книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

X

X

£ *(_ *) =

К О . £ * ( * ) = j - 7 -Л . Р > 0.

О

—оо

Вероятность безотказной работы изделия

Р W-==(l + V ) « H U , l) , + 7

(1 + Я 2т) іѴ (£+, р, Я2х ) К ‘\

К2

(3-61)

плотность

этой вероятности

] (х) =

(1 ф я^) Г

(Х"+1,)Ч

ß, Я2, х),

интенсивность отказов

(3-62)

Л(х) =

А„ (1 + X ,t) + l 2M

e ~ ^ N

( £ + , (1, А ,, х)

(3-63)

(1 + AjX) +

2 0 +

^a"1) N

’ ß' ^s* х) е

Производная Л' (х)

по-прежнему

определяется выра­

жением (3-34), где

f' (х) =

|^о [^і — (яо + *і) (1 + Ѵ)1 +

V+X2x ) X

• х е-

<>.+>.)х

Я2 (і + Я2х) éTv

tf

( £ + , ß, Я2, х).

Я0 Н~ Яі,

Я0 +

Я, < ^ Я 2;

lim Л (х) = I (Х, + Х1)Х,

3 1

, ^ 0

(3-64)

К + К ’

Л-о-Г *1

h-

А11(1 + А1Т) + А1 х— -j— ln (1 + X2x)])

Л(х) = Я2

A 1

Г

1

1

1 -Ь XjX-)- ^

(1 + A2x)

x— - ^ - l n ( l + A 2x)

I

*C-vQ

Т-ЮО

7->00

Т

=

1

Аі I Я, (Я, — Л„)

1 о

А0+ А1

Я2

л„ -(- At

T f е

Ak (1 “Ь х ь) N (Е*, ß, Я2, Хц)

,

(3-66)

2

ft= 0

(Ао +

М 3

2Я0|3 -f- 6Я, (Я2— Я0) —

к

___ L ,

4

Т \,

(3-67)

в

У

AkN (£ +, ß, Я2, х к)

и

*=1

где для а2т (3-36)

s =

3,

хк и А к (3-66) — те

же,

что и

в примере 3-5;

в выражении

(3-67)

те же, что и в при­

Обозначим öo(t) =floo+aiot, ai(t)

Ooi+ünt,

йг(т)

в

= ao2+ßi2t,

0 о = а о о + й о і - й 0 2 ,

6i= flio+ou—flß,

где

параметры

безразмерны

и нормированы

по

v,

am,

ßoi,

ß02> 0.

.

Если

то решение (2-85)

Р0(т) =

ехр { - ](а00+

аоі) -с +

0,5 (я10+

а ,О

p i (х) =

(р (т) ехр [ —

(амт: +

0,5аігт:2)] —

(3-68)

—^ ехр (— К0оо + аот)х + °>5 (Яю + ЯпКІ)-

öl

Вероятность

безотказной

работы

р (х) =

^ 1 — ^ ) ехр {— [Ко +

floi)х +

-f 0,5 (а,о +

аи) т2]} + ? (*) ехр I -

(аоіч +

0,5а12т2)],

(3-69)

а „

"■{q [ К 1 ■0,5b, X

ё~ (Ѵ+0,56,^) +

(«о. —

j e ~ (6«'t+0'5f,‘,'!)+ (aos + a lsx) <? (x)

• (3-71)

+ ?W

Р (х) = I і -

J - J (а 01+ ^

+ аит J. ехр | — [а00+

+

аоі) х +

0,5 (аОІ+ ап) X2} +

+

~ (аоі +

^

е~ (ймт+0'5аізт2).

(3-72)

ітЛ (т) =

а 00, lim Л (т)=Ъ о,

lim Л'(х) >

0,

ІітЛ '(х)

> 0.

- * 0

Х - К »

Х - > 0

Т - > 0 0

Следовательно, интенсивность отказов является

мо­

нотонно возрастающей функцией, если оад,

ан, йі2> 0.

Математическое ожидание и дисперсия времени без­

отказной работы

4

Т

А,:

ь,

ехр 1- 1(000 +

00.)^- +

* о

і=0

+ 0,5 (а)0+

аи) +J) +

+ <р (х і ) ехр [ -

{а02Хі + 0,baItjfy \ 1 ;

(3-73)

Aie%t [ 1 ( 1 ~

£

>

« - ^ а°

**1 ~

-

(Ч>. - Н ~ )

} ехР і - Каоо +

+ .) xt +

+ 0,5 (ü10+ Яц) + ]} +

(я02+

al2Xi) <р(Хі) ехр [

(д02дгг- +

+

0,5а12+)]] — Т *,

(3-74)

где Хі и Аі — те же, что и в примере 3-5.

няющйхся

режимах, целесообразно применять модели

с периодическими интенсивностями.

(2-85)

Я0(т) =

Пусть

коэффициенты выражения

=

ß o S ( t) ,

Г]о(т) = ß i S ( T ) ,

Яі(т) +ти(т) = s (t ) « 2

являются

периодическими функциями, в которых

а0,

аи а2> О,

s(x) = с0 + СіХ + С2 Х2, лг(-г) — b0+bsin (Q t+фо), где с0, с4, с%,

г,

Q — безразмерные

коэффициенты,

нормированные

с помощью множителя ѵ(ч_1), например х = і\, Со=с'о/ѵи

S(т) = Во -\~Ві sin (Птг+фо)

+Bz cos 2 (Йт+фо),

(3-75)

где Во—С0+ 60С1+ (62о+0,5Ь2)

с2\ Bi — b (С1+ 2&0С2) ;

В2=

= —0,5ЬЧ2.

полу­

Использование формулы (3-75) и результатов,

A ( x ) = Q ( x ) s ( x

) ,

(3-76)

где

Q(x) = (а0+ а,) (а2— д0) — афге

а = а 2

— а0~ а , ;

а 2 — я 0 — а1е~а‘6^'1

нормированное безразмерное оперативное время

Q ( t ) = ß o T + fi_1'[0,5ß2sin

2(П т-Ьф о) —

Ііш А (т) =

a0s (0), lim Л (х) =

мин [(а0-{- a j, а2] lim s (х).

х->0

х-^-оо

х-»со

_ _

1

1 0.1 (Д.+Ді) (02— 0.)

(3-77)

0

aßo

щ (аг — 0,9а0)

1 Іт Л макс W

= ö oSHaKc

; 1 іт Л макс С®)=МИН [ ( 0 ,+ f l ,) , ЛJ 5„ ж с >

't">0

(мни)

(мин)

х~*са (мин)

!мин)

г д е

S M a K c =

ß o 4 ' ß i —

В г ' ,

Stmii—Во

Ві

В% н а й д е н ы И З

условия s' (т) = 0.

исследования

переходного режима

Для детального

Л(т)

необходимо найти

распределение

ее экстремумов

+

s" W < 0;

(3-78)

( 2*6 +

4 -

s " W> ° . 6=

1,2...,

где k — номер

максимума или минимума

(при <ро<0,5я,

седними экстремумами Л(т)

и s(t), можно определить и

распределение стационарных точек Л(т);

’’to — '*« + *'’*•

Необходимое

условие существования

экстремумов.

^ - = 0 и л и

s ' ( t ) Q ( t ) +

s ( + Q ' ( x ) =

0 ,

т . е .

s'ft)____'Q’ 0)

(3-79)

S2ft) ~~

Qft) '

Точное аналитическое решение равенства (3-79) по­

лучить невозможно. Однако,

так как Ахь.

обычно невели­

нов.

через х(х),

Обозначим левую часть равенства (3-79)

правую — через у(х).

Значения функций х(х),

у{х) и их

производных в точках разложения

-С (tr8)— 0;

у (tftj)

а, (аа — а„) <х2 .

s "

(4s)

. ѵЧ ,

f'ifr.)

’

1

_ ах (аг — а„) «3s К ,) Я (Th.).

у' Ы ) ■

N2(■%.)

w Ks) =

V(хк.) — а , (а, — а0) (а0 +

а, + а2);

. ,// / .

\

« I (Д2 —

«о) а 4« 2 (**,) [2Я2 (і*,) — V ( 4 s ) N

(т*,)]

У К .) = -------------------------------------------------------

где

а „)2еа0<\5> — а, а 2е-- a0( \s)

Я (%s) =

(flo +

«і) (аг -

,, ,

,

,

,

w

.. ав (Ч,.)

I

2

—1“9

( \ . )

V W

=

(ao +

fl,)(a2- ß

0)’ e

+

а, а2е

I (tftS) =

B0iks +

(В, cos <?„ — 0,552sin 2<р0) Ü -1;

5 (tfts)=

в

0 +

В г

-

Я.. S" Ы

=

(4ß2-

В,) 0 2<

0;

B 0- B

- B

2,S"

О2> 0 , 5 ,> 4 ß 2.

Использование этих значений приводит к квадратно­

му уравнению

0,50" Ы

Дт^+

[*' (х*,) +

0' Ы ]

Дх* +

у (х*.) =

0,

(3-80)

решение

которого

л____ — [*' (4s) +

у ’ К ,) ] — V [x'"(ks ) + y '( 4 s ) V — 2 y '!(4s)y(4s)

к ~

У "

( 4 s )

(3-8 П

Фазовый

сдвиг

между

экстремумами s ( t ) и Л ( т ) ,

Чгя= ОДть,

распределение

стационарных

точек

тАХ=

= ( ф +

где фй — фазовый сдвиг fe-ro экстремума

5(Т).

Если

- -

-7г а,7т~ -\

У

-5» 10,

то Wft малы

и с

погреш-

г У

Vxk si

ностью не более

5

°/о

Д%— — У Ыв) [x' (xfts) +

у' (xfte)]- 1.

(3-82)

ми cti, Ci, i = 0, 2, при

которых Лт;4= 0 .

Из

выражения

(3-82) получим:

аг (а2— а„)<х2

Г а, (а2— а0) asS (xhs) R (%hs)

S " (%s)

= 0.

N N s )

[

N 3 N s )

S 2 (% s)

(3-83)

Условие (3-83) является условием отсутствия фазо­

вого сдвига.

имеют один порядок

Так как функции N(xi<b) и R (ть)

роста, то, учитывая, что S"(t/!S)=^0,

а%Фай и а^ О , мож­

но

заключить, что условие

(3-83)

выполняется

только

в

трех

случаях:

1)

N{%ks) — oo-,

2)

N(Xks)=0;

3)

5"(tfes) =

± o o . Дополнительное

исследование

произ­

водной функции 4fk(N)=&Xk(N)Q показало,

что в зави­

симости от параметров

(3-82) ЧД(У) может

иметь или

физический

смысл:

1 ) т а 5 —

о о ;

2 ) Q— Я);

3 )

b— м х > ;

4) Ьо— >-оо.

Условие

У(Тй8) = 0

определяет

связь

мас­

штабных коэффициентов а\,

параметров сг- и коэффициен­

тов Ь, Ь0, сро-

Решение этого уравнения дает:

(5 0Tfes +

Д, cos f

— 0,5Д2sin 2<?0)=

я,я2

ln (во + «і)(«2— л0) ’

(3-84)

ln — —— , а. — а0 > 0,

аг —й0

2

’

где Xks определяется из

уравнения

(3-78),

Условие

S"(tfts) =

±oo приводит к следующим случаям:

1)

Q— *■

— уоо\ 2)

b— уоо) 3)

Ьа— у°о', 4)

щ— >±°°; 5)

Сг— >-±оо.

Таким

образом,

алгоритм

определения экстремумов

Л(т) в переходном

режиме следующий: по формуле

(3-78) определяют стационарные точки

Tas

для

S(x),

Пример 3-8. Для миниа­

.

2

тюрных триодов зависимости

Л и ' 7

интенсивностей

внезапных

'

7

>

<

отказов

и

интенсивностей

/ /

j

ухудшения

коэффициента

? /

/

/

- —

/ \

усиления от годового измене­

Ч

/

/

\

ния температуры

характери-

2Ч

І '

/

V

зуют следующие коэффици--

1

- — —

енты і[Л.

44]:

сй= 1,08;

Сі=

= 1,55* 10-2

град-*,

cz=

о

о,г

о,ч-

r

==0,95-10~3 град~2, 0 =

7,16,

bb<rl— 0,2.

Ориентировочно

Рис. 3-2.

График

зависимости

йо ~ 0,2,

ß i= l,

ö2—2.

Рас­

нормированной

интенсивности

смотрим

основные характе­

отказов

от

времени

при <f0=

ристики

интенсивности

от­

я

5

4

казов триодов в зависимости

Т ( 0 ;

Q п (•2);

з

71 (5);

от

параметров

изменения

и

температуры. Для наглядно­

-q- k (4)-

сти используем графический

анализ.

На рис. 3-2 показаны за­

висимости интенсивности от­

казов триодов от нормиро­

ванного времени,

ѵ ='10~4ч~К

Параметром семейства

кри-

7

вых является начальная фа­

за

температуры — момент

начала эксплуатации. Кри­

вая 1 соответствует <р0і= я/3;

Рис. 3-3. Графики зависимости

кривая 2 —■фо2= '(5/6) я;

кри­

ЧЛ

(/)

и Літ-Ѵ“ 1 (2)

от фо.

вая

3 — срез— (4/3) я; кривая

4 —

фо4= (Н /6)л. Пунктирные кривые характеризуют ма­

ксимальное,

среднее и минимальное значения интенсивно-

ности. На рис. 3-3 показаны зависимости Л](т,А) ѵ /

и

Ф, от

90(Q = 7,16;

=Т),2).'Г Значение

первого

максимума