книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

. . mb, обеспечивающие максимум прибыли D, определяемой выра­ жением

£»(111,, ш2, ... , m „)= (у, т , , ms, ... , ли) rfy —

гГ'

..., пи) при изменении математического ожидания выходных пара­ метров изменяется незначительно, уравнение оптимизации в этом случае принимает простой вид:

• I" Ь(у) Иі.п»! ........ ui») dy = 0. (6-7)

В этом параграфе мы рассмотрим задачу оптимизации матема­ тического ожидания и дисперсии начального значения одного нор­ мально распределенного выходного параметра при ступенчатой аппроксимации цены изделия. Физический смысл этой задачи опти­ мизации заключается в следующем. Если уі<си><у2, прибыль, по­ лучаемая при реализации одного изделия, равна d; если ао<у или ао>у, прибыль — dt или d2(d, du d2>0). Если при нарушении ТУ изделие идет в брак, то di—d2=0. Задача заключается в том, что­ бы обеспечить максимум D.

Построим математическую модель оптимизации. Из-за суммар­ ного действия большого числа случайных факторов, каждый из ко­ торых оказывает незначительное влияние на процесс производства, на основании предельной теоремы теории вероятностей можно пред­ положить, что ао будет распределена по нормальному закону. При регулировке производства изменяются математическое ожидание т и дисперсия сг2 этого закона, поэтому математическое ожидание D является функцией от и а2. Необходимо найти такие т0„т и о20пт, которые обеспечивают максимум D(m, о).

200

ном виде отсутствует, отыскание т0шт.и сгг<тт можно осуществить

(6 -8 ) по параметрам т, а и приравнивая производные нулю, после

чение. Поэтому во многих случаях решение задачи совместной опти­ мизации одновременно двух моментов во в такой постановке неце­ лесообразно.

В большинстве задач практически интересна оптимизация одного из моментов. Решение уравнения (6-10) существует в двух

201

Пмако(«опт) =0,4999 руб(изделие)-1. Нетрудно убедиться, что при

«0,278 руб-(изделие)-1. Как и ранее, нетрудно убедиться, что иные

Примеры показывают, что оптимизация изготовления изделий даже в простейшем решении может обеспечить высокий экономи­ ческий эффект и экономическую эффективность.

Итак, в этом параграфе рассмотрена задача оптимизации мо­ ментов начального распределения выходных параметров изделий с точки зрения обеспечения максимальной прибыли заводу-изгото- вителю, найдены условия существования оптимальных решений и на примерах показаны особенности отыскания оптимальных момен­ тов. Обобщения этой задачи можно получить, если с использова­ нием формул (6 -6 ) рассматривать несколько выходных параметров, если, используя ряд Грама — Шарлье, применять более общие рас­ пределения, если учитывать зависимость математического ожидания прибыли от моментов высших порядков и т. п.

Полученные результаты полезны не только при оптимизации производства изделий, но и при расчете оптимальных режимов на­ стройки или регулировки различных технологических процессов, про­ текающих в автоматических поточных линиях. Очевидно, что в роли da, di, d2 и D могут выступать и не только экономические показа­ тели.

6-3. Вероятностный анализ характеристик качества проектируемых устройств, предшествующий оптимизации синтеза

Целью предлагаемого метода расчета является определение вероятностных характеристик качества элементов, устройств и си­ стем по вероятностным характеристикам элементарных случайных величин (ЭСВ), которые входят в неканоническое представление процессов ухудшения параметров (УП), АР и ПО. Предполагается, что вероятностные характеристики ЭСВ, имеющих очевидный физи­ ческий смысл, могут быть легко найдены по результатам статисти­ ческого анализа.

202

Основное назначение вероятностного расчета— дать возмож­ ность непосредственно оценить влияние каждой ЭСВ УП, АР и ПО на качество функционирования проектируемого изделия. Иными словами, результаты вероятностного расчета должны отвечать на вопросы: как количественно изменится та или иная характеристика

на ПО и т. н. Ясно, что ответы на эти вопросы указывают направ­ ления дальнейшего повышения качества. Если учесть к тому же, что любое изменение качества создаваемого изделия влечет изме­ нение приведенных годовых расходов (ПГР), становится очевидной необходимость решения задачи анализа качества именно в такой постановке, так как результаты решения позволяют относительно просто оптимизировать синтез.

В этом параграфе мы рассмотрим определение характеристик качества обслуживаемых и необслуживаемых изделий при линейной и параболической аппроксимации УП. Покажем приближенный ме­

и уравнениям связи выходных параметров с внутренними. Особен­ ности этого метода проиллюстрируем примером расчета характери­

значения и начальные условия, обеспечивающие хорошее в средне­ квадратическом смысле совпадение характеристик УП, полученных прямым методом и методом марковской аппроксимации.

Используя систему уравнений (2-85), при произвольных началь­ ных условиях Р і (0 ) =Рі получим:

Р» (О = 'Л (0 = ( P t + a J p M - 1)

Р 2( 0 = 1 - / > „ ( < ) - Л (О-

С помощью этих вероятностей, как обычно, найдем характери­

Начальные и центральные моменты q-то порядка приближенно­ го распределения параметра элемента определим, как и ранее, с nor

203

мощью квантованных значений х*і и вероятностей Pi(t)

Свободные параметры х*і и p ; в формуле (6-14) необходимо выбирать так, чтобы получить хорошее соответствие точного и при­ ближенного законов.

Используем точные значения математического ожидания и дис­ персии для «привязки» свободных параметров методом наименьших квадратов. В общем случае для этого целесообразно применять та­ кие характеристики, которые приводят к более простым вычисли­ тельным процедурам и в то же время относительно часто исполь­ зуются в расчетах.

Чтобы уменьшить число неизвестных, положим рг=0, а рі вы­

алгебраических уравнений определяет искомые оптимальные пара­

ной аппроксимации УП мы получили аналитические выражения для

204

наиболее важных характеристик качества элементов. В них вошли ЭСВ я0 и ßi, и теперь можно непосредственно исследовать влияние свойств яо и йі на характеристики качества.

Перейдем к определению вероятностных характеристик обслу­ живаемого элемента. Используя систему (2-85), для режима стати­

= ѵд'р’Дх.

Эксплуатадионные коэффициенты

+ Л (а“ 1** + 0] в-*1**"

Таким образом, мы получили аналитические выражения для ве­ роятностных характеристик надежности обслуживаемого элемента в установившемся режиме эксплуатации. В эти выражения входят ЭСВ ßi, Яр, Яп и Yv’ которые характеризуют процессы УП, АР и

ПО. Используя уравнения (6-14) и (6-17), нетрудно построить ряд Грама — Шарлье для установившегося режима.

р о(0 = л«-**; А (0 = (\ а + v—É41V ")) e~4lt-^lo — ^jl

А (t) = i —P0 (<) —Л (f).

Так же, как и ранее, определим характеристики надежности и систему уравнений для определения оптимальных квантованных зна-

205

( 6 - 20)

Мл = е ~ ^ \ Мл = е ~ ^ \

206

Таким образом, и при параболической аппроксимации нетрудно получить выражения для вероятностных характеристик качества

элементов, в которые вошли бы ЭСВ а0, щ, а2, %>, ап и Тѵ •

Характеристики надежности устройств можно находить стан­ дартными методами, например, используя произведение вероятно­ стей безотказной работы, сумму интенсивностей отказов элементов и т. п. Однако этот путь ведет к трудоемким расчетам, малопри­ годным для инженерного анализа. Поэтому используем приближен­ ный метод определения вероятностных характеристик качества уст­ ройств по вероятностным характеристикам качества элементов.

Сущность предлагаемого метода в следующем. С помощью уравнения связи выходного параметра с внутренними

и метода линеаризации находят математическое ожидание выход­

характеристик качества по формулам типа (6-20) и (6-21). Как и

чае необходимости выходной параметр легко представить как детер­ минированную функцию совокупности ЭСВ параметров элементов.

отказов і-го элемента, интенсивности отказов устройства и спра­

Как видим, преимущество второго способа в том, что попутно определяется среднее время АР устройства. Аналогично нетрудно

207

определить и £т> используя в выражении (6-2 2 ) вместо х\о и г}! интенсивности т]0у и ціу.

Пример 6-4. Рассчитаем вероятностные характеристики качества /?С-генератора (рис. 6-1), используемого в тракте формирования по фазофильтровому методу однополосного сигнала связного радио­ передающего устройства. Выходным параметром служит генериру­

тирной линией). Влиянием реактивных сопротивлений транзисторов и паразитных емкостей пренебрегаем.

Для определения критических значений и динамического диапа­ зона допустимого изменения параметров ФЦ используем известное соотношение

В соответствии с [Л. 68 ] примем следующую среднюю скорость ухудшения R и С: <miR=0,l • 10~ 3 ч-1, Отіс=—0,01 • 10~ 3 ч-1.

Среднее время безотказной работы генератора найдем как вре­ мя первого достижения частотой критического значения, которое для FB принимает вид:

ческие значения параметров элементов ФЦ выбирались в соответст­ вии с местом этих элементов в схеме, уравнением связи и критиче­ ским значением частоты генератора. Поэтому вероятности пребы­ вания параметров сопротивлений, емкостей и частоты в соответст­

208