Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

т	V '	На рис. 3-1 отражена ин
		тервальная оценка			плотности

		вероятности, полученная с по
Oft		мощью	нормальной		аппрокси
		мации	по оценкам 4		и Іъ. при
		доверительных		(вероятностях
0,2		У ! = 0 , 9	и 42=	0,99. Заштрихо
		ванная зона соответствует уі-

Ш	2ZZS2 ^ ^	Н аиболып ая неопределенность
		оценок наблюдается			на грани

О		цах интервалов — в			точках
Рис.	3-1. Интервальная	скачкообразного изменения на
		грузки.
оценка	плотности вероятно
		Пример показывает, что ка
сти.
		ноническая регуляризация ку
		сочно-непрерывных			функций

с помощью эпсилон-функций может успешно применять ся при построении математических моделей дискретно непрерывных процессов. Она может также найти приме нение и при анализе функционирования импульсных устройств, ЦВМ, при вычислении расходящихся интегра лов, при приближенном решении методом припасовывания дифференциальных уравнений с переменными и ку сочно-непрерывными коэффициентами и т. д.

3-4. Модели с монотонными интенсивностями ухудшения качества систем

Рассмотрим два основных вида моделей с монотон ными интенсивностями переходов [Л. 61, 62]. В моделях первого вида распределения времени до пересечения уровней квантования случайным процессом ухудшения определяющего параметра изделия имеют один и тот же тип, во втором — эти распределения относятся к раз литым типам. Основное внимание уделим анализу пове дения интенсивности отказов, так как эта характеристи ка является основной характеристикой для оптимизации ТО. Другие характеристики систем нетрудно получить,

используя соответствующие	соотношения, приведенные
в § 2-2 и 2-6.
Введем следующие обозначения: x = \ t —безразмерное
время; V —нормирующий	множитель, ч~1\ s (t) — без

размерная нормированная интенсивность; Яо(т) =aos(t),

г)о(т) =ais(x), 1і(т) +T]i(t) = a 2s(r), cto,	a±,	az— безраз
мерные масштабные положительные коэффициенты.
Решение исходной системы (2-85)	для	невосстанав-

ливаемого и необслуживаемого изделия имеет различ

ный вид для двух случаев:				ай+ аіф'а,2 и ßo+ ßi = a2. По
следовательно их рассмотрим.
Пусть Оц + ^ Ф а 2. Тогда
P0(x) =		e ~ (a°+ai)S(z),		Pl ( x ) = ------^			------- X
	-г	X [*Г(я°+аі) 0 (х) -			е~а‘в(т)],				(3-30)
	-г
где Ѳ(т) = j s(x)dx — безразмерное						оперативное			время
[Л.491.		безотказной работы изделия
Вероятность		безотказной работы изделия
				— (Щ+аі) вМ _ а g—o2S(t)ь
									(3-31)
плотность распределения этой вероятности
ffr)--	1	г/		\ .	.	. Ч - (я0+ а,) Ѳ(Т)
ffr)--		' [(аа	а0) К		+	а і)
		а,а2е”■a“0(x)] s ( ^							(3-32)
интенсивность отказов изделия
	(а2 — йоііао + й!) — йіД2е				(д»	fl° Ді) 0 (т)		.5 (т),	(3-33)
Л(т) =		(аг_ ао) _ Діе- ( “а-°о-«.)еУ)						.5 (т),	(3-33)
производная от интенсивности отказов
		л							(3-34)
где
Г w =	s' fr) 1(0, - а0) {ай+			а,) -	а 1а2е~(‘№ 0 ,) 0 (т)] -
- s2 (т) [(а2 - а,) (а0+ а,)2 -								®<т>]. (3-35)
Для	вычисления Го и		\	используем			формулу чис

ленного интегрирования [Л. 46],		обеспечивающую	высо
кую точность:
00	ІП
Г x se - ХІ (х) dx =	Yi	Л / (хь).	(3-36)
О	ft=0

Если	аа-(- а х= аг,			то
P 0(T)=	e - (flo+ai)ew =			e - MW, Р1() = а1Цч)е~ан%).					(3-37)
Вероятность безотказной работы изделия
		Р (х) =		[1 +		агЬ(х)] е~а*ь(т>,			(3-38)
плотность распределения этой вероятности
	f(x) =		s (х) {а2 [1 +			а,Ѳ (х)] — а,} е~0а8 (т),			(3-39)
интенсивность		отказов
		Л /т\ __ Ді[і + д.6(х)]-ді						/ V	(3-40)
		Л 1Т ) —			1 + а , 0 ( х )		s ^ ’

ее производная
А' (■*)= п			e ?S* (t )		\| Я , [ 1 + А 10(Х)]-			s'W.	(3-41)
			+ а , Ѳ ( х ) ] 2 1			1 +	а , Ѳ ( х )
Начальное		значение			интенсивности
		Л (0) =			lim Л (х) = a0s (0).				(3-42)
					х-»0
Если 1ітѲ(х) = оо, то
	Т-»00
			I (йо +		аі) lims (х),		а 0 +	а ,< а 2;
lim Л (х) =			I		х-*со		а ^	- \ - а х.	(3-43)
			I <z2 lim s (х),
			і. Х-ХЮ
Если Пт Ѳ(х) =		const,		то limA(x) =			constlims(x).
Начальное		значение			производной
Л' (0) = lim Л' (х) =					а, (а2 — а0) s2 (0) -j- a0s' (0)				(3-44)

может быть любым действительным числом, величину и знак которого определяют соотношения между ао, а% и s'(0). Рассмотрим типичные случаи.

I. ай<а2.
а) Если s'(0 )> 0 , то Л '(0)> 0.			(3-45)
б) Если s' (0) < 0, то Л' (0 )^ 0 при
a-Х(Да —а,)	(О	s' (0)
	.._		(3-46)
во	(<)	sa (0)"

II«	^'0^> &2'		Л' (0)5-0 при
а)	Если s '(0 )> 0 , то		Л' (0)5-0 при
		д,(д0—дг) s'(0)
		а0	ss (0)'
б)	Если s'(0)'< 0, то		Л '(0)< 0 .
III. ао=а2, Оо+		а іФ ' а ъ
Если s'(0 ^ 0 ,		то Л '(0 )^ 0 .
	(О		(О

Предельные значения Л'(т) при т— мх>

(3-47)

(3-48)

(3-49)

Полученные аналитические зависимости для Л(т) и Л'(т) позволяют исследовать поведение интенсивности отказов изделий /в зависимости от характера s (t ) и мас штабных коэффициентов а0, аі и а2. Рассматривая s(t) как интенсивность любого известного распределения или

предстаівляя х(т) в виде (3-9),			нетрудно изучить поведе
ние Л(т)	для наиболее интересных и практически важ
ных случаев.			является интенсивностью
Пример 3-4. Пусть s(t)
гамма-распределения,		тогда
			9(т) = 1пе ь
где г > 1	и является	целым числом.		Предельные значе
ния:
s (0) = 0, s' (0) — 0, Ііш s (-с) = Я,				lim s' (т) = 0,
	1ітѲ(т;) = со,		Ѳ(0) =	0.

Следовательно,

Л(0) = 0, Л'(0) = 0 при г ф 2, А'(0) = Я2 при г = 2,

1ішЛ'(х) = 0,
(®о “f” ^i) ^ >	«о "f-	^a»	(3-51)
1 іт Л ( т )= /(а°			(3-51)
t-*co	«o ”1""

9 3

т. е. Л(т) является ограниченной монотонно возрастаю щей от нуля функцией. Применение формулы (3-36) при

ао+ а іф щ дает:

(3-52)

где s = 0; *0 = О; **=0,743; *2=2,572; *3=5,73; х4= 10,95; Л0=0,2; Л*= 0,601; Л2 = 0,1257; Л3=0,01294; Л4 = 0,1204 Х X I О-3 [л. 46].

где при г =2, s=3; при г = 3, 5=4

* і= 1,756, Л*= 1,86; **= 2,319, Л*= 6,572;

*2=4,266, /42=3,357; *2=5,129, Л2='13,79;

*3 = 8,058, Л3 = 0,764; *3= 9,201, Л3 = 3,54;

*4=13,92, Л*= 0,0183; **=15,35; Л4=0,0938.

Пусть іг=2, Я =1, V=	10—4, а0 =		0,2, а*=0,8, а2 =			2. Рас
чет по формулам (3-52)	и (3-53)		с учетом		трех	членов
суммы дает:
Г0=2,6018-104 ч, а2т = 1,9291-ІО8				ч\ Ѵт = 0,533.
С учетом четырех	членов	сумма		То=2,6023-ІО4 ч,
о2т = 1,9248-ІО8 ч\ Fr = 0,532.
Оценка погрешности по последнему отбрасываемому
члену суммы дает: бт ~ 0,027%,		8оа = 0,223%,			8 ѵ ~ 0,19По

следовательно, формулы численного интегрирования обеспечивают требуемую в инженерных расчетах точ ность даже при использовании двух-трех членов суммы.

Пример 3-5. Время до пересечения уровней квантова ния при внезапных отказах и при ухудшении парамет ров элементов распределено по нормальному закону. Тогда

(т—х)2

2оз

(t) = ln

где т, о — нормированные с помощью ѵ безразмерные параметры этого закона, т а -1^ 3.

Предельные значения s(т) и Ѳ(т)

lim s (т) =	оо; lim s '(т) =		оо;	Ѳ(0) =		0; 1ітѲ(і) = оо,
Х-+00	Т-*00					х-юэ
поэтому
			m2
Л(0) = а 0			—2оз		■;	lim Л (т) = оо;
Л(0) = а 0		—	-Г М		■;	lim Л (т) = оо;
	Y 2п аФ
	lim Л' (т) =			оо;	А '(0)< 0.
	WOO					(>)

Следовательно, Л(т) может быть монотонной и не монотонной возрастающей функцией времени, она изме няется от положительной величины Л(0), может прохо дить через минимум при 0<т,<оо и далее возрастает до бесконечности.

М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р с и я в р е м е н и б е з о т к а з н о й р а б о т ы

					ф ( т — Xj		(аО+ аі)
							(аО+ аі)
V(а%— а0— аі)Ь		4 « 2			V	8
V(а%— а0— аі)Ь		4 « 2				( IL \
	і= о					( IL \
		Ф	т — Хі	\" аа.
		Ф			А			(3-54)
		Ф			А			(3-54)
		Ф
где Хі и Аі — те же,		что и в примере				3-4;
				л*		(т-хЛ*
				л*	Хі	2о2
г		-— , У].			Ф	/?2-- Ху	X
г	V21/*2л и (д2— а,О #і) /=1				Ф	/?2-- Ху
			Г ф //отИ — Хі У\ - і ( ао+Иі)
X (О,- Я0) («о + «і)				V	0 У
				V	0 У
				ф ( і
		г ф
	■Я,Ла		.. , от			г		(3-55)
			ф —
где s=2,	=1,227, лг2=3,413,			х3= 6,903, л:4= 12,46, Л і=
= 0,725, Л2= 1,063, Л3= 0,2067,				Л4=4,354-НН [Л.				46).

Пример 3-6. Время до пересечения уровней квантова ния подчиняется релаксационному распределению Герцбаха — Кордонского [Л. 47], тогда

S(■)=, + Я(1 -	А ѳ(х) =	( ъ + Я)X+ ±Iх( е * х-	1),
где ро, р, А— нормированные по ѵ безразмерные			пара
метры.
Предельные значения:
5 (0)—Pa»	s (0) = р	Я, lim s (т)= р0 -(- Я,

т->оо

lims'(т)= 0, lim 0 (т)= оо, Ѳ(0) =

T-»OQ T->OQ

Следовательно,		Л(0) — я0ц0,	а	Л' (0)	может иметь
любой знак
Ига Л (т):	(а0-f- ^i) (t^o +		^),	• #0+	ai <	аг>
Ига Л (т):
	І а 2 ( [ г 0 + Я ) ,			а о +	>	а 2>
lim A '(т) = 0. Таким		образом, Л(т),		как правило, являет-
~ >:ю

ся ограниченной монотонно возрастающей или монотонно убывающей функцией.

Математическое ожидание и дисперсия времени без отказной работы при а0+ я, ф а2

т- = ѵ............(а2— aQ—1аг)..............(Н-0+

і=о

	ipw) /			Г_____ Л			X) J
		Iх	I	L	(°o + a i ) (H-o +		X) J	/
	л	- * & U [ ___ ,					J 1
	л	и* l		L ai (и-о + X) J			J 1	(3-56)
							f ’	(3-56)
							f ’
r — V* ( а ,	— a„—«j) ((J.0 + /)• J ] Лг' [(a* + aj*							+
					i= 1
+ х		exp	[	К	+ £ ) к	+	Л) ] ] } *
X(^o+fli) { exp [ -				(й0+а,) (р.+X) ]			}_
Х е							a2
							a2
+ %					№	7)	1 1 X
					а-г (Л> +	7)	J
X e - т ( ехр[ ~ ^ ?					+ м j " 1}		< -	(3-57)
							< -

где Xi и Ai — те же, что и в примере 3-5.

Пример 3-7. Время до пересечения случайным про цессом уровней квантования подчиняется закону Вейбулла — Гнеденко, тогда

<(■«)=тр-1^ -1. ѳ (х )= ф -ѵ ;*

где ß — нормированная по ѵ безразмерная величина. Так как вид интенсивности s (t) этого закона зависит от па-

7-385

раметра у, то рассмотрим три случая: у < 1> К у = С 2, Y>'2. (Случай y=1 приводит к экспоненциальному рас пределению, поэтому не рассматривается).

1. у < 4 . lims(x) — оо, lim s(x):=0,				ltm s' (х) = — оо,
	х->0	т->оо		^->0
		Нш s' (х) =	0.
		■s-»oo
Следовательно,
1ітА (х) = оо, 1ітЛ (х) = 0, lim A '(х) =				— оо, 1іт Л '(х )= 0,
Т-ѴОО	T-»00	T-*0		t- + c o
т. е. Л (х) — монотонно убывающая функция.
2. Т > 1, s(0) = 0,		lims(x) =	oo, Л (0) = 0,
		lim Л (х) =	оо.
		Т-УОО
Производная s '(х) зависит от величины у;
а)	1 <СТ<С2, s '(0) = oo, lims'(x) — 0, т. е. Л '(0)=оо,
		Т-ЮО
		lim Л' (х) =	0.
Интенсивность отказов является монотонно возраста
ющей функцией.
б)	y = 2, s'(r) = 2/ß	и A '(0) = 2 (a0/ß),
		(2 —■ —-)	d0-ф cil ^ ö2;
	lim Л' (x) =	I
	~ ~	2 - f ,	a , + «!>«»■

Если a0 + ai>a,2 , то этот случай соответствует распре делению Рэлея — интенсивность отказов возрастает ли

нейно. .Если a0+ a i< ß 2, то интенсивность отказов моно тонно возрастающая, выпуклая вниз функция.

3. Т > 2: s' (0)= 0, lim s' (т)=со и Л' (0) = 0, lim Л' (х)=оо.

Т->00 Т->00

Следовательно, интенсивность отказов является мо нотонно возрастающей от нуля функцией.

П р и ао + й х ф й 2 м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е и д и с п е р

с и я в р е м е н и -б е з о т к а з н о й р а б о т ы

і= о

	I Qq+Qi V	\	^	• Y	\
	ѵ	' — л^е	- Ы		- 1		(3-58)
	X ^	' — л^е					(3-58)
г	Y іг н у	х] %	J (а2 -		а0)((а0+		а,) X
г	vsß (а2 —а.	і=!
	('gp+Qi t \	і=!	(а*	1	\
	('gp+Qi t \		(а*	1	\
	X ^		4		'	Т \	(3-59)

где хг и Л* те же, что и в примере 3-5, 5 = 2. Изложенные в примерах 3-4—3-7 методы исследова

ния А (г) полностью справедливы и для случаев, когда 5 (т) имеет вид (3-9). Если в (3-9) входят случайные па раметры, то моменты и интервальные оценки А(т) полу чают методом линеаризации и нормальной аппрокси мации.

Перейдем к рассмотрению моделей второго вида. Предположим, что время до пересечения уровней кван тования -при внезапных отказах распределено по экспо ненциальному закону, а время ухудшения параметров элементов на величину квантов подчиняется гамма-рас пределениям с г = 2, тогда

Xjt

«О (Х) ---^0> аг{х) = Т+Т^Г’ a z И ) - = 1 + X2x ’

где Ло, Яі, Яг— нормированные по ѵ безразмерные пара метры.

При Ьз+%іф% 2 из (2-85) получим:

Л,(*)==(1 + Ѵ ) е ~ <Хв+Хі,%

W = ^ ( l + V ) e " V [ - у ( ^ - І ) -

і Ен	И	(3-60)
7*		99

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ