены метод и осо­ бенности анализа влияния динамики режима на харак­ теристики определяющих параметров изделий. Получен­ ные результаты полезны при анализе точности и стабиль­ ности аппаратуры, эксплуатируемой в нестационарных режимах.

3-7. Нестационарные режимы технического обслуживания

Если интенсивности ТО изменяются во времени, то режим ТО будем называть нестационарным. Рассмотрим модели ТО с кратными и некратными интенсивно­ стями. Особое внимание уделим интересному и важному для приложений случаю полиномиального изменения не­ кратных интенсивностей. Случай периодического изме­ нения интенсивностей ТО встречается реже, он может быть исследован методами, изложенными в § 3-5.

Физические предпосылки построения рассматривае­ мых моделей ТО очевидны. Однако необходимые стати­ стические данные для них в литературе пока еще не нашли отражения, поэтому реальные ситуации, описывае­ мые этими моделями, и их особенности мы проиллюстри­ руем практически интересным примером из теории мас­ сового обслуживания— найдем интенсивность обслужи­ вания самолетов гражданской авиации диспетчером аэропорта при условии, что интенсивность прибытие самолетов в зону управления зависит от времени.

118

Используй обозначения и результаты § 2-3, 3-4 й 3-5, для вероятностных характеристик нестационарных режимов ТО, описываемого моделями с кратными интен­ сивностями, получим:

X

6(т) = Js (X) dx.

о

Например, при и2= 1 интенсивность ТО

- е_М(і:)] S СО

(3-102)

Так же, как и в § 3-4, 3-5, нетрудно изучить предель­ ное поведение W {%) при монотонных и немонотонных

S ( T )

Таким образом, при однотипных распределениях про­ должительностей операций и кратных интенсивностях вероятностные характеристики ТО получают методами, изложенными ранее. Используя в роли S(т) нормирован­ ные интенсивности известных распределений или выра­ жения типа (3-9), нетрудно исследовать поведение ха­ рактеристик ТО в зависимости от типа и параметров распределения этих продолжительностей. Так как анало­ гичная задача подробно изучена в § 3-4, здесь на ней мы останавливаться не будем.

Перейдем к рассмотрению моделей ТО с полиноми­ альными некратными интенсивностями. Полиномиальная аппроксимация целесообразна в тех случаях, когда ин­ тенсивности являются немонотонными и непериодически­ ми функциями времени. К ней, в конечном итоге, при­ водит аппроксимация с помощью обобщенных степенных полиномов Фурье (см. § 3-2).

119