книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

ных режимов технического обслуживания). Построение номограмм для прогноза оптимального технического обслуживания позволяет обслуживающему персоналу по минимальному числу простейших эксплуатационных данных без всяких трудоемких и сложных расче­ тов выбирать оптимальные стратегии технического обслуживания.

7.При наличии определенных исходных данных для оптимиза­ ции синтеза проектируемых изделий, поведение которых описывается марковскими моделями, может успешно применяться и итерационный. метод динамического программирования (см. § 4-7, 4-8, 6-7). Итера­ ционный цикл легко программируется и приводит к несложным вы­ числениям относительно небольшого объема, поэтому отыскание оптимальных решений не требует больших затрат машинного време­ ни. Важными преимуществами этого метода являются использование большого числа управляемых переменных, что обеспечивает высокую гибкость аппроксимаций реальных процессов, и дифференцированный учет отдельных составляющих приведенных годовых расходов.

8.При расчете экономического эффекта и экономической эффек­ тивности мероприятий по оптимизации качества проектируемых изде­ лий желательно учитывать различие в сроках осуществления отдель­ ных видов капитальных затрат и эксплуатационных расходов. По­ лученное с помощью формулы сложных процентов аналитическое выражение (6-67) для экономического эффекта позволяет учесть этот фактор времени.

Глава седьмая

ПОЛУЧЕНИЕ И ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ, НЕОБХОДИМОЙ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

7-1. Особенности получения и обработки исходной статистической информации

Ранее мы уже отмечали, что в задачах оптимизации качества электронных систем целесообразно использовать такие форму и со­ держание исходных статистических данных, чтобы обеспечивались простота и малая трудоемкость получения информации, имелась воз­ можность применять несложные вероятностные методы ее обработки, соблюдалась требуемая точность результатов расчетов.

.При анализе и оптимизации качества электронных систем, экс-, плуатируемых в стационарных и нестационарных режимах, мы при­ меняли марковские однородные и неоднородные модели реальных процессов. Поэтому исходными статистическими данными являются порядковые статистики, определяющие законы распределения време­ ни марковской системы в том или ином состоянии; например, време­ ни ухудшения определяющего параметра на величину кванта, вре­ мени работы изделия до появления внезапного отказа, времени про­ ведения АР, ПО или других видов ТО и т. п. Оценки параметров математических моделей анализа и оптимизации, по сути дела, сво­

230

дятся к оценке параметров этих законов. Следовательно, для оценки параметров применяемых моделей можно использовать все известные методы математической статистики: метод максимального правдопо­ добия, метод моментов, метод квантилей и комбинированные методы

[Л. 88].

При использовании марковских однородных моделей исходными данными анализа служат статистические оценки постоянных во вре­ мени интенсивностей переходов — интенсивностей ухудшения пара­ метров, интенсивностей внезапных отказов, интбнсивностей проведе­ ния операций АР или ПО, интенсивностей вывода устройств на про­ филактику или в режим неиспользования и др. Эти оценки опреде­ ляют по случайным интервалам времени пребывания изделий в раз­ личных состояниях. Например, статистическую оценку интенсивности ухудшения определяющего параметра изделия находят по случайной продолжительности пребывания этого параметра в рассматриваемом интервале квантования, статистическую оценку интенсивности прове­ дения выбранной операции ТО определяют по случайной продолжи­ тельности этой операции и т. п. Задачи оценки интенсивностей мар­ ковских однородных моделей, в которых используют хорошо разра­ ботанные методы математической статистики, рассмотрены в § 7-2.

Все необходимые статистические данные для оценки интенсив­ ностей марковских моделей известны, как правило, только при спе­ циально организованных испытаниях. В условиях эксплуатации, а тем более проектирования, часть необходимых данных может быть известна неточно или полностью отсутствовать. В этом случае гово­ рят, что задачи статистической оценки законов распределений и па­ раметров решаются в условиях частичной или полной неопределен­ ности. В § 7-3 решена задача оценки параметров математических моделей для случая неполной определенности, когда часть необходи­ мых исходных статистических данных отсутствует.

Чтобы рассчитать и оптимизировать качество проектируемых изделий, необходимо располагать априорными данными об интенсив­ ностях ухудшения параметров, интенсивностях внезапных отказов и интенсивностях различных видов ТО. Задача вероятностного опреде­ ления этих интенсивностей, рассматриваемая в § 7-4, представляет типичную задачу анализа интенсивностей пересечения случайным процессом фиксированных детерминированных или случайных уров­ ней, а в более общем случае — задачу определения интенсивностей пересечения двух случайных процессов.

7-2. Оценка параметров математических моделей в условиях полной определенности

В этом параграфе мы рассмотрим особенности получения стати­ стических оценок интересующих нас интенсивностей применительно к эксплуатируемым устройствам в условиях полной определенности, когда необходимые порядковые статистики известны и план испыта­ ний регламентирован. Более общий случай будет рассмотрен в § 7-3.

Получаемые статистические оценки всегда содержат элемент случайности из-за того, что при эксплуатации устройств обычно располагают ограниченными объемами выборок. Эта случайность не­

231

рить все эти требования на практике невозможно из-за сложности точных формул и вычислений.

В любой момент времени эксплуатации устройство может нахо­ диться в одном из следующих различных состояний: оперативная работа, неиспользование (хранение, транспортировка), профилакти­ ческое обслуживание, восстановление и т. п. По сути дела, процесс эксплуатации — последовательное чередование во времени этих со­ стояний.

При марковской однородной аппроксимации время пребывания устройств в каждом состоянии представляют в виде суммы незави­ симых случайных величин, которые имеют различные экспоненциаль­ ные распределения. Например, время восстановления работоспособ­ ности устройства после отказа может быть распределено по любому закону: закону Эрланга, нормальному или логарифмически-нормаль- ному, закону Релея и др., однако при марковской однородной аппро­ ксимации восстановление рассматривают как последовательность ■отдельных операций, продолжительности которых экспоненциально распределены. Желательно, чтобы такое разделение на отдельные ■операции соответствовало бы в какой-то мере реальной структуре процесса, но в общем это не обязательно — можно рассматривать и фиктивные операции (метод этапов Эрланга, метод вложенных цепей Жэндалла, метод дополнительных событий, метод промежуточных фазовых состояний и т. п.), подбирая их число и характеристики так, чтобы наиболее точно отразить эмпирический закон распределе­ ния времени восстановления. Ранее было показано, что с помощью марковской однородной аппроксимации и рандомизации можно сфор­ мировать любое распределение с монотонной условной плотностью.

Следовательно, в конечном итоге проблема статистического ана­ лиза при предлагаемом методе марковской однородной аппроксима­ ции сводится к проблеме оценки параметров различных экспонен­ циальных законов. Последняя проблема уже разрешена — в настоя­ щее время существует большое число различных методов точечных

.и интервальных оценок параметра экспоненциального закона при различных планах проведения испытаний и экспериментов [Л. 3, 86].

Не останавливаясь на известных деталях, рассмотрим особенно­ сти статистической точечной и интервальной оценки исходных интен­ сивностей. Преимущества и недостатки методов точечной и интер­ вальной оценки известны [Л. 3]. Наиболее целесообразно комбиниро­ ванное применение этих методов. Так как различные методы точеч­ ной оценки — метод максимального правдоподобия, метод моментов, метод квантилей и др. — приводят к незначительно отличающимся процедурам при оценке параметра экспоненциального закона, оста­ новимся на методе максимального правдоподобия, использование которого дает асимптотически эффективные и состоятельные оценки.

Для определенности предположим, что оценивается параметр £ экспоненциального распределения продолжительности і-й операции профилактического обслуживания. Профилактика проводилась на Л'и устройствах и на /-м устройстве і-я операция встречалась г, раз.

Рассмотрим вариационный ряд из г — г,- наблюдений, давших

/=і

результаты tlt tr, по которым требуется оценить £.

■232

Несмещенная оценка максимального правдоподобия (Л. 3]

г — 1

ЛГнІ

k=\

с помощью доверительных интервалов и доверительных вероятностей. Введем нормированное гамма-распределение

г,Т~1 g (г) == Г (г)

где z — \ Т , а Г = J Is. С увеличением г плотность вероятности fc=i

этого распределения приближается к плотности вероятностей норми­ рованного нормального распределения.

Так как г линейно зависит от Т, вероятность выполнения нера­ венств

Zi < 2 s£ z2 и

В зависимости от объема выборки для определения доверитель­ ных границ на практике обычно используют доверительные вероятно­ сти ѵ= 0,9н-0,99. Наиболее часто применяют 7=0,9 и у=0,95. В пер­ вом случае при симметричных значениях доверительных вероятностей Yi=0,95, а 72=0,05. Значения z { и z2 определяют по таблицам непол­ ных гамма-функций [Л. 48] с учетом того, что Г(г, г{)+у(г, Zi) = l.

Найденные значения Z\ и z2 используют для получения довери­ тельных интервалов для

2,

В инженерной практике доверительные границы Zi и 2 , удобнее всего приближенно определять с помощью номограммы для непол­ ной гамма-функция Г (г, г) [Л. 47], которая представлена на рис. 7-1.

Правило пользования номограммой следующее. По известной величине г определяют кривую номограммы, построенную при г—.1. Абсциссы точек пересечения этой кривой прямых y=yi, y=yz и определяют искомые Z\ и z2. Если для каких-либо г—1 кривые отсут­ ствуют, значения Zi и z2 определяют приближенно методом линейной интерполяции.

Рассмотренная процедура получения точечных и интервальных оценок применима во всех случаях оценки постоянных интенсивно­ стей проведения реальных операций технического обслуживания. Отыскание аналогичных оценок интенсивностей ухудшения выходно­ го параметра и интенсивностей внезапных отказов имеет ряд особен­ ностей, на которых мы сейчас и остановимся.

При взаимосвязанном появлении внезапных и постепенных отка­ зов необходимо учитывать долю тех и других, а также количество элементов, выбывших из испытаний из-за внезапных отказов, если замена отказавших элементов не производится. Поэтому в точечных и интервальных оценках интенсивностей ухудшения параметров и интенсивностей внезапных отказов фигурируют коэффициенты, учи­ тывающие особенности плана испытаний.

(fj — 1) rt

S hk (Nn—Щ)

k = \

где mi — число ранее внезапно отказавших элементов; i ik — время ухудшения параметра на величину і-то интервала квантования для k-È реализации процесса; г, — общее число пересечений выходной случайной функцией і+1 уровня квантования при постепенном ухуд­ шении параметров.

Несмещенная точечная оценка максимального правдоподобия для интенсивности внезапных отказов устройств из і-го состояния

г'і ( Л - 1 )

(7-7)

гі

S t'ihWv—ІПі)

234

16*

Дисперсии и вариации оценок максимального правдоподобия для рассматриваемых интенсивностей по-прежнему находят по формулам

Пример 7-1. Предположим, что на надежность испытывается пар­ тия приемно-усилительных ламп из Na= 20 шт. Выходным парамет­ ром служит крутизна X характеристики. Лампы работоспособны, если Х > х кѵ=0,5хт (хт — максимальное среднее значение крутизны характеристик для всей партии в начальный момент времени). До­ пустим, что учитывались две градации качества функционирования ламп: Х>0,7хт и 0,5xm<2f^;0,7xm. Имеются следующие результаты испытаний:

Го =14, г'0=6, т 0=0, Гі=9, г',=5, т і = 6,

Воспользуемся формулами (7-1)— (7-3) и получим оценки ма­ ксимального правдоподобия и их вариации

236

Выберем достоверность у=0,9 и доверительные вероятности уі = =0,95, у2=0,05. Используем номограмму рис. 7-1 для получения интервальных оценок для интенсивностей. Получим:

0,573- 10-3^ П о ^ 1 ,27Юг3;

0,928- 10-3s£Aos:0,375- 10“ 3;

0,351 • 10-3sgrii:=Sl,06- ІО-3;

0,247 -10-3^Х і^і1,17 - ІО“ 3.

Как показывает пример, задача статистической оценки исходных интенсивностей сводится к определению соответствующих продолжи­ тельностей пребывания эксплуатируемых устройств (или элементов) в определенных состояниях и подсчета общего числа таких пребыва­ ний для каждого состояния. Следовательно, для получения исходной статистической информации целесообразно применять следующую простую форму, позволяющую с малой трудоемкостью вычислять искомые оценки табл. 7-1.

Таблица 7-1

Интересно заметить, что эта форма практически не зависит от сложности исследуемой системы, вида применяемой модели, условий эксплуатации и точности оценки характеристик.

В табл. 7-1 дан пример заполнения этой формы применительно к приемнику радиолокационной станции, для которого определяющим параметром служит чувствительность.

Для удобства записи основных состояний устройства применя­

транспортировка; X — хранение и др.

При заполнении формы необходимо использовать оптимальную периодичность контроля работоспособности устройства в зависимости

2 37

от дисперсии и интенсивности ухудшения выходных параметров (см. § 4-2). Так как записи в журнале учета статистики производят в ди­ скретные моменты времени контроля работоспособности или измене­ ния состояния, то исходные статистические данные получают при минимальных затратах времени обслуживающего персонала.

В этом параграфе рассмотрены особенности оценки параметров экспоненциальных законов распределений для марковских однород­ ных моделей. Особенностью оценки параметров неоднородных моде­ лей является необходимость решения не одного, а системы нелиней­ ных уравнений для определения нескольких параметров (см. § 7-3).

7-3. Оценка параметров математических моделей в условиях неполной определенности

Задачу оценки параметров математических моделей в условиях неполной определенности рассмотрим на примере оценки интенсив­ ности отказов. С очевидными изменениями все рассуждения и полу­ ченные результаты в равной мере относятся к любой другой интен­ сивности марковской однородной или неоднородной модели.

ту времени t.

Рассмотрим два основных вида неопределенности; неопределен­

торых из этих величин и процессов, например реализации d(t). По таким статистическим данным необходимо оценить интенсивность отказов Л(£), а также, если требуется, то и характеристики остав­ шихся неизвестных из числа /V, R (t) и d (t).

Ясно, что основную информацию о зависимости интенсивности отказов от времени несут процессы R(t) и d(t), поэтому целесооб­ разно рассматривать четыре основных типа задач. К первому типу относятся задачи, в которых известны реализации N и R(t), ко вто­

d(t). В первых двух типах задач требуется определить характери­

Так как приближенное решение задач первых трех типов до­ вольно просто и требует привлечения всего лишь метода линеариза­ ции и нормальной аппроксимации одномерного распределения Л(£), мы остановимся на задаче четвертого типа.

Пусть реализации d(t) известны, требуется определить характе­ ристики A(t) и N. Так как реализации d(t) имеют разрывы первого рода, целесообразно использовать квантование времени и решение

искать на временной решетке £і = £А£, і=О, I, Л£=Т/І, где Т — про­ должительность интервала наблюдения. Для упрощения записи обо­ значим d(iAi)—di, A(iAt)=Ai. Величины di играют роль порядко­ вых статистик.

238

Ш

ее отличие в том, что di, dj и N являются случайными величинами.

где vt = (di+1 — di) dt 1 .

Трансцендентное уравнение (7-11) является основным для опре­ деления характеристик интенсивности в том случае, когда известны только характеристики числа отказавших элементов. Так как полу­

обрабатывать. Отсюда же следует, что определение Л(/) для произ­ вольного закона распределения является серьезной и сложной за­ дачей.

Часто предполагают, что распределение име'ет удобный одноили двухпараметрический вид; например, принадлежит к семействам гамма-распределений, нормальных распределений, распределений

неприменимы из-за отсутствия необходимой информации и из-за громоздкости аналитических выражений, поэтому лучше всего приме­ нять метод наименьших квадратов, который хотя и дает менее эффективные оценки, но приводит к относительно простым системам уравнений.

Иногда удобно отказаться от привычных распределений и при­ менять квазидетерминироваиные представления

п

п

ностью-до параметров известен аналитический вид Л (аь аі, t), т. е. известен характер предполагаемого распределения. Тогда реализации

параметров а*, а і определяют из решения системы уравнений (7-11),

239