книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

распределений, в которую гамма-распределение с пара­ метром k входит с вероятностью пц. На рис. 2-5 даны графики интенсивности Wr{x) рандомизированного обслуживания при тех же распределениях числа опера­ ций.

Путем предельного перехода нетрудно убедиться, что

т->0

а lim Wr (т) — 'n.fi.j (1) - f я2р2(2) =2,5% - К

т-*со

Итак, в данном параграфе рассмотрены три основных типа моделей технического обслуживания устройств, по-

40

ляются случайными величинами. С учетом этих факто­ ров можно построить более общие модели следующих приближений. Некоторые из них рассматриваются в § 3-7.

Описанные математические модели могут быть полез­ ны при приближенном анализе вероятностных характе­ ристик различных видов технического обслуживания устройств. Первую модель целесообразно применять для оценки характеристик продолжительности технического обслуживания при составлении графиков профилакти­ ческих и регламентных работ, вторую — для оценки влияния обслуживания на величину определяющих пара­ метров устройств, третью — для более точного вычисле­ ния вероятностных характеристик технического обслужи­ вания с учетом случайной вариации числа операций.

2-4. Качество обслуживаемых устройств

При исследовании качества обслуживаемых систем требуется определить: структуру системы и взаимодей­ ствие ее элементов, режим использования, состояние, ко­ торое является отказом системы, процесс возникновения отказов, различные процессы технического обслуживания аппаратуры (восстановление работоспособности после отказов, профилактические работы и т. п.).

Рассмотрение структуры системы позволяет выделить совокупность независимых выходных и обобщенных па­ раметров, которые позволяют с известной точностью оце­ нить качество.

Режим использования аппаратуры во многом опреде­ ляет ее надежность, структуру и организацию различных видов технического обслуживания. Предположим, что для выполнения задания система может быть включена

влюбой случайный момент времени и время оператив­ ной работы является произвольно распределенной слу­ чайной величиной. Например, такая модель соответству­ ет реальному режиму использования электронных систем

вгражданской авиации. Учтем, что за время неиспользо­ вания характеристики качества систем также могут ухудшаться.

Четкое определение состояния отказа позволяет одно­ значно оценить характеристики качества. Предположим, что отказ системы наступает, когда любой из выходных

41

параметров принимает значение ниже критического, на­ зываемого обычно уровнем отказа. Критические значения выходных параметров известны из технических условий для исследуемой системы. Например, в технической до­ кументации радиолокационной станции, как правило, указывают минимальные значения чувствительности при­ емника, мощности передатчика и других выходных пара­ метров.

Возникновение отказов описывается различными ве­ роятностными законами. Ранее показано, что простейшая с математической точки зрения гипотеза об экспонен­ циальном распределении времени безотказной работы справедлива только для некоторых, довольно редких про­ цессов возникновения отказов. Сложный характер отка­ зов комплексного электронного оборудования, при эксплуатации которого наблюдаются износ и старение, нельзя отразить с помощью простых вероятностных мо­ делей.

Не накладывая особых ограничений на вид интенсив­ ности взаимосвязанного появления внезапных и посте­ пенных отказов, предположим, что эта функция является монотонной и распределение времени безотказной рабо­ ты относится к классу ОПР.

Процессы технического обслуживания аппаратуры описывают различные вероятностные законы, определяе­ мые числом и последовательностью проведения опера­ ций.

Предположим, что наиболее общая вероятностная характеристика — интенсивность обслуживания — явля­ ется монотонной функцией времени, следовательно, за­ кон распределения времени обслуживания может быть любым из известных.

С учетом принятых довольно общих гипотез граф обслуживаемого устройства имеет вид рис. 2-6. Новые обозначения на графе:

%і — интенсивность вывода устройства в режим не­ использования из Sf-ro состояния; р — параметр гаммараспределения продолжительности неиспользования устройства. Второй параметр в этом гамма-распределе­ нии определяется методом моментов по известным харак­ теристикам эмпирического распределения.

Динамика исследуемого процесса описывается систе­ мой дифференциальных уравнений относительно вероят­ ностей состояний

42

Р'о (0 — — (4) + тіо 4" хо) Po (0 4~ pPN+[-i (0 4"

~Ь ^ Р ДГ ! W 4" !хтР71+т-і (0>

Р \ {t) = - (А, 4 - -Чх + «, + V.) Р , (0 + \ Р а (t) +

4* рР'м+1- 1 + fcfePjv-! (О 4~ Ѵ-тРn+m-i (0>

Р^' ( 0 ~ — Ui 4~ It4" Иі4-Ѵі')Рi (0 4_1lt-iP*-i(0 4~ + pP'N+i—l (0 + ^Рдт_і (0 +

”1 V*mPnfm - 1(4>

P’n-i (0 = — ( 4 - i 4 7!n-i4~xn -i4 v«-i) Pn-i (t) -)- 4~ 1n-äPn-2 (0 4* pPjv+г-і (0 4" ^b-PN- 1(0 4-

4-^mPn+m-, (^)i rt—1

P'n W = — ^iPn (0 4- S *гР* (0 4- Tin -Л -, (0;

43

Трудности решения систем дифференциальных урав­ нений высокого порядка известны. Однако они вполне преодолимы с помощью электронных вычислительных машин. Для грубых оценок характеристик процесса мож­ но использовать системы (2-52) более низкого порядка, вводя более жесткие ограничения на отдельные парамет­ ры и упрощая вероятностную схему. Например, можно учитывать только два работоспособных состояния устройства — две градации качества, можно полагать,

Рис. 2-6. Граф обслуживаемого изделия.

что продолжительности профилактического обслужива­ ния, восстановления работоспособности, неиспользова­ ния имеют гамма-распределения с параметрами k = m —

=1=2.

Вто же время в ряде задач целесообразно идти на повышение порядка системы (2-52), чтобы более точно исследовать структуру процесса. Например, иногда це­

44

Как видим из рис. 2-6, граф, отражающий структуру процесса, является связным, а сам процесс — транзитив­ ным ,[Л. 37], поэтому одно характеристическое число ма­ трицы интенсивностей переходов равно нулю, а все остальные характеристические числа — отрицательны. Следовательно, ряд (2-53) включает постоянную состав­ ляющую са и переходные составляющие, убывающие с течением времени.

Благоприятным обстоятельством в исследованиях ка­ чества обслуживаемых систем является то, что в боль­ шинстве случаев нас интересует лишь установившийся режим процесса — состояние статистического равновесия, которое устанавливается довольно быстро через некото­ рое время переходного процесса, определяемое величи­ ной интенсивностей переходов. В этом режиме вероятно­ сти пребывания устройства в различных состояниях определяют постоянные составляющие ряда (2-53), кото­ рые называют предельными или финальными вероятно­ стями. Их и используют для оценки качества.

Коэффициент готовности Кг обслуживаемого устрой­ ства, коэффициент простоя на восстановлении Кв, коэф­ фициент простоя на профилактике Кп, коэффициент использования Д'и находят из соотношений

Как и ранее, закон распределения выходного пара­ метра устройства определяют приближенно по его мо­ ментам с помощью разложения в ряд Грама — Шарлье [см. (2-2)]. В некоторых задачах можно ограничиться вы­ числением математического ожидания и дисперсии вы­ ходного параметра

п - І N + l - V

45

Пример 2-4. Рассмотрим особенности оценки качества обслуживаемого устройства, используемого в случайные периоды времени. Предположим, что время восстановле­ ния, продолжительность профилактического обслужива­ ния и продолжительность использования имеют гаммараспределения с параметрами m = k — l= 2.

Для определения предельных вероятностей сі0— обо­ значим их для краткости Р,- — необходимо решить систе­ му из восьми алгебраических уравнений

Воспользуемся полученным решением и графическим анализом для изучения зависимостей характеристик на­ дежности обслуживаемого устройства от отдельных па­ раметров процесса. Для упрощения анализа, примем не

■46

тического обслуживания приводит к незначительному вы­ игрышу в увеличении коэффициента готовности. Измене­ ние интенсивности ц ухудшения параметра и интенсив­ ности ■%внезапных отказов характер зависимостей Кт от £р_1 не изменяет, однако с ростом а= г|+ Л падает асимп­ тотическое значение Кт-

4 7

N- вится незначительным (кри­ вая 1 построена при |ц -1 = 2,

вода на профилактическое обслуживание незначительно сказывается на изменении Кп- Рассмотренные зависимос­ ти также подтверждают вывод о том, что ѵсг1 должно быть равно 2—4. Абсолютное увеличение а = г]- К с к а з ы ­ вается только на увеличении значения Кп-

48

На рис. 2-10 даны графики для коэффициента про­ стоя устройства на восстановлении Кв. Кривая 1 пост­ роена при ѵа~1= 1,2, кривая 2 — при ѵа- 1= 4 . Они пока­ зывают, что Кв незначительно увеличивается при £ц-1> >0,4. Абсолютное значение Къ тем больше, чем меньше ѵа-1. При £и- 1>0,4 величина Кв в основном определяет­ ся отношением ѵа-1.

Рассмотренный пример и графический анализ показы­ вают, что, учитывая специфику и структуру решаемых систем алгебраических уравнений, можно относительно просто исследовать довольно сложные вероятностные мо­ дели функционирования обслуживаемых устройств даже в тех случаях, когда системы (2-52) имеют сравнительно высокий порядок.

Описанная вероятностная модель позволяет без вся­ ких усложнений учитывать и перемежающиеся отказы обслуживаемых устройств. Для этого необходимо лишь ввести интенсивности обратных переходов марковской

системы по цепи состояний S n, So, S n, тогда циркуляция

марковской системы по кольцу S n, So, Sn в прямом и обратном направлениях будет отражать изменение вы­ ходного параметра устройства при перемежающихся от­ казах.

По найденным характеристикам качества обслужи­ ваемых устройств, входящих в систему, определяют ее характеристики качества. Коэффициент готовности обслуживаемой системы, в которой не применяется ре­ зервирование устройств [Л. 3]:

ГЛ - 1

профилактике и на восстановлении системы определяют с помощью ранее найденных коэффициентов для устройств с учетом организации ремонта и профилакти­ ческого обслуживания.

Законы распределения, а в простейшем случае число­ вые характеристики обобщенных параметров обслужи­ ваемой системы определяют, используя уравнения связи (1-2) обобщенных параметров системы с выходными па­ раметрами устройств.