книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

математическое ожидание ЭР за время t определяется следующим образом:

на/ но ожидаемыми расходами для 5г-. С учетом этого

Ѵ'г (/) — сг- -+- £

і=о

ет матрицу Т предельных вероятностей с сомножителем S-1 — элементы і-й строки этой матрицы являются пре­ дельными вероятностями процесса, если он начинается из состояния S i , и матрицу L(s) переходных составляю­

щих, т. е. ( s E — Л ) - 1 = 5 - 1 Г + L ( s).

Следовательно, ■

V ( s ) = s - is - 'T + L(s)]c+[s-'T+L(s)]V( 0).

+ТѴ(0), где постоянная составляющая ЭР G= L(0)c+

+ТѴ(0), а УЭР С — Тс. С учетом этого

Дифференцируя это уравнение по времени с учетом дифференциальных уравнений для ЭР, получим

i=o i=o

1 6 0

Так как это уравнение должно быть справедливо для состояния статистического равновесия (при /— мх>), то сомножитель при t должен быть равен нулю и уравнение для УЭР распадается на два

один эргодический класс, поэтому Ci~Cj = C (математи­ ческое ожидание УЭР не зависит от того, из какого со­ стояния устройство начали эксплуатировать).

Следовательно, второе уравнение является тождест­ ву-і

вом, так как уравнение ][] а ^ ~ 0 отражает фундамен-

/=о

тальное свойство матрицы интенсивностей переходов.

г=о

Уравнение (4-55) и лежит- в-основе итерационного алгоритма отыскания оптимальных решений. Итерацион­ ный цикл состоит из двух операций: определение весов (OB) gj из решения системы (4-55) при ^ _ , = 0 и улуч­ шения решения (УР), которое заключается в использо­ вании полученных весов gj предыдущего решения для нахождения стратегии eff*, минимизирующей УЭР:

Новое вектор-решение ./) будет найдено, когда про­ цедура УР будет выполнена для всех состояний. Если новое вектор-решение' совпадает с предыдущим, итера­ ционный процесс сошелся и оптимальное решение найде­ но, в противном случае опять возвращаются к операции OB. Если старое решение в состоянии Si приводит к оди­ наковым УЭР с какой-либо другой стратегией, необхо­ димо оставить старое решение —это обеспечивает сходи­ мость итерационного процесса при наличии эквивалент­ ных решений.

Как и другие методы линейного и динамического про­ граммирования, итерационный метод справедлив только для режима статистического равновесия. Если необходи­ мо оптимизировать ТО на конечном интервале времени (когда режим статистического равновесия еще не успе­ вает установиться), применяют аппроксимацию марков­ ского процесса цепью с последующим использованием рекуррентного метода [Л. 51]. Однако это существенно усложняет вычислительную процедуру.

По сравнению с другими методами линейного про­ граммирования итерационный метод является более гиб­ ким (структура расходов учитывается более дифферен­ цированно), он легко программируется, позволяет суще­ ственно сократить объем вычислений и затраты машин­ ного времени при отыскании оптимальных решений.

4-8. Применение итерационного алгоритма

Применяя итерационный алгоритм, по известным ац и гц найдем оптимальное ТО отдельного блока радиоэлек­ тронной системы, например приемника РЛС [Л. 15]. Используем модель примера 4-6, в которой для упроще­ ния объединим состояния S 2 и S3. Для удобства вычис­ лений выберем единицу времени, равную 10 ч.

Матрицы Іаі}] и jгц] имеют вид:

Рассуждая так же, как и в примере 4-6, определим стратегии обслуживающего персонала для каждого со­ стояния приемника.

Если приемник находится в состоянии So, обслужи­ вающий персонал считает целесообразным лишь KP (rfoi). Следовательно, ѵо=1. Предположим, что стоимость рас­ ходов на KP 1 руб. в единицу времени, а остальные рас­

162

ходы для этого состояния несущественны. Тогда пара­ метры этой стратегии

Овд——0,11; Гоо=—Г; ßoi=0,l; л>і —0;

ßo2= 0,01; г02-—0.

Если приемник попал в состояние Si, то обслуживаю­ щий персонал может выбрать четыре стратегии (ѵі=4):

du KP ö i o = 0 , гю = 0, а и = —0,11, г и = — 1,

ßi2=0,ll, Гі2=0;

du KP и РГ ßio=30, п о = —0,1, 0ц = —30,0767,

г ц = —1, аі2=0,0767, гі2=0;

di3 KP и ПО аю—0, гю = 0, а ц = —0,10,

ги ——1, 012=0,10, г12=0;

du KP, РГ и ПО #ю=30, п о = —0,1,

йц = —30,0725, Гц= —1, ßi2=0,0725, гі2=0.

Если приемник находится в S2, обслуживающий пер­ сонал располагает двумя стратегиями (ѵ2= 2 ):

dzi. Проведение АР и ПО своими силами, тогда

#2о=15,83; г2о=—1,9; #2і=3,33, г2і = —3,

«22=—19,16, r22= —2,5;

d2- Приглашение специальной бригады для АР и ПО, тогда

#20 = 29,17, г20= 1,4, ß2i= 6,67, г2і= —2,

«22=—35,84, г22= —1,75.

Сведем исходные данные задачи в табл. 4-3. Для со­ кращения записи стратегии будем различать по второму индексу в du.

В качестве исходного решения выберем то, которое минимизирует непосредственно ожидаемые расходы:

Уравнения для OB

C = - l _ 0 , l l £ o + 0,10gi + 0,01g2;

С= —1—0,11 g-1 + 0,1

С= —42,5 +15,83 go+ 3,33 g!—19,16 g2,

при g2= 0 имеют решение gfo~ 2,35, g i= 1,231, g2=0, C = —1,1354.

Выполним операцию УР:

doi С = —1—0,11 -2,35+0,1 • 1,231 = —1,1354*;

du С = — 1—0,11 • 1,231=—1,1354;

di2 С = —4 + 30 • 2,35—30,0767 -1,231 =29,4;

diз С= —1+0,11 • 1,231=—1,1354;

du С = —4+ 30-2,35—30,0725-1,231=29,46*;

d2i С= —42,5+15,83-2,35+3,33- 1,231=—1,2;

d22 С = —55,9+29,17-2,35 + 6,67-1,231=21,02*.

Лучшее решение заключается в выборе dm, du и d^. Эти стратегии отмечены звездочками. Оказалось, что использование специальной бригады для АР и ПО, а так­

же проведение периодических РГ и ПО приводят к мень­ шим УЭР.

164

^22

операцию OB, получим go= 1,548; gi= 1,445; g2=0; C= = —1,026. Как и следовало ожидать, УЭР теперь мень­ ше. Попробуем еще раз улучшить решение. Процедура УР приводит к прежнему результату, следовательно,

Оптимальное решение найдено всего за две итерации. Так как применение простого перебора потребовало бы

выигрыш существенно увеличивается.

Оценим влияние оптимизации ТО на качество функ­

тѵ= 0,89774; о%= (4,59-10-2)2.

Сравнение полученных величин показывает, что опти­ мизация ТО приемника в среднем увеличивает готов­ ность на 0,107%, математическое ожидание чувствитель­ ности на 6,37%, уменьшает УЭР на 9,64%, а среднеквад­ ратическое значение чувствительности — на 37,7%.

Экономия АС на УЭР за время 7’: Д С = (С —Смин)7\ Например, за год АС^О,01094-8750 —95 руб (год-изде­ лие)-1.

В рассмотренном примере не учитывались потери, обусловленные отказами приемника (го2— гі2—0) . Если РЛС является звеном в системе управления воздушным

165

движением, то, очевидно, отказы станции или снижение чувствительности приемника могут нанести значительный материальный и моральный ущерб из-за нарушения без­ опасности полетов, перерасхода горючего самолетами, находящимися в зоне управления, и т. п. При оптими­ зации обслуживания радиооборудования самолетов же­ лательно учитывать экономические потери, обусловлен­ ные нарушением регулярности полетов и простоем самолетов из-за AP, KP и ПО. Поэтому в общем случае

г02фО и гафО.

Пример применения итерационного алгоритма на­ глядно иллюстрирует его возможности при решении тех­ нико-экономических задач ТО. Оптимальные решения для отдельных блоков сложной системы являются осно­ вой общей схемы оптимального ТО системы в целом, по этим данным рассчитывают оптимальные ТЭХ системы.

4-9. Особенности оптимизации технического обслуживания изделий, эксплуатируемых в нестационарных режимах

Особенности оптимизации обусловлены тем, что интенсивность отказов изделий, эксплуатируемых в не­ стационарных режимах, является немонотонной ограни­ ченной или неограниченной возрастающей функцией вре­ мени. Развивая терминологию [Л. 18], распределение с такими интенсивностями отказов будем называть соот­ ветственно ОНВФИили НВФИ-распределениями. Из-за такого поведения интенсивности отказов оптимальные ТЭХ ТО не являются постоянными, а зависят от момента проведения предыдущего ТО, частоты и амплитуды из­ менения параметров режимов. Тем не менее, рассмотрен­ ные в предыдущих параграфах методы с небольшими

изменениями применимы для оптимизации ТО и в этом более общем случае.

В этом параграфе мы докажем теоремы о существо­ вании оптимального ПО для изделий, эксплуатируемых в нестационарных режимах; рассмотрим особенности алгоритма отыскания Топт! приведем пример оптимиза­ ции ПЗ транзисторов и кратко остановимся на особенно­

стях применения методов линейного и динамического программирования.

І66

то на интервале (0, <х>) решение уравнения (4-26) суще­ ствует.

Ср(Ср— С п ) —

Аналогичную теорему можно доказать и для НВФИраспределения, отличие в том, что в неравенстве (4-57) справа стоит оо.

Теорема 4-7. Если F(t) есть ОНВФИ-распределение с интенсивностью (3-76) и

то на интервале (0, оо) решение уравнения (4-37) суще­ ствует.

Доказательство. Как и в § 4-4, доказательство про­ ведем, исследуя предельное поведение функции Lt (т).

П р и т —>-0, А,(т)—>0. Определение 1ітА,(т) требует до-

Т->00

полнительного исследования. Вспомогательная функция

ф /т\ _ еА (^ПТ яп+ дч g-(40+a.) 8(т)

Вынесем за квадратную скобку экспоненциальную функцию, показатель которой равен мин[(ао+аі), а2]. Например если а0+ й і> а 2, то

я. 1

аг—«о —Ф J *

167

При т— >ооѲ, (t)— >-00, поэтому

s (t)t—Ѳ(т) = ( B l sin Qt + B 2 cos Qt)t+

+ BiQ-1 (cos fit—1) —0,5B2Q_1 sin 2Qt

при больших т ведет себя как периодическая с линейно­ возрастающей амплитудой.. Обозначая периодическую функцию при т через ^ (т ), для больших значений т по­ лучим:

периодической с амплитудой, стремящейся к бесконеч­ ности. Ясно, что с ростом т функция L ( t ) пересечет уро­ вень спс-1р, что и требовалось доказать.

Таким образом, в установившемся режиме как для элементов, так и для устройств, эксплуатируемых в не­ стационарных режимах, оптимальное ПО существует. Функции L ( t ) и L i (t ) являются периодическими, их пе­ риод определяют периоды изменения параметров режи­ мов. При оптимизации ПЗ элементов необходимо учиты­ вать ограниченность амплитуды Ві(т).

оптимизации заключается теперь в том, чтобы найти не­ сколько первых пересечений L(t) или Li(t) уровня Ср(ср—Сп)-1 (или СпСр-1)- Одно из них, чаще всего первое, и будет определять т 0пт. Идея ее решения очевидна—• вначале необходимо найти интервал времени J, в кото­ ром лежит искомое пересечение, а затем уже искать абсциссу пересечения.

Особенности алгоритма вычисления т0ПТ покажем на определении оптимальной периодичности ПЗ элементов.

168

Искать будем абсциссу первого пересечения L(т) уровня

Ср(Ср Си)

Для определения У будем последовательно сравни­ вать максимумы Ь{т) с уровнем сѵ(сѵ—Сц)'1. Пересече­ ние лежит в интервале, для которого Lh<cP(cv—сП)~1г£^

еще более узкий промежуток Дт= Тмакс—Тмин, в котором У /(т)>0. Удобно в качестве Тмаке выбрать абсциссу мак­

определения тМин<т0пт^^макс без изменений справедли­ во итерационное соотношение (4-32).

Значение to начала итерационного процесса опреде­ лим из подобия прямоугольных треугольников АВС и

DEC (рис. 4-5): DE(AB)~l = CE(CB)-1. Отсюда

Умаке (Ср Гп) 1] (тманС "-мин)

(4-59)

Где У-макс —L k + 1 , Емхш —У-^мин-

В большинстве случаев даже то является неплохой оценкой для ТоптБолее точные оценки можно получить

169